Automates avanc´ es – Master 1 Informatique TD 2 : Langages rationnels et automates finis (suite)

Automates avanc´ es – Master 1 Informatique TD 2 : Langages rationnels et automates finis (suite)

Exercice 1 :

D´eterminiser les automatesA1 etA2.

1 b

a 2

3

b ε b

a 4 b

Figure1 – AutomateA1

1 b

a 2

ε 3 ε

b 4 ε

a 5

Figure2 – AutomateA₂

Exercice 2 :

Le but de cet excice est de montrer qu’il existe des automates qui n´ecessitent un nombre exponentiel d’´etats par rapport `a leur version non-d´eterministe.

1. ´Etant donn´e un entier n ≥1, construisez un automate non-d´eterministe Bn sur l’alphabet Σ = {a, b} avec au plus n+ 1 ´etats et reconnaissant les mots de longueur sup´erieure `a n tels que la n-i`eme lettre en partant de la fin est una.

2. D´eterminiser B4. Combien d’´etats l’automate d´eterministe poss`ede-t-il ? Qu’en est-il dans le cas B5?

3. Pour n ≥1, on suppose que l’automate d´eterministe reconnaissant le mˆeme langage que Bn est Cn = (Q,Σ, E,{i}, F). On veut montrer qu’il poss`ede 2<sup>n</sup> ´etats. Pour tout mot u∈ A<sup>∗</sup>, on note E<sup>∗</sup>(i, u) l’´etat o`u l’on arrive en lisant le motu. Soientuet v deux mots distincts de longueurn.

Montrez queE^∗(i, u)6=E^∗(i, v) (Indication : trouvez un motwtel queuwsoit reconnu et pasvw).

4. Combien y-a-t il de mots de longueursnsur l’alphabet Σ ? 5. Vous pouvez alors conclure.

Exercice 3 : Montrer queS

n≥0(a⁺c)ⁿ(b⁺c)ⁿ+ (a+b+c)^∗cc(a+b+c)^∗satisfait la condition du lemme de l’´etoile.

Est-ce que le langage est r´egulier pour autant ? Exercice 4 :

Les langages suivant sont-ils r´eguliers ?

1. L₁={baba²ba³. . . baⁿ|n≥0}

2. L₂={u∈ {a, b}^∗| |u|a=|u|b} \A^∗{aa, bb}A^∗ avecA={a, b}

3. L₃={aⁿ|nest un entier premier}

4. L4={u∈ {a, b}^∗| |u|a<|u|b}(o`u|u|a repr´esente le nombre deadans le motuet|u|brepr´esente le nombre deb dans le motu)

Exercice5 :

On dit qu’un mot contient un carr´e si on peut l’´ecrire uvvw avec v 6= . Montrez que le lan- gage K={udv|u, v ∈ {a, b, c}^∗ and ( soitu6=v, soituouv contient un carr´e)} sur l’alphabet {a, b, c, d}satisfait le crit`ere du lemme de l’´etoile fort mais n’est pas r´egulier.

Indication : On pourra montrer que K satisfait le crit`ere avec n= 3. Pour montrer queK n’est pas r´egulier, on pourra admettre l’existence de mots sans carr´e arbitrairement longs sur l’alphabet {a, b, c}.

Exercice6 :

(a) Montrer que le carr´e d’un langage r´egulier n’est pas n´ecessairement un langage r´egulier. Le carr´e du langageL´etant d´efini par

L²={uu|u∈L}.

(b) Montrer que la racine carr´ee d’un langage r´egulier est un langage r´egulier. La racine carr´ee du langageL´etant d´efinie par √

L={u|uu∈L}.

On pourra exprimer √

L comme combinaison r´eguli`eres de langages obtenus `a partir d’un automate reconnaissantL.