Sur les cercles de remplissage non-euclidiens

A NNALES SCIENTIFIQUES DE L ’É.N.S.

L. H. L ^ANGE

Sur les cercles de remplissage non-euclidiens

Annales scientifiques de l’É.N.S. 3^e série, tome 77, n^o3 (1960), p. 257-280

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Ann. scient. Ec. Norm. Sup^

3e série, t. 77, 1960, p. 267 à 280.

SUR LES CERCLES DE REMPLISSAGE NON-EUCLIDIENS

PAR M. L. H. LANGE.

INTRODUCTION. — Les recherches exposées dans ce Mémoire concernent en premier lieu certaines familles de fonctions holomorphesetnon bornées dans le cercle unité. Dans la plupart des cas, nous traiterons de fonctions caractérisées par une hypothèse concernant leur comportement sur un chemin spirale à l'inté- rieur du cercle-unité qui s'approche asymptotiquement de la frontière de cet ensemble. Quelques-uns des résultats constituent des analogues non euclidiens, semblables à certains théorèmes classiques sur les fonctions entières. (On a annoncé une partie de ce travail dans [10].)

Si gÇz) désigne une fonction entière, nous savons que, dans un voisinage arbitraire V de ^=00, la fonction présente le « comportement de Picard », c'est-à-dire que, pour toutes les valeurs complexes et finies, a, avec une excep- tion au plus, l'équation g-Çz)=a a une infinité de racines dans V. M. Julia a prouvé que, pour g ' ( z ) , il existe au moins une demi-droite A allant de l'origine vers l'infini, ayant la propriété que, dans n'importe quel angle positif ayant son sommet à l'origine et dont A est la bissectrice, g{z) présente le comportement de Picard, ^'(z) = a a des racines dans cette portion du plan ([8]).

Ce théorème a été précisé par M. Milieux ([11] et [12]) qui a prouvé l'exis- tence pour gÇz) de ce qu'il a appelé les cercles de remplissage, éléments d'une suite { C n } de cercles du plan de z dont les centres Zn s'approchent de z = oo ; le cercle Cn est vu de l'origine sous un angle a^, où lim a^== o ; dans le domaine C,,,

TZ^OO

gÇz) prend toutes les valeurs w pour lesquelles w <^ —? avec l'exception pos- sible d'un ensemble de valeurs pouvant être enfermé dans un cercle de rayon p-^^>o, où lim [j^==o.

îi-^-v

En IQÔQ, M. W. Seidel, considérant le cercle-unité comme un plan non eucli- dien de la variété de Poincaré, et se servant de la théorie des familles normales de M. Montel, a prouvé des théorèmes analogues à celui de M. Julia. Il a montré que si/e^, où ^ est une certaine sous-catégorie de la famille des fonctions holomorphes et non bornées dans z < ^ i , il existe une spirale, So, s'appro- chant de \z\ = i asymptotiquement, ayant la propriété que, dans la réunion de tous les disques non euclidiens ayant leurs centres sur Su et tous le même rayon non euclidien positif arbitraire, la fonction fÇz) présente encore le comporte- ment de Picard (théorèmes 1 et 3 de [13]).

Parmi les principaux résultats de ce travail, on trouvera, parallèlement, un théorème analogue au théorème de M. Milieux avec introduction du concept

«d'ensemble de disques-p» défini plus bas (§4) ([10]). On ne s'est pas servi, dans cette étude, de la théorie des familles normales. On a obtenu les résultats, y compris un principe général sur les phénomènes des angles de Stolz, au moyen d'applications variés de certaines formes non euclidiennes du théorème de Schottky.

Comme certains éléments de la méthode utilisée dans cette étude sont dans leur esprit parallèles aux méthodes employées par Valiron dans son traitement des fonctions entières, ce que nous lui devons est évident. Nous tenons égale- ment à exprimer notre gratitude envers M. Seidel qui n'a pas seulement décou- vert un théorème analogue à celui de M. Julia, mais nous a aussi suggéré d'étudier les cercles de remplissage de M. Milloux.

1. TERMINOLOGIE. — On trouvera certaines des définitions données dans ce paragraphe, dans [13] et dans [6], tandis que d'autres nous sont propres.

Nous allons traiter de fonctions caractérisées par une hypothèse concernant leur comportement sur une spirale, intérieure au cercle-unité, qui s'approche asymptotiquement de la frontière de celui-ci. Une spirale sera une courbe simple définie par une équation z = ^(^), où o ^ t <^ oo, et ^(^) est une fonction continue à valeurs complexes ayant les propriétés suivantes :

o < | S W | < i , l™ Ç W | = = i . l i m a r g ^ ) = = o o .

<->» <->ao-

Nous nous servirons d'une métrique non euclidienne. (Pour une discussion des sujets de géométrie non euclidienne traités dans cette étude, on renvoie le lec- teur à [4], [5] et [9].) Ainsi, si Zo et z sont deux points à l'intérieur du cercle- unité, le nombre rf(^o? z)= ^log1—"5 où u= ^° ^ 5 est la distance non

2 1 — U î — ZQZ

euclidienne (hyperbolique) entre ces points.

Il importe que cette métrique soit invariante pour des déplacements rigides

^ _ y non euclidiens. C'est-à-dire que, si h(z) = e1^ ^ ~_ alors

d(z,,z,)=d(h(z,),h(z,)).

SUR LES CERCLES DE REMPLISSAGE NON-EUCLIDIENS. >5t)

En outre, il importe également que cette métrique soit additive, c'est-à-dire que, si le point z^ est placé sur le segment non euclidien réunissant les points Zi et ^3, alors

d(z^ z,)-\-d(z^ z,)=d(z^ z,,}.

Si A et B sont deux sous-ensembles non vides de z <^ i, nous posons

d(A, B) = i n { [ d ( z , z') \ zçA, z ' ç B } .

Si A = [ z o } , c'est-à-dire que, si A consiste en le seul point ^o, nous écri- rons rf(^o, B), au lieu de d( [ z ^ } , B).

Soit la spirale S définie par l'équation z= ^(^). Étant donnée une valeur t, il existe une première valeur de t, soiU', telle que t<^t' etarg ^(^)====argÇ(^)+ 2 ri;

dans cette étude, nous utiliserons le symbole t' si, et seulement si l'on attribue à t' ce sens particulier. Ceci fixé, nous définirons avec M. Seidelles expressions pratiques suivantes pour mesurer « l'étroitesse » de la spirale S. Nous posons

^(S)=]imd^(t), ;(0)

— i^»

et

p.{S)=\imd^(t)^(t')).

<?->00

Parfois, lorsque le contexte ne permettra aucun doute, nous remplacerons, p-(S) par p-, par exemple.

Comme c'est Valiron ([15] et [16]) qui a prouvé l'existence de fonctions qui, quoique holomorphes et non bornées dans le cercle-unité, demeurent néanmoins bornées sur une spirale, nous utiliserons le symbole ("V, [L <^ oo ") pour la famille de toutes les fonctions holomorphes et non bornées dans le cercle-unité pour chacune desquelles existe une spirale S pour laquelle [J-(S)<^QO, et sur laquelle la fonction reste bornée. De même, si le premier terme de notre symbole est V*, au lieu de V, le symbole indiquera la famille des fonctions holomorphes dans le cercle-unité qui tendent vers Finfini sur une spirale de cette sorte. Par exemple, nous pourrons parler de la famille (V*, [j<=o). En outre, il sera parfois opportun d'utiliser un symbole semblable en parlant d'une spirale spécifique. Par exemple, nous écrirons /€=(V*, S, ^ = o ) si la fonction/est holomorphe, non bornée dans le cercle-unité et tend vers l'infini le long de la spirale spécifique S mentionnée dans le symbole. Notons que la famille ^, mentionnée dans l'intro- duction, est la famille

^==(V, ^ < o o ) u ( V * , ^ < o o ) .

