Devoir maison n°2

Mathématiques

TS3

Devoir maison n°2

À rendre le 28 septembre 2018

Il est possible de rendre ce devoir par binôme

Exercice 1Que reste-t-il ?

On considère un triangle ABC isocèle et rectangle en A tel que AB = AC = 1.

Étape 1 : On divise ce triangle en quatre triangles isocèles rectangles obtenus en joignant les milieux des côtés et on colorie le triangle central. On obtient un triangle colorié.

Étape 2 : Chacun des trois triangles non coloriés est alors divisé comme précédemment et on colorie de la même façon les triangles centraux. On obtient trois nouveaux triangles coloriés soit un total de 1 + 3 = 4 triangles coloriés.

Après trois étapes, on obtient la quatrième figure comportant un total 1+3+9 = 13 triangles coloriés.

On souhaite étudier la question suivante :

Le triangle ABC sera-t-il complètement recouvert par les triangles coloriés si l’on continue indéfiniment la construc- tion ?

A B

C

A B

C

n= 1

A B

C

n= 2

A B

C

n= 3

Pour tout entiern>1, on note :

• tn le nombre de nouveaux triangles coloriés à l’étape n.

• an l’aire de chacun des nouveaux triangles coloriés à l’étape n.

• u_n l’aire totale des triangles coloriés aprèsnétapes.

1/3 X Hallosserie

1. En observant la construction, justifier que pour tout entiern non nul : tn+1= 3tn et an+1 = 1

4an.

2. En déduire le terme général des suites (t_n) et (a_n).

3. Représenter chacune des suites (t_n), (a_n) et (u_n) à l’aide d’un tableur en complétant les cellules comme ci-dessous :

Étendre la ligne 3 jusqu’à la ligne 26 pour obtenir les 25 premiers termes de chacune des suites (tn), (an) et (un).

a) Quelle est la valeur obtenue pouru₂₅au dix-millième près ? b) Que peut-on conjecturer concernant la limite de la suite (u_n) ? 4. Justifier que pour tout entier n>1 :

un+1−un= 1 8

3 4

n

5. Démontrer par récurrence que pour toutn>2 :

u_n−1 8 = 3

8 1− 3

4 n−1!

Indication : Il sera nécessaire de factoriser par 3

4 k−1

!

6. Déterminer la limite de la suite (u_n) et répondre au problème posé.

Exercice 2Distance la plus courte à une parabole

x y

O I

J•D

•M

P

Soitg la fonction définie surRpar :g(x) =x²−3x+ 4 et P sa courbe représentative dans un repère orthonormé. Soit D le point de coordonnées (0 ; 1).

On souhaite déterminer la position du point M de P qui minimise la distance DM.

2/3 X Hallosserie

Question préliminaire :

Vérifier le résultat suivant obtenu à l’aide d’un logiciel de calcul formel :

Étude da la fonction :

1. Montrer que DM =^px⁴−6x³+ 16x²−18x+ 9.

2. On note f(x) =^qu(x) avecu(x) =x⁴−6x³+ 16x²−18x+ 9, pour tout xde R.

a) Vérifier queu⁰(x) = 2(x−1)(2x²−7x+ 9).

b) En déduire l’expression def⁰(x).

3. Étudier le signe de f⁰(x) et dresser le tableau de variation de f sur −1 ; 3. 4. En déduire les coordonnées du point M0 de P qui minimise la distance DM.

5. Donner les coordonnées d’un vecteur directeur de la droite (DM0) et de la tangente (T) à P en M0. Que remarque-t-on concernant les droites (DM0) et (T) ?

3/3 X Hallosserie