Automates avanc´es–Master 1 Informatique TD 7 : Automates de B¨uchi

Automates avanc´es–Master 1 Informatique TD 7 : Automates de B¨uchi

Exercice 1 On consid`ere les automates de B¨uchi suivants

0 1

2

a a

b b a

Figure 1: Automate A

0 1 2

a b

a a b b

Figure 2: Automate A

1. Quel est le langage reconnu par A

?

2. Est-ce-que A

accepte le mot infini (abb)

? Si oui, d´ecrivez une ex´ecution de l’automate acceptant ce mot.

3. Donner un mot infini non reconnu par A

. 4. D´ecrire L(A

) ∩ L(A

).

1

Exercice 2 Donnez les automates de B¨uchi correspondant aux langages suivants sur l’alphabet A = {a, b, c}.

1. {u ∈ A

| u contient au moins une fois le motif ab}.

2. {u ∈ A

| u contient un nombre infini de fois le motif ab}.

3. {u ∈ A

| u contient un nombre fini de fois le motif ab} .

4. {u ∈ A

| u contient au moins une fois le motif ab et au moins une fois le motif ac}.

5. {u ∈ A

| si u contient un nombre infini de a alors il contient un nombre infini de b}.

6. A

(aaaaa)

.

Exercice 3 Donner le langage accept´e par les automates de B¨uchi A

, A

et A

.

0 1

a b

b a

Figure 3: Automate A

0 1

a,b b

a

Figure 4: Automate A

0 1

a a

a,b

Figure 5: Automate A

2

Exercice 4 Pour un mot infini u, on note Inf (u) l’ensemble des lettres appa- raissant un nombre infini de fois dans u. Construire l’expression r´eguli`ere et l’automate de B¨uchi pour les langages suivants sur l’alphabet A = {a, b, c} :

1. {u ∈ A

| Inf (u) ⊂ {a, b}}.

2. {u ∈ A

| Inf (u) = {a, b}}.

3. {u ∈ A

| {a, b} ⊂ Inf (u)}.

4. {u ∈ A

| Inf (u) = {a, b, c}}.

5. {u ∈ A

| si a ∈ Inf (u) alors {b, c} ⊂ Inf (u)}.

Exercice 5 Donner les expressions r´eguli`eres et les automates de B¨uchi corre- spondant aux deux langages suivants sur l’alphabet A = {a, b} :

1. {u ∈ A

| k est pair pour chaque sous-mot ba

b de w}.

2. {u ∈ A

| u ne contient pas bab} .

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