Dans la suite, ^ aura cette signification.

Soient S une spirale donné par z =^(^), o^^<^oo, et f(z) une fonction donnée, définie pour z \ <^ i, telle que lim/(î^)) == v, nous appelons le nombre v,

t-^-x

la valeur asympïotique de/(^) le long de S. Les différentes familles de fonctions

^7i7i. Éc. Norm., (3), LXXVII. — FASC. 3. 34

dont nous parlerons sont non vides : cela peut se déduire des travaux de MM. F. BagemihLet W. Seidel, qui ont obtenu des exemples de fonctions holo- morphes et non bornées dans le cercle-unité et qui possèdent des valeurs asymp- totiques, finies ou infinies, données, sur n'importe quel ensemble dénombrable donné de spirales disjointes (c/. le corollaire 1 de [3]), aussi bien que sur cer- tains ensembles de spirales disjointes ayant la puissance du continu ([2]).

Si S est la spirale mentionnée ci-dessus, nous désignerons par S ( t ^ t p ) une certaine « queue » de la spirale S; c'est-à-dire Pensemble de tous les points sur S pour lesquels ^ ^ ^ o - Si o<^to<^cc, et si nous posons S^= S ( t ^ t p ) , alors S' est elle-même une spirale selon notre définition.

Étant donné un point T sur z = i, l'ensemble de tous les points z de z \ <^ i pour lesquels

—^<^<^(l—^z)<^<7:-, \ Z — T < E ,

2 2

où a et (3 sont des angles donnés et £ est assez petit pour que la frontière de l'ensemble ainsi défini n'ait que le point T de commun avec z = i, s'appellera un angle de Stolz en T, et sera symbolisé par A^. Si a = — ?, l'ensemble ainsi défini s'appellera un angle de Stolz symétrique de sommet T et d'ouverture 2 [3, et sera symbolisé par A^p.

Si A est un sous-ensemble de | z \ <^ i, A représentera la fermeture de A (ou l'adhérence de A), c'est-à-dire, le plus petit ensemble fermé contenant A. Si H est un sous-ensemble quelconque de | ^ [ < ^ i tel que H ait au moins un point commun avec | ^ [ = i , nous désignerons par R(/, H) l'ensemble de toutes les valeurs complexes a pour chacune desquelles il existe une suite de points {z^}, a v e c ^ e H e t l i m ] ^ = i, telle que /(^/i) =a.

n^

Si F est l'ensemble de tous les nombres complexes finis et si E est un sous- ensemble de F, le symbole C- E désignera le complément de E relatif à F. En outre, le symbole A(E) désignera le diamètre de E, c'est-à-dire

A ( E ) = = s u p j \ z — z ' \ z . z ' ç E ' L

Soit do, un nombre positif, nous définirons par le symbole C(^o? do) l'ensemble

C(^o, do) == i z [ d(z^ z) < do j

dans lequel le terme Zo désigne un point intérieur au cercle-unité. Ainsi, C(^o? do) est le disque non euclidien ouvert dont le centre non euclidien est en z=zo et dont le rayon non euclidien est rfo. Pour indiquer la fermeture d'un tel disque, nous utiliserons le symbole CÇzo, do). Nous adoptons la convention commode que, désormais les termes « disque », « centre », et « rayon » devront être entendus dans le sens non euclidien, sauf s'ils se rapportent au cercle-unité lui-même.

SUR LES CERCLES DE REMPLISSAGE NON-EUCLIDIENS. 261

2. LEMME FONDÉ SUR LE THÉORÈME DE SCHOTTKY.

LEMME 1. — Soient ^ et X deux nombres tels que o <^ ïj <^ A<^ oo . Soit f (2) une fonction holomorphe dans le cercle C(^o? X)? ^ prenant pas les valeurs o et ï dans C(^o? X)* On a donc

(i) | / ( ^ ) | < ( A . |/(^) +A)^² T^r ^ € C ( - o , I V

A étant une constante supérieure à ï . De plus, si la condition

[/(^[XA^) est vérifiée, avec

T(^)=n^—^——^t h À — t h ( À — Y î )

et K' est une constante supérieure à ï , on a

(ii) l/^o)!1^7 1'^!/^)! pour z ç C ( z ^ ' h - ' n ) , ou E(ïî, À) ==Y} e-^.

[Nous désignerons par R(ï], A) /a réciproque de E(r^ X).]

Démonstration. — ^\^= -^—-11? nous posons^'(Ç)==/(^). La fonction g(D

I — ^o^

est alors holomorphe en ^\ <^ a = t h X , ^(o)==/(^o). et^(^) ne prend pas les valeurs o et i pour ^ <^ <j.

Posons maintenant F(^) ===^•((7^). F(Q est holomorphe pour | Ç | <^ i et, puis- qu'elle ne prend pas là les valeurs o et i, nous pouvons appliquer le théorème de Schottky et écrire

( 1 ) | F ( Ç ) | < ( A . | F ( o ) +A)1-^ ,

ce qui est valable pour tout ^ <^ i , A étant une certaine constante supérieure à i. (Cette forme du théorème de Schottky se trouve dans [14]. Pour la biblio- graphie, z^oîr [7].)

Revenant à la fonction ^(Q, nous obtenons

1+^¹ (2) ' |^(Ç) |< (A. ^(c^l+A)1""0", .

valable pour [ Ç | <^ CT.

Si nous prenons a ' fixe vérifiant o <^ rf <^ 07, nous aurons

(3) ^ ( Ç ) | < ( A . | ^ ( o ) | 4 - A )¹

valable pour C [ ^ ^.

Posons o'= th -? un calcul élémentaire montre que nous pouvons écrire (4) ^ ( Ç ) | < ( A . | ^ ( o ) +A)^²,

pour tout ^ | ^ t h -• La relation (4), traduite dans les termes de notre fonc- tion/(^), donne la relation (i) du lemme.

Afin d'établir la partie (ii)du lemme, nous observerons d'abord que, dans (i), F(^) et F(o) sont permutables. Pour justifier cette remarque, considérons la relation ( i ) pour une valeur fixe ^==^1, [Ci [ < ^ i , et utilisons le mouvement non euclidien défini par t= : - Si

^ - S i S

•Ensuite définissons la fonction G(^) en posant G ( ^ ) = = F ( ^ ) . Donc, G(^) est holomorphe pour \t <^ i et n'y prend pas les valeurs o et i. Puisque G(— ^i) = F(o) et G(o) = F(^), la relation

j + l - ^ i l

| G ( - Ç i ) < ( A . G(o) montre que nous pouvons écrire

F ( o ) | < ( A . [ F ( Ç , )

-A)1-!-^!

1 + 1 ^ 1

-A)

T

^".

Ceci nous permet de permuter les valeurs g\^) et ^(o) de (3), ci-dessus, et en posant maintenant 0'== th(X — ^), un calcul élémentaire montre que

| ^ ( o ) | < ( A . | ^ ( Ç ) | + A )²^ R ( ^ > ^ )

pour tout [ Ç [ ^ th ( À — ri ) .

Puisque A. g(^) | + A <^ | ^'(S) [2 pour | g'(^) [ ^> 2 A, nous trouvons mainte- nant que l'inégalité

(5) |^(o) |< [ ^ ( Ç ) \^^

est valable pour tous les Ç de | Ç | ^ t h ( A — ï j ) qui vérifient l'inégalité

1^(0 1 > 2 A .

Puisque ——— décroît dans o^x<^i, les conditions [ ^ ' ( o ) | ^ > i et

| ^ | ^ ^ = t h ( X — Y ] ) entraînent

1 ^ ( 0 ) ;l^(o)

Si nous permutons les valeurs ^'(o) et ^'(C) de (2) et si | ^ - ( o ) [ ^ > i , nous pouvons écrire

/ 1-î⁷: \ / ._i^L

(6) A

i4-°--A ]^L i

J ^ ( o ) | ^{(T /}~~ A J^(o)

l s l À /

-"--^ ^(Ç)|.

