Aufgabe 11-1 (4 Punkte):

Prof. Dr. Stefan Kebekus WS 2010/11 Dr. Andreas Höring

Übungsaufgaben zur Linearen Algebra I 11. Blatt

Abgabetermin: Do, 20.01.2011, 8 Uhr 15

Alle Antworten sind mit einem Beweis zu begründen.

Aufgabe 11-1 (4 Punkte):

Es sei K ein Körper und

0 → V ₁ →

V ₂ → · · ·

→

V

→ 0

ein Komplex von endlich-dimensionalen K-Vektorräumen. Es sei χ : = _∑

_{= 1} (− 1 )

dim V

die sogenannte Euler-Charakteristik des Komplexes. Beweisen Sie: Wenn der Komplex exakt ist, dann ist χ = 0.

Hinweis: Schauen Sie zuerst die Fälle n = 2 und n = 3 an. Für n beliebig können Sie vollständige Induktion verwenden.

Aufgabe 11-2 (4 Punkte):

Es sei ( G, ∗) eine Gruppe und M eine Menge. Wir bezeichnen mit ( Bij ( M ) , ◦) die Gruppe der bijektiven Abbildungen von M nach M. Sei nun

φ : G × M → M

eine Gruppenwirkung von G auf der Menge M. In der Vorlesung haben Sie gesehen wie man für g ∈ G mit Hilfe der Gruppenwirkung eine Abbildung φ

∈ Bij ( M ) definiert.

Wir erhalten also eine Abbildung

ϕ : G → Bij ( _M ) _{, g} 7→ φ

. a) Zeigen Sie, dass ϕ ein Gruppenhomomorphismus ist.

b) Zeigen Sie, dass es eine Bijektion zwischen den Gruppenwirkungen φ : G × M → M und den Gruppenhomomorphismen ϕ : G → Bij ( M ) gibt.

Aufgabe 11-3 (8 Punkte):

Das Ziel dieser Aufgabe ist die Homologie eines Tetraeders zu berechnen.

1

2

Es sei im folgenden

E = { e ₁ , . . . , e ₄ } die Menge der Ecken des Tetraeders, K = { k ₁ , . . . , k ₆ } die Menge der Kanten des Tetraeders, D = { d ₁ , . . . , d ₄ } die Menge der Dreiecke des Tetraeders.

Orientieren Sie Ihre Dreiecke und Kanten beliebig, indem Sie in jedes Dreieck einen Rundpfeil und auf jede Kante einen Pfeil malen, wie in der Figur unten angezeigt.

-

@

@

@

@ @ k ₁ I k ₂

k ₃

e ₂ e ₃

e ₁

d - ₁

Zur Erinnerung: wir haben in der Vorlesung bereits gesehen, dass für jede beliebige Menge M, die Menge Abb ( M, R ) der Abbildungen von M nach R ein R-Vektorraum ist. Betrachten Sie nun die R-Vektorräume Abb ( E, R ) , Abb ( K, R ) , Abb ( D, R ) der Abbil- dungen von E, K, D nach R mit den Basen

B

= { e ^∗ ₁ , . . . , e ^∗ ₄ } , B

= { k ^∗ ₁ , . . . , k ^∗ ₆ } , B

= { d ^∗ ₁ , . . . , d ^∗ ₄ } .

(Sie brauchen nicht zu zeigen, dass dies Basen sind). Hierbei ist e ^∗

( e

) = 1, falls i = j, und e ^∗

( e

) = 0 anderenfalls. Gleichermaßen sind k ^∗

und d ^∗

definiert. Wir definieren lineare Abbildungen

∂ ₂ : Abb ( D, R ) → Abb ( K, R ) und ∂ ₁ : Abb ( K, R ) → Abb ( E, R ) basierend auf der gewählten Orientierung durch folgende Vorschriften:

Für ein Dreieck d ₁ ∈ D wie in der Figur ist

∂ ₂ ( d ^∗ ₁ ) = k ^∗ ₃ + k ^∗ ₂ − k ^∗ ₁ .

Hierbei kommen k ₃ und k ₂ mit positivem Vorzeichen vor, da die Orientierung von d ₁ und die Orientierungen von k 3 und k 2 übereinstimmen, und k ₁ kommt mit negativem Vorzeichen vor, da die Orientierungen nicht übereinstimmen.

Für eine Kante k ₁ ∈ K wie in der Figur setzen wir

∂ ₁ ( k ^∗ ₁ ) = e ^∗ ₁ − e ^∗ ₂ ,

d.h. die Ecke, zu der der Pfeil von k 1 zeigt kommt mit positivem Vorzeichen, die andere mit negativem Vorzeichen vor.

a) Berechnen Sie die Matrizen [ ∂ ₂ ]

B^K

und [ ∂ ₁ ]

B^E

.

b) Zeigen Sie: ∂ ₁ ◦ ∂ ₂ = 0, d.h., ∂ ₁ ◦ ∂ ₂ ist die Nullabbildung. Insbesondere ist 0 → Abb ( D, R ) −→

Abb ( K, R ) −→

Abb ( E, R ) → 0 ein Komplex von R-Vektorräumen.

c) Berechnen Sie die Homologie des Komplexes, d.h. berechen Sie h ₂ ( S ) : = dim ( ker ∂ ₂ ) ,

h ₁ ( S ) : = dim ( ker ∂ ₁ /Bild ∂ ₂ ) und h ₀ ( S ) : = dim ( Abb ( E, R ) /Bild ∂ ₁ ) .