Abgabetermin: Dienstag, 24. Mai 2011, vor der Vorlesung

Dr. Daniel Greb SS 2011 Dr. Andreas Höring

Übungsaufgaben zur Funktionentheorie 3. Blatt

Abgabetermin: Dienstag, 24. Mai 2011, vor der Vorlesung

Alle Antworten sind mit einem Beweis zu begründen.

Aufgabe 3-1 (4 Punkte):

Es sei D ⊂ _C offen, für z ∈ _C sei z = _x + _iy die Zerlegung in Real- und Imaginärteil.

a) Sei nun

α : = α

dx + α

dy

eine 1-Form auf D, d.h. für i = 1, 2 sind α

: D → _C Funktionen auf D. In der Vorlesung wurde ihnen gesagt, dass gilt:

α = Fdz + Gd z, ¯

wobei F : D → _C und G : D → _C Funktionen sind. Beweisen Sie diese Aussage in dem sie F und G explizit durch α

und α

und umgekehrt darstellen.

b) Es sei α = Fdz + Gd z ¯ eine 1-Form auf D. Zeigen Sie, dass dα = ( ^∂G

∂z − ^∂F

∂ z ¯ ) dz ∧ d z. ¯ Aufgabe 3-2 (5 Punkte):

Berechnen Sie die folgenden Wegintegrale a) R

∂D(z0,r)

( z − z

)

dz wobei n ∈ _Z, b) R

[−i,i]

z cos zdz, c) R

[_1,i]

| z |

dz.

Aufgabe 3-3 (3 Punkte):

Es sei D ⊂ _C die Einheitskreisschreibe und a, b ∈ ( _C \ _∂D ) zwei verschiedene komplexe Zahlen. Berechnen Sie das Wegintegral

Z

∂D

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( z − a )( z − b ) ^dz in Abhängigkeit von a und b.

Hinweis: Partialbruchzerlegung Aufgabe 3-4 (4 Punkte):

Es seien D

und D

offene Mengen in C und α eine 1-Form auf D

∪ D

, so dass α |

und α |

exakt sind.

a) Zeigen Sie: Wenn D

∩ D

zusammenhängend ist, dann ist α exakt.

b) Zeigen Sie durch ein Beispiel, dass die Voraussetzung in a) nicht überflüssig ist.

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