SUR LES CERCLES DE REMPLISSAGE NON-EUCLIDIENS. 263

II s'ensuit que | ^(*C) ] ^> 2Â est vrai pour tous les *€ vérifiant | ^ | ^ a', pourvu que | ^(o) soit assez grand pour vérifier l'inégalité

(7) ^v 9.A^A<\^(o)\^[+a.

Puisque o <^ - <^ i, la relation (7) est vérifiée à condition que

9.A²-^A.<\^(o)

valable à son tour si

I < 9 < A/= ( 2 A^+ A )2< |^(o) ^

Enfin, si nous traduisons cette dernière relation et la relation (5) dans les termes de f{z\ nous voyons que toutes les propositions du lemme 1 ont été démontrées.

3. LEMME CONCERNANT CERTAINS COUPLES DE POINTS.

LEMME 2. — Soitf(z) une fonction holomorphe dans z <^ i. Soit p-o un nombre fixe, o <^ [LQ <^ oo , et [ Zn \ n = i, 2, . . .} une suite de points telle que :

( 1 ) . ^ m [ / ( ^ ) ==oo;

' • n-> oo

(2) pour chaque n==i, 2, . . ., Fensemble Cn= C(^, ^o) contient un point tn telque fÇCn) = o oufÇ^) = i ;

(3) pour chaque n == i, 2, . . ., le point ^ ^ ^/ que

d(Zn, Ç/0 =: min { d(Zn, z) \ f(z) == o ou / ( ^ ) == i { .

Alors, étant donnés les nombres arbitraires L, £, S, pour lesquels on a o <^ L <^ oo , o < ^ £ < ^ o o , o < ^ â < ^ i , î7 existe deux points Ç, Z ^fc yz/^ :

(^\ Ç == Ç/îç€ { ^n} pour une certaine valeur n^

(5) ' . | ç | > ^ ;

(6) le point Z <°^ tel que rf(^, Z) <^ £ et se trouve sur le segment non euclidien qui joint Zn, à S^^C;

(7) pourzeC(z^, dÇz^ Z)) nous avons |/(^)|^>L. {H est possible que ce cercle se réduise au seul point z,^ = Z. )

Remarque. — II découle, en particulier, de la condition (7) que |/(Z)j ^> L et c'est ce cas particulier que nous utiliserons dans nos premières applications du lemme 2. C'est dans la démonstration du théorème IV, ci-dessous, que nous aurons besoin de la propriété (7) telle qu'elle est exprimée ici.

Démonstration. — Pour chaque ^ = 1 , 2 , . , . , posons T^=J(^, ^). Puisque

O^T^<^ [^o? pour ^ = i, 2, ...,il existe une suite partielle {•T,,,. /•== i, 2, extraite de la suite { ^ n } , qui tend vers un nombre T, Q ^ T ^ ; ^ .

Si T = = O , notre lemme est démontré, par suite de notre définition des nombres T^ et de notre hypothèse ( i ) . Pour toutes les valeurs assez grandes de k, les choix C = ^ et Z=z^ seront suffisants.

Si o <^T^p-o, il existe une valeur ko de k, telle que, pour tout k^k^, nous avons o <^ - T <^ T^<^ p-o- Pour la commodité dans la suite, nous représenterons la suite partielle [^^ [ k ^ k o } p a r [ ^ : , \ ? = = i , 2 , . . . } .

Appliquons maintenant le lemme 1 aux disques C(^, T,), i= i, 2, . . ., ûfo^

chacun ne contient aucun point z pour lequel f(z) = o ou /(^) = i. Pour cela, prenons ^ tel que o ^c^min^, ^ T L Nous avons alors o <^<^<^ [j.o<^oc, pour î'==i, 2, . . . . Donc, en appliquant le lemme i au disque CÇzf, T/), pour i=i,2, . . . , nous avons

(8) F^I/^I^^^I/^P'^^I/^)! pour ^ C ( ^ r , - ^ ) ,

pourvu que

(9) . , 1/(^) XA')^^)

soit vérifiée.

Nous montrerons maintenant que (9) est vraie pour toutes les valeurs asse/

grandes de i. Il en découlera que l'inégalité

(10) ,^.<|/(^|

est vraie pour ^ € C ( ^ / , T / — s7) et cassez grand.

Puisque

limthT;=thT et limth(T— z ' ) ^ = t h ( T — s/),

;>oc f - ^ a c ,

nous aurons

l i m T ( s/, T O = T ( £/, T ) < o o .

< - > O C

D'une part, la partie droite de l'inégalité (9) est bornée, d'autre part, la partie gauche tend vers Finfini par suite de ( i ) ; il s'ensuit que (9) est vérifiée pour i assez grand.

Représentons par Z/ le point du segment de droite non euclidien j o i g n a n t e à Ç/, point pour lequel rf(^,Z,)=T,— £ ' , ; = = i, 2, . . . . Si nous observons maintenant que limF/==oo et que lim 1 ^ 1 = 1 , nous constatons que, pour i

;'->oo /->-<»

supérieur ou égal à une certaine valeur io, les choix Ç = ^ e t Z = Z / seront en accord avec les exigences de notre lemme. Le lemme 2 est démontré. [Dans la suite, on utilisera *€ ou ^ et Z ou ïn de façon à rappeler ce lemme ; /(^) = o ou /(C) ==1 et |/(Z) |est grand.]

SUR LES CERCLES DE REMPLISSAGE NON-EUCLIDIENS. 9.6f)

4. L'EXISTENCE DES DISQUES-p.

DÉFINITION (R). — Soit /(^) ^^ fonction à valeurs complexes définie pour

| z \ <^ ï et prenant ses valeurs dans le plan de w. Nous dirons quefÇz) POSSÈDE DES DISQUES-? si, étant données les suites [ L/ v == ï , 2, . . . } et [ ^ v = ï , 2, .. .},

nuOU

(A)

^

i < L i < L 2 < . . .<L.,<L^<. . ., lim L^==oo,

v->^

(B) I > £ i > £ 2 > . . .> £^> £^+i>. . . , l i m £ ^ = = 0 ,

v / V->»o

il existe une suite { D^ | v == ï , 2, . . . { de disques ouverts, D^ EE= [ z \ rf(^v, z) <^ £ y } , rf^/i^ fc cercle-unité, ayant les propriétés suivantes :

(C) Ç v | < Çv+l| ( ^ = 1 , 2, . . . ) ;

(D) lim^(D,, D ^ ) = o o ;

x / v > ^

(E) dans chaque disque Dy, v = i , 2, . . ., /a fonction /(^) prend toutes les valeurs w telles que \w <^ L^, a^c V exception possible d'un ensemble de valeurs,

&.,, dont le diamètre vérifie l'inégalité A ( ^ ) < ^ . - - Nous appellerons une telle

-L^

suite {D^}, o^ (/^ ^?^^ partielle [ D,^ | Â : = = i , 2 , . . . } , extraite de la suite {Dy}, UN

ENSEMBLE DE DISQUES-? POUR/(^).

DÉFINITION. — Étant donné un ensemble de disques-ç pour une fonction f(z\

soit [^ v = ï , 2, . . .} ^ensemble des CENTRES de ces disques qui s^ appellera UN ENSEMBLE DE POINTS-? POUR/^ chaque point ^ s'appellera UN POINT-P POUR/.

Remarque 1. — Nous utilisons ici le terme « disque-p » à cause de l'analogie avec les cercles de remplissage classiques de M. Milieux.

