Feuille d’exercices 4 Calculs et utilisations de d´eveloppements limit´es

Universit´e de Paris XI L1 – Calculus Math 151

Math´ematiques 1er semestre 2009-10

Feuille d’exercices 4

Calculs et utilisations de d´eveloppements limit´es

Exercice 4.1.— Formule de Taylor.

1.Ecrire la formule de Taylor en´ x0= 0 `a l’ordre 3.

2.A partir de cette formule, retrouver les DLs des fonctions sin et cos en 0 `` a l’ordre 3.

Exercice 4.2.— Somme et produit.En utilisant les formules vues en cours, calculer les d´eveloppements limit´es des fonctions suivantes, en 0 `a l’ordre 3.

1. sin(x) + cos(x) ; 2. sin(x) cos(x) ; 3. e^x+_1−x¹ ; 4. _1−x^ex .

Exercice 4.3.— Composition.En utilisant les formules vues en cours, calculer les d´eveloppements limit´es des fonctions suivantes, en 0 `a l’ordre 3.

1. sin(2x) ; 2. sin(x²) ; 3. e^sin(x); 4. e^cos(x); 5. ln(2 +x) 6. ln(cos(x))

7. _cos(x)¹ , puis tan(x).

Exercice 4.4.— Limites `a l’aide de d´eveloppements limit´es.A l’aide de d´` eveloppements limit´es, trouver les limites des fonctions suivantes.

1. 1

x − 1

ln(1 +x) en 0 ; 2.

√3

x²+x+ 1−1−x

x en 0.

Exercice 4.5.— Limites `a l’aide de d´eveloppements limit´es. Soit aun nombre r´eel.

1. Donner le d´eveloppement limit´e en 0 `a l’ordre 2 de g : x 7→ √

1 +ax (les termes de de d´eveloppement limit´e d´ependent naturellement dea).

2. En d´eduire pour quelles valeurs de a la fonction f :x7→ e^x−√ 1 +ax

x² a une limite finie enx= 0. Pr´ecisez alors la valeur de cette limite.

Exercice 4.6.— D´eveloppements limit´es et allure des fonctions

1. Ecrire un d´´ eveloppement limit´e de la fonction sin `a l’ordre 1 en 0. V´erifier que ce . d´eveloppement limit´e est coh´erent avec le signe de sin(x) pourx voisin de 0.

2.Mˆemes question avec cos(x)−1.

3.Pour la fonction exp, donner `a partir d’un d´eveloppement limit´e l’´equation de la tangente en 0, et la position du graphe de par rapport `a cette tangente.

4.Mˆemes questions pour la fonction x7→ln(1 +x).

Exercice 4.7.— D´eveloppements limit´es et allure des fonctions.Calculer les d´eveloppements limit´es des fonctions ci-dessous en 0 `a l’ordre 2, et en d´eduire l’allure du graphe de ces fonctions au voisinage de 0 (tangent et position par rapport `a celle-ci).

1. exp(x) + sin(x) ; 2. exp(x) sin(x) ; 3. exp(x)(1−x²) ; 4. p

(1 + 2x) + ln(1 +x) ; 5. p

(1 + 2x) ln(1 +x) ; 6. ln(1 +x+x²) ; 7. exp(√

1 +x) ;

8. exp(−x²/2) (on pourra choisir entre deux m´ethodes : en utilisant les r`egles de calcul avec les DLs, ou en utilisant la formule de Taylor).

Exercice 4.8.— D´eveloppements limit´es en x₀ 6= 0. Donner le d´eveloppement limit´e `a l’ordre 2 en ^π₂ de la fonctionf :x7→ sin(x)

√x , 1. en calculant les d´eriv´ees successives de f.

2. en effectuant le changement de variable x =u+π/2, et en utilisant des d´eveloppements limit´es connus.

Exercice 4.9.— D´eveloppements limit´es enx0 6= 0et allure des fonctions.D´eterminer l’allure du graphe (tangente et position par rapport `a celle-ci) au voisinage du pointx0 pour les fonctions suivantes.

1. f₁ :x7→ln(1 +x+x²) en x₀ = 1.

2. f2 :x7→sin(ln(x)) enx0 = 1.

3. f3 :x7→exp(√

x) en x0 = 1.

4. f4 :x7→cos²(x) enx0= ^π₂.

Exercice 4.10.— Comparaison de fonctions.

