Dr. Daniel Greb SS 2011 Dr. Andreas Höring
Übungsaufgaben zur Funktionentheorie 1. Blatt
Abgabe: Dienstag, 10. Mai 2011 vor der Vorlesung Aufgabe 1-1 (4 Punkte):
Bestimmen Sie die Punkte in denen die folgenden Funktionen holomorph sind:
a) f : C → C, z = x + iy 7→ x
2+ y
2− 2ixy, b) g : C ∗ → C, z = x + iy 7→ ix + y
x
2+ y
2, c) h : C → C, z 7→ sin (| z |
2) .
Aufgabe 1-2 (4 Punkte):
Es sei G ⊂ C ein Gebiet und f : G → C eine holomorphe Funktion.
a) Es gelte f ( G ) ⊂ R. Zeigen Sie ohne Verwendung der Cauchy-Riemannschen Differen- tialgleichungen, dass f konstant ist.
b) Es gelte
f ( G ) ⊂ S
1: = { z ∈ C | | z | = 1 } . Zeigen Sie, dass f konstant ist.
Aufgabe 1-3 (4 Punkte):
Sei f : C → C definiert durch
z = x + iy 7→
( xy ( x + iy )
x
2+ y
2falls z 6= 0, 0 falls z = 0.
a) Zeigen Sie, dass die Funktion f in z = 0 partiell differenzierbar ist und die partiellen Ableitungen die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen erfüllen.
b) Zeigen Sie, dass f in z = 0 nicht holomorph ist.
Aufgabe 1-4 (4 Punkte):
Es seien U und V offene Mengen in C und f : U → V, z 7→ f ( z ) eine Abbildung in C
1( U ) . a) Es sei z = x + iy und f = u + iv die Zerlegung in Real- und Imaginärteile. Wir setzen
f
R: U → V, ( x, y ) 7→ ( u ( x, y ) , v ( x, y )) .
Zeigen Sie: f ist holomorph genau dann wenn die Jakobimatrix J fR die Form
a − b b a
mit a, b ∈ R hat.
b) Es sei nun außerdem f ∈ O( U ) und z
0∈ U so dass f 0 ( z
0) 6= 0. Zeigen Sie, dass es Umgebungen z
0∈ U 0 ⊂ U und f ( z
0) ∈ V 0 ⊂ V gibt, so dass f | U0 : U 0 → V 0 biholomorph ist.
Hinweis: Satz über lokale Diffeomorphismen.
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