Remarque 2. — Nous voyons immédiatement que les suites [D^} et { D vérifient l'équation

^k

(F)

eR

^ u^)^ ¹ ^ u^

et que cet ensemble ne comprend qu'une seule valeur complexe finie au plus.

Remarque 3. — II est, bien entendu, possible de donner d'autres définitions pour notre « ensemble de disques-p ». Il est par exemple possible d'éviter une mention explicite des conditions (C) et(D), ci-dessus, puisqu'on peut déduire ces propriétés en considérant des sous-ensembles des ensembles de disques-p convenablement définis.

Arrivons maintenant à un théorème fondamental :

THÉORÈME I. —(Principe d'existence des disques-p.) — Soitf(z\ une fonction holomorphe dans \ z \ < i. S'il existe une constante [j-o, o < [j-o < oo, et une suite de points [z,, n = i, 2, . . .} tels que :

(1) l i m | / ( ^ ) | = o o ;

7î->oo

(2) pour n == i, 2, . . ., il existe un point ^e C,^ C(^, p.o) tel que /•(^) == o

^ / ( ^ ) = i ;

(3) ^cw TÎ == i, 2, . . ., le point ^ satisfait à la condition

d(zn, ^) =mm { d(z^ z ) \ f(z) =: o o u / ( s ) == i ;,

alors, il existe une suite partielle [^ v = T , 2 , . . . j , extraite de la suite

\^n \ n = T , 2, . . . j , qui forme un ensemble de points-a pour f.

Remarque 4. — Si une fonction/^), holomorphe dans \z < i , satisfait à (i) et (2) du théorème I, nous pouvons supposer naturellement qu'elle satis- fait aussi à la condition (3). Ceci a pour conséquence immédiate le

COROLLAIRE I. — Sif(z) est holomorphe dans \z < i et satisfait aux conditions (i) et (2) du théorème I, alors f(z) possède des disques-^.

Cependant, le théorème 1 n'affirme pas seulement V existence d'un ensemble de disques-p pour une fonction donnée mais il renseigne aussi sur la position de cet ensemble.

Démonstration. — Puisque l'hypothèse du théorème 1 coïncide avec l'hypo- thèse du lemme 2, nous savons que pour les nombres donnés L\ £? o satisfaisant aux conditions i < I / < o o , o < l < o ) , o < o < i , il existe un couple de points Ç, Z ayant les propriétés suivantes :

(4) t ^ Ç/<o€ { Çra } pour un certain n^ ;

(5) m>ô;

(6) Z se trouve sur le segment de droite non euclidienne joignant z,,^ à ^= ^ et satisfait à rf(Ç, Z ) < ^;

(7) pour .?eC(^ , rf(^ , Z)), nous avons

\fW\>L\

Si nous admettons maintenant que la fonction f{z) ne prend pas, dans le cercle C(^, s), les deux valeurs distinctes a^ et a^ alors la fonction ë^^- ^ _ ^ 1 ? holomorphe dans ce cercle, n'y prend pas les valeurs o et i.

SUR LES CERCLES DE REMPLISSAGE NON-EUCLIDIENS. '^

Donc, en appliquant le lemme i à g{z), on voit que, pour z e C'(C, "- ) ? on a

^-al <(A.^)-al +AÏ1, où M=^+.. '

^2 — CL[ \ a^_ — ciy j

En tenant compte de (6) et (7) et du fait que /(^)=o ou / ( ^ ) = i , on obtient en particulier

(8) • L - < | / ( Z ) | < | ^ | + .^ ( 1 + 2 a, |+| a,!)^

Si nous admettons maintenant que i <^ L <^ oo et que

(9) [ a , | < L , |^|<L, | ^ , — « i | ^ ^

il résulte de (8) que

L^L+A^.I^-^L)^ (4AL)^ M.

Donc il est nécessaire que

/ T *\2iii

( T O ) A ( S , L - ) ^ ^ < L .

Soient maintenant {L^} et { ^ } deux suites remplissant les conditions (A) et (B) de la définition (R). Pour un indice fixe v, nous considérons les nombres L, et £„ et nous supposons que o^ est un nombre quelconque tel que o <^ â^ <^ i.

Prenons un nombre L*, qui satisfasse à l'inégalité

( n ) ' , L , < A ( £ ^ L Î ) < L ; , OÙ

( L *} ^{ï M}''

A ( £ ^ , L^) ==: ——^/— et ^1^=^+2.

4A

II résulte immédiatement du lemme î qu'il existe un couple de points î^, 7^

ayant les propriétés suivantes :

(i^) ^ e i ç . j ; ( 1 3 ) |SJ>^;

(14) Z^ se trouve sur le segment de droite non euclidienne joignant z,, àî^, et satisfait à ^ ( ^ Z v X ^ ;

(15) pour tous ^€C(^, d(z^, Z,/)) nous avons [ f ( z ) \ ^> L*,^> L,; en parti- culier, |/(Z,) | > L:. - / '/

Nous montrerons maintenant que :

(16) dans le disque Dy== C(E^, £^), la fonction /(^) prend toutes les valeurs w qui vérifient w\ <^Ly, avec l'exception possible d'un ensemble de valeurs, d\, qui satisfait à l'inégalité A(ê^) <^ •y2-'

-L^

Ann. Éc. Norm., (3), LXXVII. — FASC. 3. 35

S'il n'existe pas de valeur aeê.,, telle que \a\<^L^ notre affirmation se trouve immédiatement confirmée. S'il existe une telle valeur aeêy, posons a = a,. S'il n'existe pas de valeur a^çê^ telle que a^ a^ et \a^ \ <^ L^, l'affir- mation (16) est vraie encore. Mais s'il existe une telle valeur ^3, il est nécessaire que ^2 — ^i <^ F ? car la supposition que l'inégalité [ a^ — a^ \ ^ — est vérifiée, conduit à A(£,,, L^)<^L,, ce qui contredit (n). Par conséquent(i6)estprouvé.

Considérons maintenant tous les termes des suites { L , } et { £,,}. Ayant obtenu les résultats des trois paragraphes précédents pour le cas v = i, nous les obtien- drons pour tous les cas où v ^ 2 , en spécifiant que les <^ suivants satisfont à

07) O v > l ^ v - J

et

(18) [ z | >• c^ entraîne que d(^,^_^ z) -^ y.

Nous voyons maintenant que la suite { D ^ v = i, 2, . . .} est un ensemble de disques-p pour/(^) puisque :

(19) la propriété (E) de la définition (R) résulte de (16) ;

(20) les propriétés (C) et (D) de la définition (R) résultent de (B), (i3), (17) et (18). Le théorème 1 est démontré.

Remarque 5. — Nous n'avons pas épuisé toute la puissance de la condi- tion (i5). Il faudra, cependant, utiliser la forme plus générale de cette condi- tion dans la démonstration du théorème IV, plus bas.

5. EXISTENCE DE DISQUES-p POUR LES FONCTIONS HOLOMORPHES QUI RESTENT BORNÉES SUR CERTAINES SPIRALES.

LEMME 3. — Soit yç f\7, [j- <^ oo ) et y.o un nombre tel que y. ^ p-o? o <^ [j-o <^ oc , il existe alors une suite qui satisfait aux conditions (i) et ( 2) du théorème I.

D'après ce lemme et le corollaire I, nous pouvons énoncer le THÉORÈME II. — Si /€ (V, p. <^ oo \ /possède des disques-^.

