Prof. Dr. Stefan Kebekus WS 2010/11 Dr. Andreas Höring
Übungsaufgaben zur Linearen Algebra I 13. Blatt
Abgabetermin: Do, 03.02.2011, 8 Uhr 15
Alle Antworten sind mit einem Beweis zu begründen.
Aufgabe 13-1(3 Punkte):
Es seiA∈Mat(4×4,R)die folgende Matrix:
A=
1 −1 2 −1 2 −2 1 0 0 0 2 −1 1 0 0 −1
.
Berechnen Sie detAindem Sie den Gauß-Algorithmus verwenden.
Aufgabe 13-2(5 Punkte):
Es seikein Körper unda1, . . . ,an ∈kwobein≥2. Es seiA∈Mat(n×n,k)die folgende Matrix:
A=
1 1 · · · 1
a1 a2 · · · an a21 a22 · · · a2n
... ...
an1−1 an2−1 · · · ann−1
.
Zeigen Sie, dass
detA= ∏
1≤i<j≤n
(aj−ai).
Hinweis:Verwenden Sie einen geeigneten Gauß-Algorithmus und Induktion übern.
Aufgabe 13-3(4 Punkte):
Es seiVeinR-Vektorraum der Dimension nund ϕ : V → Veine lineare Abbildung so dassϕ◦ϕ= −idV.
a) Geben Sie ein Beispiel für solch eine lineare Abbildung wennn=2.
b) Zeigen Sie, dass solche Abbildungen existieren genau dann wennngerade ist.
1
2
Praktische Aufgabe 13-4(4 Punkte+6 Bonuspunkte):
Laden Sie sich von der Homepage der Vorlesung die aktuelle Version des LA-Explorer herunter und lösen Sie die Aufgabe 5. Da die notwendigen Begriffe noch nicht alle definiert sind, erwarten wir von Ihnen keinen formalen Beweis, sondern eine überzeu- gende Argumentation – präzis formulierte gruppentheoretische Aussagen werden sicher eine Rolle spielen!
Zur Erläuterung: Die Rotationen des 3-dimensionalen Raumes bilden eine Gruppe, die man auch mit SO3 bezeichnet. In der Vorlesung Analysis II oder Analysis III werden Sie den Begriff der Mannigfaltigkeit kennenlernen, und den Begriff der „Dimension“ für Mannigfaltigkeiten definieren. Es wird sich herausstellen, dass die GruppeSO3 selbst 3-dimensional ist.
Anschaulich ist das klar: jede Drehung kann geschrieben werden, indem man zuerst um einen Winkelcum diez-Achse dreht, dann um einen Winkelbum diey-Achse etc.
Eine Drehung ist also durch die drei Zahlen a,b und c festgelegt – die Gruppe ist 3- dimensional.
Eine andere Art, anschaulich einzusehen, wieso die Gruppe SO3 3-dimensional ist, ist die folgende: Mit Hilfe der Eigenwerttheorie ist es nicht schwer zu sehen, dass für solch eine Abbildung stets ein Vektor 0 6= v ∈ R3existiert so dass f(v) = v. Man bezeichnet die vonverzeugte Gerade Gals die Rotationsachse der Drehung. Sei E ⊂ R3die zuG orthogonale Ebene, dann erhält man eine Rotation der Ebene f|E :E→ E, diese ist durch den Drehwinkel ϕeindeutig bestimmt. Mit anderen Worten: eine Rotation des Raums wird determiniert durch den Vektorvund den Drehwinkel ϕ. Die Länge des Vektors v spielt keine Rolle, daher kann man annehmen dassv auf der Einheitssphäre liegt. Die Sphäre hat Dimension zwei, somit ist f durch drei Zahlen eindeutig bestimmt1.
1Die Darstellung durchvundϕist nur eine Möglichkeit eine Rotation zu beschreiben. In der See- und Luftfahrt ist die Beschreibung durch Roll-,Nick-, und Gier-Winkel üblich, siehe:
http://de.wikipedia.org/wiki/Roll-Nick-Gier-Winkel
