Dr. Daniel Greb SS 2011 Dr. Andreas Höring
Übungsaufgaben zur Funktionentheorie 4. Blatt
Abgabetermin: Dienstag, 31. Mai 2011, vor der Vorlesung
Alle Antworten sind mit einem Beweis zu begründen.
Aufgabe 4-1 (4 Punkte):
Berechnen Sie die folgenden Integrale:
a) R
| z + 2i |= 3 1 z
2+
π2dz b) R
| z + 1 |= 1 1 ( z + 1 )( z − 1 )
3dz c) R
| z |=
12e
1−z
z
3( 1 − z ) dz
Aufgabe 4-2 (3 Punkte):
Die Funktion f : C ∗ → C, z 7→ z 2 sin ( 1 z ) ist holomorph. Kann man f zu einer holomor- phen Funktion auf C fortsetzen ?
Aufgabe 4-3 (5 Punkte):
a) Es sei f : R → C eine Funktion und g, h : C → C holomorphe Funktionen so dass gilt g |
R≡ h |
R≡ f .
Zeigen Sie, dass g ≡ h.
b) Es sei f : C → C eine holomorphe Funktion. Es existierte ein n ∈ N so dass gilt f ( n ) ≡ 0.
Zeigen Sie: f ist ein Polynom.
Aufgabe 4-4 (4 Punkte):
Beweisen Sie das Lemma von Goursat: Es sei U ⊂ C offen und f : U → C holo- morph. Weiterhin sei D ⊂ U ein Dreieck, d.h. D ist die konvexe Hülle von drei Punkten z 0 , z 1 , z 2 ∈ U. Dann ist
Z
∂D
