Automates avanc´es – Master 1 Informatique TD 3 : D´eterminisation et Minimisation d’automates

Automates avanc´ es – Master 1 Informatique TD 3 : D´ eterminisation et Minimisation d’automates

Exercice 1 :

D´ eterminiser les automates A

et A

.

1 b

a 2

3

b ε b

a 4 b

Figure 1 – Automate A

1 b

a 2

ε 3 ε

b 4 ε

a 5

Figure 2 – Automate A

Exercice 2 :

En appliquant l’algorithme de Moore, minimisez les automates A

, A

et A

.

0 a 1

a 2 b

3 b

4 a b

5 b b

a

a

a, b

Figure 3 – Automate A

0 a 1 b 2 a

b

3 b 4

b a

b 5 a

b a

a 6

a

b

Figure 4 – Automate A

0 a 1

2 b a

b a 3

4 a a b

5

a b

b b

Figure 5 – Automate A

Exercice 3 :

D´ eterminisez et minimisez l’automate A

.

0 a 1

2

a, b a

b

a 3

a a

b b b a

4 b

a a

a

Figure 6 – Automate A

Exercice 4 :

Le but de cet excice est de montrer qu’il existe des automates qui n´ ecessitent un nombre exponentiel d’´ etats par rapport ` a leur version non-d´ eterministe.

1. ´ Etant donn´ e un entier n ≥ 1, construisez un automate non-d´ eterministe B

sur l’alphabet A :=

{a, b} avec au plus n + 1 ´ etats et reconnaissant les mots de longueur sup´ erieure ` a n tels que la n-i` eme lettre en partant de la fin est un a.

2. D´ eterminiser B

. Combien d’´ etats l’automate d´ eterministe poss` ede-t-il ? Qu’en est-il dans le cas B

?

3. Pour n ≥ 1, on suppose que l’automate d´ eterministe reconnaissant le mˆ eme langage que B

est C

= (Q, A, E, i, F ). On veut montrer qu’il poss` ede 2

´ etats. Pour tout mot u ∈ A

, on note E

(i, u) l’´ etat o` u l’on arrive en lisant le mot u. Soient u et v deux mots distincts de longueur n.

Montrez que E

(i, u) 6= E

(i, v) (Indication : trouvez un mot w tel que uw soit reconnu et pas vw).

4. Combien y-a-t il de mots de longueurs n sur l’alphabet A ?

5. Vous pouvez alors conclure.