Automates avanc´es – Master 1 Informatique TD 4 : Langages alg´ebriques et automates `a pile

Automates avanc´ es – Master 1 Informatique TD 4 : Langages alg´ ebriques et automates ` a pile

Exercice 1 :

Une grammaire (Σ, V, P ) est dite lin´ eaire droite si toutes ces r` egles sont de la forme S → w avec w ∈ Σ ^∗ ∪ (Σ ^∗ · V ).

1. Donner les grammaires lin´ eaires droite correspondant aux langages rationnels suivants : (a) Les mots sur {a, b} contenant un nombre impair de a.

(b) Les mots sur {a, b} o` u chaque paire de a est imm´ ediatement suivie par une paire de b.

2. Montrer qu’un langage est rationnel si, et seulement si, il est reconnaissable par une grammaire alg´ ebrique lin´ eaire droite.

Exercice 2 :

Rendez les grammaires suivantes propres : 1.

S → AB + aS + a

A → Ab + b

B → AS

2.

S → cB + cS

B → aBb + ε

3.

S → T U + V W + X

T → T T + W

U → aU + V + cW + ε

V → U + W + XaV

X → W + b

Exercice 3 :

On consid` ere l’automate suivant avec comme alphabet d’entr´ ee A = {0, 1}, comme alphabet de pile Z = {Z 0 , X} (Z 0 est le symbole initial), comme ´ etats de contrˆ ole Q = {q 0 , q 1 , q 2 } et les transitions suivantes :

q 0 , Z 0

→ 1 q 0 , X

q 0 , X → ¹ q 0 , XX q 0 , Z 0

→ 0 q 2 , Z 0

q ₀ , X → ⁰ q ₁ , ε q ₁ , Z ₀ → ⁰ q ₂ , Z ₀ q ₁ , X → ⁰ q ₁ , ε q ₂ , Z ₀ → ⁰ q ₂ , Z ₀

1. Quel est le langage reconnu par cet automate ` a pile lorsque il accepte par pile vide ? 2. Qu’en est-il si le mode d’acceptation est par ´ etat final sur l’´ etat q 2 ?

Exercice 4 :

On consid` ere l’automate suivant avec comme alphabet d’entr´ ee A = {a, b}, comme alphabet de pile

Z = {Z 0 , A, B} (Z ₀ est le symbole initial), comme ´ etats de contrˆ ole Q = {q 0 , q ₁ , q ₂ , q ₃ , q _f } et les transitions

suivantes :

q ₀ , Z ₀ → ^a q ₁ , AAZ ₀ q 0 , Z 0

→ b q 2 , BZ 0

q 0 , Z 0

→ ε q f , ε

q 1 , A → ^a q 1 , AAA q ₁ , A → ^b q ₁ , ε q 1 , Z 0

→ ε q 0 , Z 0

q 2 , B → ^a q 3 , ε q ₂ , B → ^b q ₂ , BB q ₃ , B → ^ε q ₁ , ε q ₃ , Z ₀ → ^ε q ₁ , AZ ₀ 1. Les mots abb et bab sont-ils accept´ es par l’automate ? 2. Quel est le contenu de la pile apr` es lecture de b ⁷ a ⁴ ?

3. Quel est le langage accept´ e par cet automate si on suppose qu’il accepte par ´ etat final q f ?

Exercice 5 :

Construire des automates ` a piles reconnaissant chacun des langages suivant, et pr´ ecisez dans chacun des cas le mode d’acceptation pour lequel vous avez opt´ e :

1. {w ∈ {a, b} ^∗ | |w| a = |w| b + 1 et ∀w 1 w ₂ = w, on a |w 1 | a ≥ |w 1 | b } o` u |w| c repr´ esente le nombre d’occurrences de la lettre c dans le mot w ;

2. {w ∈ {a, b} ^∗ | |w| a = 2.|w| b } ; 3. {a ⁿ b ^p | n ≥ p ≥ 0} ;

4. {a ⁿ b ^p | p ≥ n ≥ 0} ; 5. {a ⁿ b ^p | n 6= p} ;

6. {a ⁱ

ba ⁱ

b . . . a ⁱ

b | n > 0 et ∃j.i j 6= j} ;

7. {a ⁿ b ^p a ⁿ | n, p > 0} ∪ {a ⁿ b ^p c ^p | n, p > 0}.