Démonstration du lemme 3. — Soit /€î(V, S, U L ^ O O ^ où la spirale S est définie par z = ^(^), (o ^ t <^ oo ) et soit B <^ oo une constante telle que, pour zçS, l'inégalité |/(^)|<^B soit vérifiée. D'après un théorème de Valiron, il existe une spirale y, définie par z=^Çt\ (o^^<^oo ) sur laquelle la fonction f(z) tend vers l'infini [voir [16]. A ce propos, on peut déduire du paragraphe 6 de [13] que la proposition suivante, inverse du théorème de Valiron, est fausse :

« si V(^) est une fonction holomorphe dans le cercle-unité et qui tend vers l'infini le long d'une spirale S*, il existe alors une spirale S sur laquelle f(z)

SUR LES CERCLES DE REMPLISSAGE NON-EUCLIDIENS. ^.69

demeure bornée ». On peut aussi s'apercevoir de ce fait bien connu, si l'on considère la fonction de Koeni^s, discutée dans [l], p. i35-i36]. Puisque

|/(^) [ tend vers l'infini le long de S^ et reste bornée sur S, il existe une valeur t de t, telle que

( 1 ) S(^ï)nS'(^7)=:0.

En posant ^=i^(^)eS*, admettons maintenant que la fonction fÇz) ne prend pas les valeurs o et i dans le disque C(^\ Oo)- Appliquons le lemme 1

9

à ce disque, en posant À = [i.o et T) = /. [j-o- Alors, si t* est suffisamment grand, nous pouvons écrire

(2) lî<|./(^)|^{E (}^^o'^<|./(3) pour 3 e C ^ | ^ y .

— / 5 x ^

Le diamètre de C ( ^ , ^ [ j - o ) est ^[j-o^> [^o^p-; donc, d'après la définition de [J-, il existe une suite { t j \ j-= r, 2, . . .) de valeurs de t vérifiant

lim tj == oo 1->^

et

^(^/)^(^))<^o (./==i, 2 , . . . ) .

(Nous employons ici la notation tj, t'^. dans le sens de la définition du para- graphe 1.)

Soit Ry, le segment ouvert du rayon du cercle-unité qui joint le point ^(tj) au point ^(Yy). Il résulte de la condition (i) que pour j suffisamment grand, soity^^'o, il existe un point ^.çS^nRy. De plus, pour chaque j^jo, Fune ou l'autre des valeurs d(^(tj), ^.) ou â?(^*, C(X)) est moindre que ^ p-o- II résulte5

— / 5 \

de cette remarque que chaque cercle C ( ^ , ^ o ) » J^jo, contient un point situé sur la spirale S. Si nous supposions que, pour n'importe quelle valeur de 8, o <^ 8 <^ i, la relation (2) est vérifiée pour tous les ^eS^, o<^\z* <^ i, il s^ensuivrait nécessairement qu'il existe des points zçS tels que |/(^)|

dépasse B, ce qui conduit à une contradiction.

Puisque nous pouvons choisir successivement des valeurs croissantes de S, le lemme 3 est démontré. La suite { ^ | ^== i, 2, . . . } provient des valeurs successives de ^eS* telles que le disque C(^*, ^-o) doive contenir un point pour lequel y(^) prend la valeur o ou la valeur i.

Notre lemme est ainsi démontré et par conséquent aussi le théorème II.

Remarque. — Pour la démonstration du corollaire III, plus bas, le fait suivant est important : les points Zn se trouvent sur une spirale S* le long de laquelle la fonction /€ (V, y. <^ oo '} a la valeur asymptotique oo.

6. EXISTENCE DE DISQUES-? POUR LES FONCTIONS HOLOMORPHES QUI TENDENT VERS L'INFINI LE LONG DE CERTAINES SPIRALES.

LEMME 4. — Soùfç (V^ y, [7< < oo) où S* est définie par z == ^), o ^ <oc, et soit y.o un nombre quelconque tel que 2 [Z^ [j-o, o <jj<o <^oo. 77 existe une suite t,, de valeurs de t, telle que lim /„ = oo, et que, dans chaque cercle CfC^), [^o)/ la

/l-^-oo

fonction /(^) prenne au moins une des valeurs o ou i.

D'après le corollaire I, ceci a pour conséquence immédiate le THÉORÈME III. — Si f^(V\ p: < oo), /possède des disques-ç.

Démonstration du lemme 4. — Soit t^ une valeur de t telle que, pour tous ^^?o, on ait

(1) I / ^ W I X A ' ) ^

où A' est la constante absolue supérieure à i du lemme 1 ; et où nous posons

P=———hl————=T(^^.

th ^ - th ^ \ q -/

4

En choisissant n'importe quel point ^(t) = ^çyÇt^t,), nous supposons maintenant que f{z) ne prenne ni la valeur o ni la valeur i dans C(C\ p-o). En tenant compte de (i), il résulte du lemme 1 que l'inégalité

(2) ^(^)-l/(r(<))IE^O'^<|/(..)|

(

est valable pour tout ^ e C ^ * , . ^ o ) .

Soit t',^>i, une valeur fixe de t satisfaisant à ^o^o. Nous allons montrer que (2) ne peut être valable pour tout ^ > < p car la supposition que (2) est vérifiée pour tout t^>t', nous forcerait à conclure, comme nous allons le démontrer, que

lim f(z)\ =00

| z 1 -^ l

uniformément pour ^ | < i , ce qui est impossible pour une fonction holo- morphe dans le cercle-unité. Cette uniformité découlerait de la définition de a, puisque pour un certain r^ o < ^ < i, nous aurions

(

) U^O^I^)^ ^n<4 i^<f

Ainsi, puisque la fonction gÇt) de (2) satisfait à lim gÇt) =00, nous savons

< > 0 0

que, pour tout M > o donné, il existe un t"^t', tel que ^ ) > M pour tout t^t", et, par conséquent, | / ( ^ ) [ > M pour tout z ^3, où ^ est une valeur satisfaisant à r, ^ 7-2 <^ i.

SUR LES CERCLES DE REMPLISSAGE NON-EUCLIDIENS. 271

Ainsi, nous avons montré que, pour un choix quelconque de ^o^>1? ^ doit exister un ^ ^ > ^ ^ > i , tel que /(^) prenne au moins une des valeurs o ou i dans le cercle C(^(^i), ^.o). C'est le même raisonnement qui, appliqué à nt,^

au lieu de ^, introduit un t,,^>nt,,_^n, tel que /(^) prenne au moins une des valeurs o ou i dans le cercle C(^(^), ;j-o), / ^ = 2 , 3, . . .. Donc la suite

\ t^ n = i, 2, . . . } de notre lemme doit nécessairement exister.

Le lemme 4 est ainsi démontré et, par conséquent, le théorème III l'est aussi.

Remarque. — Notons que nous avons maintenant montré que, si /G^S où ^ = (V, [M <^ cc\ u (V^, [î <^ oc), / possède des disques-p.

7. EXISTENCE DE CERTAINES SPIRALES.

DÉFINITION. — Si une spirale est telle qu'un ensemble de points-^, pour une fonction déterminée, se trouve sur cette spirale, nous l'appellerons UNE SPIRALE-?

POUR Y(^). Si la spirale-ç 2* possède la propriété que fÇz) admet la valeur asymptotique oo le long de S^, nous appellerons 1^ UNE SPIRALE-?^ POUR /(^). Si Vensemble des points-ç [ ^ | v = i, 2, . . . } est tel que ces éléments se trouvent sur une spirale-^ pour fÇz), nous appellerons cet ensemble UN ENSEMBLE DE POINTS-?^

POUR /(>).

Remarque. — II est évident que toute fonction possédant des disques-p possède une spirale-p. Il est également facile de voir qu^on peut modifier une spirale-p^ donnée de façon à la transformer en une spirale-p qui n'est pas une spirale-p'*'. Nous allons maintenant démontrer l'existence de spirales-p\

Certains éléments de l'hypothèse et la conclusion de ce théorème corres- pondent exactement à certains éléments du théorème I. Nous les incorporerons ici afin de simplifier des références ultérieures.

