Aufgabe 12-1 (4 Punkte):

Prof. Dr. Stefan Kebekus WS 2010/11 Dr. Andreas Höring

Übungsaufgaben zur Linearen Algebra I 12. Blatt

Abgabetermin: Do, 27.01.2011, 8 Uhr 15

Alle Antworten sind mit einem Beweis zu begründen.

Aufgabe 12-1 (4 Punkte):

Es sei G eine endliche Gruppe und e 6= a ∈ G ein Element von G. Wir bezeichnen mit

< a > die von a erzeugte Untergruppe von G.

a) Zeigen Sie, dass die Menge M : = { k ∈ _N \ { 0 } | a

= e } nicht leer ist.

b) Zeigen Sie: es existiert ein l ∈ _{N, so dass} < a >= { e = a

, a = a

, a

, . . . , a

} und a

6= a

für alle i, j ∈ { 0, 1, . . . , l − 1 } .

Aufgabe 12-2 (6 Punkte):

Es sei G eine endliche Gruppe und H eine Untergruppe von G. Wir betrachten die Wirkung von H auf G durch:

H × G → G ( h, g ) 7→ g · h

.

a) Zeigen Sie: für jedes g ∈ G ist die Isotropiegruppe Stab ( g ) trivial, d.h.

Stab ( g ) = { e } ⊂ H.

b) Zeigen Sie: jede Bahn der Wirkung hat genau | H | Elemente.

c) (Satz von Lagrange) Es sei wie üblich mit G/H der Bahnenraum der oben beschriebe- nen Wirkung bezeichnet. Folgern Sie aus Teil b), dass

| G | = | H | · | G/H | .

Insbesondere teilt die Ordnung von H die Ordnung von G. Wir nennen | G/H | den Index von H in G.

Aufgabe 12-3 (4 Punkte):

Es sei G eine endliche Gruppe und H eine Untergruppe von Index zwei, d.h. | G/H | = 2.

Zeigen Sie, dass H normal in G ist.

1

2

Aufgabe 12-4 (2 Punkte+4 Bonuspunkte):

Das Ziel dieser Aufgabe ist die Homologie eines Torus T zu berechnen.

a) Es sei Q : = [ 0, 1 ] × [ 0, 1 ] ⊂ _R × _R ein Quadrat. Definieren Sie eine Äquivalenzrelation

∼ auf Q so dass die Menge der Äquivalenzklassen Q/

eine natürliche Bijektion mit T hat. Wie in der Vorlesung bezeichnen wir mit π : Q → T = Q/

die Abbildung, die einem Punkt q ∈ Q seine Äquivalenzklasse [ q ] zuordnet.

Tipp: Nehmen Sie ein quadratisches Stück Papier und basteln Sie daraus einen Torus.

Unterteilen Sie nun das Quadrat Q so in Dreiecke, dass für zwei Dreiecke D

, D

⊂ Q gilt: Die Bilder π ( D

) ⊂ T und π ( D

) ⊂ T sind entweder disjunkt, identisch oder die Schnittmenge ist eine Vereinigung von Kanten und Eckpunkten. Wir bezeichnen dies als eine Zerlegung von T in „Dreiecke“. Es sei nun

E = { e

, . . . , e

} die Menge der „Ecken“ ihrer Zerlegung von T, K = { k

, . . . , k

} die Menge der „Kanten“ ihrer Zerlegung von T, D = { d

, . . . , d

} die Menge der „Dreiecke“ ihrer Zerlegung von T.

Wir definieren wie in Aufgabe 11-3 die Vektorräume Abb ( E, R ) , Abb ( K, R ) , Abb ( D, R ) mit den Basen

B

= { e

, . . . , e

} bzw.

B

= { k

, . . . , k

} bzw.

B

= { d

, . . . , d

} .

b) Wählen Sie wie in Aufgabe 11-3 Orientierungen für die Dreiecke und Kanten ihrer Zerlegung. Berechnen Sie die Matrizen [ ∂

]

und [ ∂

]

der linearen Abbildungen

∂

: Abb ( D, R ) → Abb ( K, R ) und ∂

: Abb ( K, R ) → Abb ( E, R ) . c) Zeigen Sie: ∂

◦ ∂

= 0, d.h., ∂

◦ ∂

ist die Nullabbildung. Insbesondere ist

0 → Abb ( D, R ) −→

Abb ( K, R ) −→

Abb ( E, R ) → 0 ein Komplex von R-Vektorräumen.

d) Berechnen Sie die „Homologie des Torus T“, d.h. berechnen Sie h

( T ) : = dim ( ker ∂

) ,

h

( T ) : = dim ( ker ∂

/Bild ∂

) und h

( T ) : = dim ( Abb ( E, R ) /Bild ∂

) .