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Zeige, dass∼ eine ¨Aquivalenzrelation ist (hier benutzt man, dass Oeine alternative Algebra ist)

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Ch. Ausoni, F. Hebestreit WWU M¨unster, Sommersemester 2011

UBUNGEN ZUR ALGEBRAISCHEN TOPOLOGIE¨

Blatt 7∗, 17.05.2011

Ziel dieses Blattes ist es, die Existenz von Projektiven R¨aumen ¨uber die Cayley Oktaven O zu untersuchen.

Aufgabe 7.1. Gibt es eine gute Definition einer oktavischen “Gerade” in On ? Zum Beispiel, gibt es zu jedem Punkt y∈On\0 genau eine “Gerade” durch 0 und y?

Aufgabe 7.2. Betrachte die Relation (x, y)∼(a, b)⇔

(yx−1 =ba−1, falls x, a6= 0, xy−1 =ab−1, falls y, b6= 0

aufO2\0. Zeige, dass∼ eine ¨Aquivalenzrelation ist (hier benutzt man, dass Oeine alternative Algebra ist). Konstruiere damit die projektive Linie OP1, und beschreibe die entsprechende Quotienten-Abbildung S15 →OP1.

Aufgabe 7.3. Beweise, dass eine projektive EbeneOP2existiert. Hierzu betrachte man Punkte inO3\ {0}, die mindestens eine reele Koordinate besitzen. Entsteht eine Quotienten-Abbildung S23→OP2?

Aufgabe 7.4. FindeCW-Zerlegungen von OP1 und OP2 und berechne ihre zellul¨arer Homo- logie.

∗Abgabe : Montag, 23.05.2011 bis 12Uhr.

http://wwwmath.uni-muenster.de/u/ausoni/topologie2-SS11.html

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