THÉORÈME IV. (Principe d'existence des spirales-p\) — Soit f(z) une fonction holomorphe dans z <^ i et soit 2 une spirale le long de laquelle la fonction fÇz) admet la valeur asymptotique oo. S^il existe un nombre [j-u, o<^[j-o<^°o? et une suite de points, { ^ | ^ == i, 2, . . .}, tels que :

(1) ZnÇ.^ (^:=i, 2, . . . ) ; lim ^ | = i ;

v / n^^

(2) pour n = ï, 2, . . ., il existe un point ^ € Cn = C(^, [J-o) tel que /(Ç/i) === o o^/(^)==i;

(3) pour n=î, 2, . . ., le point ^ satisfait à la condition

d(zn, ^) = min } d(Zn, z ) f ( z ) == o ou f ( z ) = ï ( ; alors

(4) il existe une suite partielle { Ç ^ v = i , 2 , . . . { , extraite de la suite

^ [ n=ï, 2, . . .}, qui forme un ensemble de points-ç pour /(^); ici nous supposons que notre disque-p, D^, soit égal à D^= C( Ç^, -" )? v = ï , 2, . . . ;

\ v 2 / |

(5) il existe un ensemble de points-^ pour f(^), ! Z ^ { , de sorte que, pour v == i, 2, . . ., le point Z^ se trouve sur le segment de droite non euclidien joignant z^ à ^ et qu'il vérifie l'inégalité rf(E^, Z^) <^ ^- [Ici les disques-p en question sont de la forme D ^ = = C ( Z ^ , £v):)D^, v = i, 2, . . ..]

Démonstration. — Puisque lim \Zn .= i, nous pouvons supposer, en conser-

n-fso

vaut le même caractère de généralité, que les cercles { C / , } apparaissant en (2), ci-dessus, possèdent la propriété suivante :

(6) m-^-n entraîne C ^ n C / , = = 0 .

Soient {L, v = i, 2, . . . } et { ^ | v = i, 2 , . . .}, les deux suites satisfaisant aux conditions (A) et (B) de la définition (R). Puisque les suites {L, v = ï , 2,. . .}

et ^ ^ v = ï , 2, . . . ^ satisfont aussi à ces conditions et puisque la partie ( i ) de notre hypothèse implique que lim |/(^)[ =oc, la partie (4) de la conclusion

Tl^-oo

découle immédiatement du théorème I. Pour chaque v, le point-p, ^ est le centre d'un disque-p, D,,, où D ^ = C ( ^ ,£ V) • Si nous nous référons à ( i 4 )

\ 2 /

et (i5) du paragraphe 4, nous pouvons affirmer l'existence, pour chaque v, d'un point Z^, situé sur le segment de droite non euclidien joignant z,^ a ^, ayant les propriétés suivantes :

(7) d^^<l^)=^

(8) pour t o u t ^ e C ( ^ , 6/(^, Z^)), on a |/(^) ^>L,. Si nous posons mainte- nant D*,= C(Z^, £,,), v = ï , 2, . . ., il est clair que D ^ D D ^ pour v = ï , 2, . . ..

Donc, { D ^ v = ï , 2, . . . } constitue aussi un ensemble de disques-p pour /(^).

Si nous parvenons maintenant à construire une spirale 2^, le long de laquelle /(^) ait la valeur asymptotique oo, et ayant la propriété que Z.,€S*

pour v = ï , 2, . . ., le théorème IV sera entièrement démontré.

Pour construire î^, partons de la spirale donnée 2. Soient ^ et z^ respective- ment, ^premier et le dernier point zç. 2 qui satisfassent à d{z,^ z) = d{z^, Z^).

Si 2^ est la partie de 2 qui se trouve strictement entre ^ et z'[,, nous écartons maintenant de toute considération ultérieure chacune des parties 2v, v = ï , 2, . . ..

La nouvelle spirale 2^ doit coïncider avec la spirale 2 sauf pour la partie de 2 que nous venons d'exclure. Pour compléter notre définition de I * , il faut maintenant remplacer convenablement la partie exclue U ï,,. Pour chaque v, remplaçons 2^ par S*, où 2*, est formé des segments de droite non euclidiens joignant ^ à Z^ et Z^ à ^. (Si, pour quelques valeurs de v, l'ensemble 2^ se trouve vide, nous aurons ^==Z,,==^; nous n'aurons rien éliminé et 2^ est formé simplement de Z^.)

SUR LES CERCLES DE REMPLISSAGE NON-EUCLIDIENS. 2j3

D'après (8), nous savons que |/(^) | ^> L/ pour tout ^d*,. Ceci, joint au fait que L^-^oo et lim f(z)\ =00, nous montre que f{z) a effectivement la valeur

^=s1

asymptotique oo le long de S*, où nous avons donné aux parties 2^ une orien- tation évidente.

Il n'est pas encore possible d'affirmer que î^ est une spirale-p\ La démons- tration de notre théorème sera complète si nous prouvons maintenant que I * est une courbe simple et que :

(9) en éliminant la partie 2^ de 2, pour une valeur fixe de v, v = V o » nous avons écarté tout au plus un nombre fini de disques { D ^ } . Il est facile de voir que la condition (9) est vérifiée, et nous pouvons en déduire que S* est simple, d'après les faits suivants :

(10) 2, notre spirale donnée est simple;

(u) si S^ représente tout 2^, sauf les points que 1^ a en commun avec la frontière de C(^, rf(^, Z^)), nous savons que S^ ne peut couper la partie restante de 2 après élimination de l'ensemble U ^ (si ^,=Z^, alors S^= 0);

v==l

(12) I^n2*/=0, pour p-T^v, puisque C/^ 3 2^ et C^DS^ et C / ^ n C ^ = 0 , à cause de (6). La démonstration du théorème IV est maintenant complète.

Si nous utilisons le lemme 4, nous pouvons énoncer le corollaire suivant qui sera utile plus loin :

COROLLAIRE II. — Si /€(V*, S, p-<^oo), il existe une spirale S', spirale-^*

pour f, qui satisfait à la condition suivante : pour une valeur donnée to de t, on a

S^^nS^^o)^.

Nous pouvons affirmer aussi le corollaire suivant, si nous employons le lemme 4 et la démonstration du lemme 3 :

COROLLAIRE III. — Si fç. ^, /possède une spirale-^.

En effet, si /€(V^, p-<^oo), le résultat découle du lemme 4 et du théorème IV; et siye('V, [J-<^QO\ il découle de la remarque du paragraphe 5 et du théorème IV.

DÉFINITION. — Soit g'Çz) une fonction à valeurs complexes définie pour z | <^ i.

Soit So une spirale telle que, pour réimporte quelle valeur </o^>o? V ensemble

(3R(^, V ^ C(^, rfo)) ne contient qu''une valeur au plus. Appelons alors So UNE

^eSo

spiRALE-rfo pour cette fonction.

Si pour une fonction, g\z\ nous représentons respectivement par Sp.(^), Sp(^) et S^(^) les familles de toutes les spirales-p*, spirales-p et spirales-rfo pour g{z\ nous aurons

(I 3) ^>(^)c^p(^)c^(^).

Nous savons que Sp.(^)^^(^). Par contre, on ne sait pas s'il existe des fonctions g{z) holomorphes pour z \ < i, pour lesquelles Sp(^) ^ S^(^).

Comme nous l'avons mentionné dans l'introduction, M. Seidel a montré que si/e^S /possède une spirale-rfo. [En fait, il a observé ([13], p. 162) que ce résultat constituait un analogue non euclidien du théorème classique de M. Julia sur les fonctions entières, ce qui fut le point de départ de cette étude.] II a aussi démontré ([13], p. 166) que, si co(r) est une fonction positive arbitraire, croissant strictement pour o ^ r < ^ i , telle que lim co(/')=oc, il existe une

/•->i

fonction ye(V^, p-=o), telle que, pour tout r^/-o, où /'o est une valeur fixe o < ^ / ' o < ^ i , on ait

max \W(z) | < € * ) ( / • ) .

