Liste 17

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L.S.Marsa Elriadh

Liste 17

^{M : Zribi}

4 ^ème Maths Exercices

1

Exercice1:

soit U1 un réel non nul on considère la suite U définie par son premier terme U1 et tel que pour tout entier non nul : Un+1=^Un

n . 1/ on suppose que U1.0

a/ montrer que la suite U est décroissante et minorée.

b/ montrer que pour tout entier naturel n non nul on a: 0Un^U¹ n . c/ déduisez en que la suite est convergente; quelle est sa limite?.

2/ on suppose que U1 0. Etudier de manière analogue la suite U.

Exercice2:

soit U la suite définie par:

0 n

n k

k 0 n

U 1

U 1 ; n IN

 C

 

   



. 1/ soit n  4.

a/ montrer que Un= 2 2 1

2

  2





n Cn

k k

n .

b/ soit k[2,n-2], montrer que n

Ck  n n( 1) 2 . c/ déduisez en que



^

 2 2

2

n 1

k k n

C

^n ^.

2/ a/ déduisez un encadrement de la suite U.

b/ montrer que la suite U converge vers 2.

Exercice4:

on considère la suite définie sur N par:

U U

Un Un Un

0 1

1 2

2 3

4

3

 

 







 

;

.

1/ soit V la suite définie par: Vⁿ=Uⁿ-U^n-1.montrer que V est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison. Calculer son terme général en fonction de n.

2/ a/ calculer Sn=V1=V2+...+Vn en fonction de n.

b/ calculer Sn en fonction de Un et de U0.

c/ montrer que la suite U est convergente et préciser sa limite.

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L.S.Marsa Elriadh

Liste 17

^{M : Zribi}

4 ^ème Maths Exercices

2

Exercice5:

on considère la suite U définie par: U0=1 et U

n U

n

1 1 1 .

1/ on pose Vn=U2n et Wn=U2n+1 . calculer V0 et W0. Montrer que pour tout nN

on a: V V

V etW W

n n W

n

n n

n

   

  

1 2 1 1 

1

2 1

1 . 2/ on étudie dans cette question la suite V.

a/ montrer que pour tout nN on a: 0Vn2.

b/montrer que pour tout nN* , les réels (Vn+1-Vn) et (Vn-Vn-1) sont de même signe. Déduisez que V est une suite croissante.

c/ déduisez que V est une suite convergente.

d/ démontrer que la limite l de V est une solution de l’équation x²-x-1=0. En déduire l..

3/ étudier de manière analogue la suite W.

Montrer que la suite W est décroissante minorée par 0. Démontrer que W converge vers la limite l.

Exercice 6:

soit U la suite réelle définie sur N par U0=0 et pour tout nN, Un+1=

n n

U

U 8 2

2



 . 1/ montrer que pour tout n aN ; 0Un1

2/ montrer que pour tout nN, Un+1

3 2Un



3/ montrer que U est croissante ;en déduire que U est convergente et calculer sa limite.

4/ a/ montrer que pour tout nN, 1-Un+1 (1 ) 3 1 U_n



b/ en déduire que pour tout nN, 1-Un

3

1

 n puis retrouver la limite de Un. 5/ soit S_n=^

 1 0 n k

Uk ; on désigne par V_n=

n Sⁿ.

a/ montrer que pour tout nN , n (11n)Snn 2

3

3 .

b/ en déduire que la suite V est convergente et donner sa limite.