Automates avanc´es – Master 1 Informatique TD 9 : Automates de B¨uchi

Automates avanc´ es – Master 1 Informatique TD 9 : Automates de B¨ uchi

Exercice 1 :

Donnez les automates de B¨ uchi correspondant aux langages suivants sur l’alphabet Σ = {a, b, c} : 1. {w ∈ Σ

| w contient au moins une fois le motif ab}.

2. {w ∈ Σ

| w contient un nombre infini de fois le motif ab}.

3. {w ∈ Σ

| w contient un nombre fini de fois le motif ab}.

4. {w ∈ Σ

| w contient au moins une fois le motif ab et au moins un fois le motif ac}.

5. {w ∈ Σ

| si w contient un nombre infini de a alors il contient un nombre infini de b}.

6. Σ

(aaaaa)

. Exercice 2 :

0 a 1

a 2

a b

b

Figure 1 – Automate A

0 1

a

b

2 a

b a

b

Figure 2 – Automate A

On consid`ere les automates de B¨ uchie A

et A

. 1. A-t-on L(A

) = ∅ ?

2. Est-ce-que A

accepte le mot infini a

? 3. Est-ce-que A

accepte le mot infini a ( b )

?

4. Est-ce-que A

accepte le mot infini (abb)

? Si oui, d´ecrivez une ex´ecution de l’automate acceptant

ce mot.

5. Construire un automate de B¨ uchi A

reconaissant le langage L(A

) ∩ L(A

).

6. A-t-on L(A

) ∩ L(A

) = ∅ ? Exercice 3 :

0 b

1 a

b

a

Figure 3 – Automate A

0 1

a, b

b

a

Figure 4 – Automate A

0 a, b

1

a a

Figure 5 – Automate A

Donner le langage accept´e par les automates de B¨ uchi A

, A

et A

.

Exercice 4 :

Pour un mot infini w, on note Inf (w) l’ensemble des lettres apparaissant un nombre infini de fois dans w. Construire l’expression r´eguli`ere et l’automate de B¨ uchi pour les langages suivants sur l’alphabet Σ = {a, b, c} :

1. {w ∈ Σ

| Inf (w) ⊆ {a, b}}.

2. {w ∈ Σ

| Inf (w) = {a, b}}.

3. {w ∈ Σ

| {a, b} ⊆ Inf ( w )}.

4. {w ∈ Σ

| Inf ( w ) = {a, b, c}}.

5. {w ∈ Σ

| si a ∈ Inf ( w ) alors {b, c} ⊆ Inf ( w )}.

Exercice 5 :

Donner les expressions r´eguli`eres et les automates de B¨ uchi correspondant aux deux langages suivants sur l’alphabet {a, b} :

1. {w ∈ {a, b}

| k est pair pour chaque sous-mot ba

b de w}

2. {w ∈ {a, b}

| w ne contient pas bab}