\^\^r

(Fo^aussi [l], p. i36-i4i.)

Ainsi, il a montré qu'il existe des fonctions q'e(V',[jL=o) dont le maximum du module croît vers l'infini aussi lentement qu'on veut et, puisque Ve^, il a pu affirmer que W possède une spirale-rfo (c/. corollaire 2 de [13]). Si nous utilisons maintenant le fait que V e c^, notre corollaire III permet d'énoncer le : COROLLAIRE IV. — // existe des fonctions, holomorphes pour z <^ i, dont le maximum du module 'croît vers V infini aussi lentement qu^on veut, pour lesquelles nous pouvons affirmer Inexistence d'une spirale-^\

Nous prouverons maintenant le :

THÉORÈME V. — II existe des fonctions, holomorphes pour z <^ i, qui possèdent un ensemble dénombrable de spirales-^ sans point commun deux à deux. En effet, soit r, un nombre fixe o<^r,<^i, soit {^=\z \z ^r,\ et { 9 ^ / i = = i , 2 , . . . }

^^^^^^gr^o^ei<e2<...<9,,<9,^,<...<2'n. Soit { S , ^ = = 1 , 2 , ...}

un ensemble donné de spirales sans point commun deux à deux, où S,, est définie par z = ^n(t), o ^ t < oo, n = i , 2, . . . . & "

0 4 ) ^(S.) < 00 ( ^ = = 1 , 2, . . . ) ;

05) Ç.(o) =a,=r,e1^ (^ := i, 2, . . . ) ;

(T 6) Snr\C=an ( ^ = 1 , 2 , . . . ) ;

il existe une fonction /€ ^possédant un ensemble de spirales-^, [ S ^ 1 r = i, 2,... } tel que :

07) r•^r1 entraine S^nS;,,=0,

SUR LES CERCLES DE REMPLISSAGE NON-EUCLIDIENS. 276

et

(18) pour n'importe quelle valeur donnée de t, disons t=t^^ et pour tout r == i, 2, . . ., nous avons

S,r(t^t,)r\S:,(t^t,)^0.

Démonstration. — II est évident qu'il existe un ensemble de spirales { S , , ^ satisfaisant à l'hypothèse de notre théorème. Considérons maintenant l'ensemble des nombres {w^ | ^ = i , 2 , . . . } ,

( i , si n est impair;

^=) • . •( oo, si n est pair.

Il résulte d'un théorème de MM. Bagemihl et Seidel (cf. le corollaire 1 de [3]) qu'il existe une fonction/(^), holomorphe dans | ^ | < ^ i , telle que pour n=ï, 2, le nombre Wn soit la valeur asymptotique de j\z) le long de S^.

Puisque iï(S,,)<^oo pour tout n=ï, 2, . .., nous savons que / € ^ et nous savons aussi que/e(V*, 83,, F-<^°°) pour r=ï, 2, .... Il découle donc du corollaire II, qu'il existe une spirale-p* de /(^), S^., qui vérifie la condition (19) S,^^o)nS^.(^ t,)^0,

pour n'importe quelle valeur de to.

Pour construire notre ensemble disjoint de spirales-p*, {S^.}, considérons maintenant une valeur fixe de r. Puisque/(^) est bornée sur Sar-i et 827+1, et, puisque fÇz) tend vers l'infini sur S^, il existe une valeur t,. de t, telle que (20) S^-ir\S^(t^tr)=0,

( 2 l ) . S,r+ir\S',,(f=,tr)=0,

(22) A(r)nS^(^^)=0,

o ù A ( r ) est un sous-arc de la circonférence de C; A(r) est le sous-arc fermé contenant a^. et aboutissant en a^r-i et a^+i- Donc, puisque S^, est un so\i^- ensemhie connexe àe\ z \ <^ i, il résulte de la condition (19) que S^(/^^) C G(r), où G(r) est l'ensemble ouvert de z\ <^i, ensemble contenant Ss, — à l'excep- tion du point a^r— et ayant pour frontière la réunion des ensembles Ssr-i, Sar+i? et A(r). De la même façon, on voit que

S 2 ( r + i ) ( ^ ^ - i ) c G ( r d - i ) .

Donc, si nous posons t^= max(^., t,.+i), r = = i , 2 , . . ., nous avons

S^r (t ^ C) n §2 (r+,i) (t ^ C) = 0. puisque G ( r ) n G (r + i) =z 0.

Enfin, pour définir notre ensemble de spirales-p*, { S ^ | r = i , 2, . . . }, sans point commun deux à deux, posons S^==S^.(ï^^), /'== i, 2, . . . .

Puisque la condition (17) est maintenant vérifiée, nous avons achevé la démonstration du théorème V.

^«7i.^c.JVorw.,(3),LXXVII.—FASC.3. 36

8. EXISTENCE DE CERTAINES DROITES. — Nous obtiendrons maintenent un théo- rème élémentaire qui nous donnera d'autres renseignements sur la distribution d'un ensemble de disques-p.

THÉORÈME VI. — Soit g(z) une fonction à valeurs complexes définie pour \z\ <^ i et possédant des disques-^. Il existe alors au moins un rayon A = OT, joignant le centre 0 du cercle-unité à un point T = ^°, et jouissant de la propriété suivante : dans tout angle positif\ aussi petit qu'on veut, ayant son sommet à F origine et dont A est la bissectrice, il existe un ensemble de disques-^ pour la fonction g(z\

Remarque. — Nous appellerons un tel rayon A droite-^ pour g{z). Il est évident que le concept de droites-p et celui de spirales-p sont, l'un et l'autre, analogues aux classiques droites de Julio; par exemple, la fonction g-(z) prend une infinité de fois toutes les valeurs complexes finies, avec une exception au plus, dans un tel secteur déterminé par A.

Démonstration. — En posant Çy= ^ e^\ v = i, 2, . . ., où { ^ | v == i, 2, ,.. \ est un ensemble de points-p pour g ' ( z ) , il existe une suite partielle, extraite de la suite {e1^}, tendant vers un point T sur la frontière du cercle-unité. La démonstration est alors complète puisque presque tous les disques-p correspon- dant à cette suite partielle se trouvent évidemment dans un secteur donné ayant OT pour bissectrice.

Soit maintenant {R/J k= i, 2, . . . } , un ensemble de spirales-p disjointes pour une fonction ç(^), définie pour | ^ | < ^ i . Nous savons qu'il existe une droite-p pour ç(^), A^, pour chaque k= i, 2, . . ., mais nous n'avons pas la certitude que A/^A/,, découle de la condition k ^ k ' . Posons la question de savoir s'il existe une fonction donnant cette certitude. On trouvera la réponse ci-dessous dans le corollaire VI.

9. QUELQUES PROPRIÉTÉS FRONTIÈRES DES POINTS-? ET UN PRINCIPE GÉNÉRAL SUR LES PHÉNOMÈNES DES ANGLES DE STOLZ.

THÉORÈME VII. — Soit Y] ^> o un nombre donné et A^ un angle de Stolz en T, [ T | = i. Si/ç (V*, S*, F- <^ oo ) et si V ensemble <5R (/, A^) comprend une valeur au plus, il existe un ensemble de points-p pour fÇz), [ ^ | v = i, 2, . . . } tel que : (1) l i m ^ = = ï ;

V-^- oo -

(2) d(^, A^) <^(S*) 4-ïi pour ^ = 1 , 2 , . . . .

// existe en outre un ensemble de points-^ qui jouit des propriétés (i) et (2).

