Übungsaufgaben zur Linearen Algebra I 4. Blatt

Prof. Dr. Stefan Kebekus WS 2010/11 Dr. Andreas Höring

Übungsaufgaben zur Linearen Algebra I 4. Blatt

Abgabetermin: Do, 18.11.2009

Alle Antworten sind mit einem Beweis zu begründen.

Aufgabe 4-1 (4 Punkte):

Es sei R [ _X ] _der R-Vektorraum der Polynome in einer Variablen X. Für n ∈ _N sei P

∈ R [ X ] das Polynom

P

: =

∑

X

.

Zeigen Sie dass die Familie von Vektoren ( P

)

linear unabhängig ist.

Aufgabe 4-2 (4 Punkte):

Es seien Q beziehungsweise R die (aus der Schule bekannten) Mengen der rationalen bzw. reellen Zahlen. Es seien + _{: R} × _R → _R die Addition von reellen Zahlen und

· : Q × _R → _R die Multiplikation einer rationalen mit einer reellen Zahl. Das Tripel ( _R, + , ·) ist somit ein Vektorraum über dem Körper Q (Sie müssen dies nicht beweisen).

a) Zeigen Sie dass die Vektoren 1 ∈ _R und √

2 ∈ _R über Q linear unabhängig sind.

b) Zeigen Sie dass die Familie von Vektoren 1, √ 2, √

3 ∈ _R über Q linear unabhängig ist.

Aufgabe 4-3 (8 Punkte):

Es sei V ein K-Vektorraum und U ⊂ V ein Untervektorraum. Wir definieren die folgende Relation auf V: es seien v

, v

∈ V,

v

∼ v

genau dann, wenn v

− v

∈ U.

a) Zeigen Sie: ∼ ist eine Äquivalenzrelation.

b) Es sei v ∈ V. Zeigen Sie: [ v ] = v + U : = { v + u | u ∈ U } , wobei [ v ] die Äquiv- alenzklasse von v unter der Relation ∼ _bezeichne.

c) Definieren Sie eine skalare Multiplikation K × V/U → V/U und eine Addition V/U × V/U → V/U auf V/U, die V/U zu einem K-Vektorraum machen, indem Sie dies zuerst auf Repräsentanten definieren und anschließend Wohldefiniertheit zeigen. Sie brauchen nicht zu zeigen, dass V/U mit den von Ihnen definierten Ab- bildungen ein Vektorraum ist. Geben Sie stattdessen (mit Beweis) den Nullvektor 0

von V/U an und finden Sie (mit Beweis) für jedes Element v + U ∈ V/U den zu v + U negativen Vektor. Wir nennen V/U den Quotientenvektorraum von V nach U.

d) Es sei π : V → V/U, v 7→ [ v ] die Projektionsabbildung. Für welche v ∈ V gilt:

π ( v ) = 0

? Ist π surjektiv? Wenn V vorgegeben ist, für welche Wahl von U ist dann π : V → V/U injektiv?

1