Démonstration. — Nous utiliserons le théorème IV, ci-dessus. Posons

2 i^o == F-+ T), où ïj ^> o désigne le nombre donné dans l'hypothèse. Si la spirale S'*' est définie par l'équation z=^{t\ o ^ r < o o , il existe, d'après la définition

SUR LES CERCLES DE REMPLISSAGE NON-EUCLIDIENS. 277

de^., une valeur^ de t, telle que, pour tout t^t^, nous ayons d(^(t), Ç(^))<^2[io.

Il est alors aisé de voir que

(3) \J C(S(^o)^A,.

t^ty

rf(Ç(<),A^)<iJio

Puisque <3R(/, A^) comprend une valeur en plus, il existe une suite de points en A^ pour lesquels la fonction prend les valeurs o ou i. Donc, à cause de (3), il existe une suite ^ de valeurs de t, avec lim ^,=00, ayant la propriété que,

n-^w

pour ^ = = i , 2, . . . , l'ensemble C(^(^), y^) contient un point Ç,, tel que y(^)==o ou i. Ainsi, les conditions (i) et (2) du théorème IV sont vérifiées, et, puisque nous pouvons supposer que les points ^ satisfont aussi à la condi- tion (3) du théorème IV, nous avons établi l'existence d'un ensemble de points-p pour/qui tendent vers T. Il découle aussi immédiatement de la partie (5) du théorème IV qu'on peut admettre que ces points-p sont des points-p*.

Cherchons maintenant des renseignements plus précis concernant la position de ces points-p. Il faut prendre soigneusement en considération la condition (3) du théorème IV. Dans le paragraphe précédent, lorsque nous vérifiâmes la condition (2) du théorème IV, ce fut le type de comportement de/(^) en ^ qui nous permît d'affirmer que, pour n==ï, 2, . . .,/(^) prend les valeurs o ou i dans chaque ensemble de la forme A^nC^C^), p-o)- Considérons mainte- nant une valeur fixe de n, ^ désignant un point quelconque de A^nC(^(^), p-o) tel q u e / ( ^ ) = o o u i. Puisqu'il pourrait y avoir un point C/leC(Ç(^), ^) qui satisfasse à

W Î^A,;

(5) /(Q=o ou i;

(6) ' ^ ( Ç ( ^ Q < ^ ( Ç ( ^ ) , ^

nous ne pouvons affirmer a priori que les points-p qui tendent vers T, se trouvent tous à l'intérieur de A^. Néanmoins, nous savons que ces points ne peuvent être trop éloignés des côtés de A^, et c'est cette affirmation qui est précisée par la condition (2) de notre théorème. Le théorème VII est démontré.

Nous allons maintenant considérer le cas où A^ est un angle de Stolz symé- trique en T.

Nous définirons d'abord quelques représentations commodes. Soient £ ^ > o , un nombre quelconque et T, un point sur | z \ == i. Nous posons

Pour un angle y, o < ^ <^ -5 nous posons 2

ô ( Y ) = ; l o g c o t g ( l - n .

Si A est le diamètre du cercle-unité, d'extrémités T et — T, | T | = i, Fensemble [ î CÇz, 8(7)) est alors le domaine ayant pour frontière les deux hypercycles,

^ e A

symétriques par rapport au diamètre A, formant avec A en ~ les angles y et —-y- Nous admettons maintenant que p.o est tel que o<^<^ oo, et que A^a est un angle de Stolz fixe en T, T = = i . Si p est un angle quelconque tel que o <^ P <^ - et ô(a) + [LQ <^ S(p), il est facile de voir que la relation

Y£ (T) n { z \ d(z, A^) < ^o ! c A,,p

est vérifiée pour les valeurs suffisamment petites de £. Cette observation nous .conduit alors au

THÉORÈME VIII. — Si'/€ (V^, y, p- <^ oo), si Y] ^> o ^ donné, et si Von sait que, pour un certain T, T ==i, F ensemble CRÇf, A^a) comprend une valeur au plus, il existe pour tout angle ^, o <^ (3 <^ -? satisfaisant à o(a) + [i(S*)+ïj^o(^)

^^ ensemble de points-^ pour f dans A^ p. 5? ^OAÎ 2;^;^, on peut admettre que cet ensemble est un ensemble de points-^ pour f.

Comme exemple du type de résultats auxquels nous pouvons maintenant arriver, énonçons un corollaire fondé sur le théorème suivant de M. Seidel :

II existe une fonction y^), holomorphe pour z <^ i, dont le maximum du module croît aussi lentement qifon veut, telle qu'il existe un nombre fixe a^, (° <^ ^^ 7r p te^ que pour chaque T, [ T = i, l'ensemble CRÇW, A^a) comprenne une valeur au plus pour tout a ^> a^ (cf. théorème 6 dans [13]).

Notre corollaire V est fondé sur ce théorème et sur le fait que, dans la démonstration de ce théorème, M. Seidel a établi que la fonction W appartient à la famille (V*, pi.=o). Appliquons le théorème VIII pour énoncer le

COROLLAIRE V. — 7Z existe une fonction WÇz), holomorphe pour z <^ i, dont le maximum du module croît aussi lentement qu'on veut, telle qu'il existe un nombre fixe Ry, (o <^ ?o <^ 11), tel que, pour chaque T, T == i, il existe un ensemble de disques-ç pour W dans tout angle de Stolz symétrique en T d'ouverture supé- rieure à pp.

Ce résultat, en retour, nous amène directement au

COROLLAIRE VI. — II existe des fonctions', holomorphe s en z \ <^ i, pour lesquelles chaque rayon du cercle-unité est une droite-o.

De même façon, d'après le théorème 7 dans [13], notre théorème VIII a pour conséquence immédiate le

SUR LES CERCLES DE REMPLISSAGE NON-EUCLIDIENS. 279

COROLLAIRE VII. — II existe une/onction W(z), holomorphe en \ z \ <^ i, dont le maximum du module croît vers V infini aussi lentement qu^on veut, ayant comme propriété que, pour presque tous les points T sur z \ = i, il existe un ensemble de

disques-ç pour W dans un angle de Stolz symétrique en T d'ouverture arbitrai- rement petite.

Le corollaire suivant donne un résultat plus complet que le corollaire VI.

COROLLAIRE VIII. — II existe des fonctions^ holomorphes pour \ z \ <^ i, telles que, T étant un point arbitraire de \ z = i, il existe, dans un angle de Stolz symé- trique d'ouverture arbitrairement petite, un ensemble de points-^.

Démonstration, — Utilisons encore le théorème de MM. Bagemihl et Seidel (c/. le corollaire 1 de [3]). Il découle facilement de ce théorème qu'il existe une fonction $ € (V, p- = o) n (V*, p. = o). De plus, M. Seidel a démontré que, pour toute fonction /€ (V, ^==0), l'ensemble CR(/, A^a) comprend une valeur au plus pour tout T, T [ = i, et pour tout a ^> o (c/. le corollaire i dans [\ 3]).

Alors, puisque <î> € (V, ~[L = o) n (V*, pi = o), le corollaire VIII découle du théo- rème de M. Seidel et d'un cas particulier du théorème VIII.

Comme dernier exemple de l'emploi du théorème VIII associé aux théorèmes existants, nous signalerons un résultat fondé sur le théorème 5 dans [13].

COROLLAIRE IX. — Soit/çÇ^, jl==o). Pour chaque T , | T [ = = I , il existe un nombre a., ( o ^a^^ 7r ) • tel que :

\ 2 /

(1) la fonction f tend uniformément vers l'infini dans tout angle de Stolz A^ p où (3 < a^ ;

(2) pour tout P , ( o < ^ < ^ ) 5 satisfaisant à p ^> a., il existe un ensemble de points-^ pour f dans A ^ p .

Si pour un certain T nous avons a^== o, c'est (2) qui se présente pour tout A^.p. Si a^= ^ c'est (i) qui se présente pour tout A^s.

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