1. Tracer rapidement, sur un mˆeme dessin, l’allure des graphes des fonctions x 7→ 1−_x¹ et x7→lnx.

2.Montrer que ces deux graphes ont la mˆeme tangente au point d’abscisse 1.

3.Comparer les deux fonctions au voisinage dex= 1 : lequel des deux graphes est au-dessus de l’autre ? Redessiner leur allure locale, et comparer `a votre premier dessin.

Exercice 4.11.— Comparaisons de fonctions et allures de certaines courbes.

1.Tracer sur une mˆeme figure la paraboleP d’´equationy=x²et le cercleCde centre (0,3/4) et de rayon 3/4.

2. Pour pr´eciser le trac´e, on voudrait savoir si le cercle est enti`erement au-dessus de la parabole, ou bien si au contraire la portion du cercle au voisinage de l’origine est au-dessous de la parabole. Pour ceci :

1. Donner l’´equation du cercle C (rappelez-vous la d´efinition du cercle en termes de dis- tance). En d´eduire une fonction f1 dont le graphe est le demi-cercle inf´erieur du cercle C (on pourra se rappeler l’exercice 3 de la feuille 1).

2. Comparer les fonctions f1 etf2 :x7→x² au voisinage de 0.

3. R´epondre `a la question.

3.Mˆemes questions pour le cercle de rayon 1/2 centr´e en (0,1/2).

4.Les petits cercles tangents en (0,0) `a la paraboley=x<sup>2</sup> sont situ´es enti`erement au-dessus de la parabole ; par contre, les grands cercles la traversent. SoitC_Rle cercle de rayonRcentr´e en (0, R). D´eterminer, en fonction deR, la position du cercle par rapport `a la paraboley=x² au voisinage de l’origine.

Exercice 4.12.— Asymptotes.Pour chacune des fonctions suivantes : 1. montrer qu’elle est d´efinie au voisinage de +∞;

2. montrer qu’elle admet une asymptote, en trouver l’´equation ; 3. trouver la position du graphe par rapport `a son asymptote.

1. g₁ :x7→ −3x+ 2 + sin1 x; 2. g₂ :x7→(x²−3x+ 2) sin1

x; 3. g3 :x7→(x+ 2) cos(π

x) ; 4. g4 :x7→ −2x²+ 7x−1

x ;

5. g₅ :x7→ x²+ 1 x+ 1 ; 6. g₆ :x7→p

x²−5x+ 1 ; 7. g₇ :x7→(x+ 1) exp( 1

x−1) ; 8. g8 :x7→ x³+ 2

x²−1.

Aide : pour g5, factoriser les puissances dominantes, puis utiliser un DL en 0 de 1/(1 +u) pour obtenir un d´eveloppement asymptotique def2. Pour g6, factoriser x².

Exercice 4.13.— Asymptotes.

1.Montrer que les fonctions 1. h1:x7→

√

x⁶+x⁴+ 1 x²+ 1 , 2. h₂:x7→(1 +x√

x).sin( 1

√x),

ont respectivement comme asymptotes en +∞ les droites y=x− ¹₂ ety =x−¹₆. Donner la position de chaque courbe relativement a son asymptote.

2.D´eterminer l’asymptote en +∞ de h3 :x7→x².ln(1 + tan(2 x)).

Exercice 4.14.— Points de rebroussement d’une courbe param´etr´ee. On consid`ere la courbe param´etr´ee d´efinie parx(t) = 2(t−sin(t)), y(t) = 2(1−cos(t)).

1.Trouver les temps tpour lesquels la vitesse est nulle.

2.D´eterminer les tangentes `a la courbeM(0) et M(π).

3.Calculer M(t+ 2π) en fonction deM(t). `A quelle transformation g´eom´etrique correspond cette formule ? Mˆeme question pour M(−t).

4.Donner le tableau de variation de x(t) et y(t) sur [0, π]. Tracer la courbe.

Exercice 4.15.— Points de rebroussement de courbes param´etr´ees. Pour chacune des courbes param´etr´ees suivantes, ´etudier l’existence des tangentes et la position de la courbe relativement `a la tangente au param`etre t₀ consid´er´e :

1. x(t) = cos³(t), y(t) = sin³(t) ent₀ = 0 ;

2. x(t) = cos(2t), y(t) = sin(3t) ent₀ = 0 ett₀ = ^π₂ ;

3. x(t) = 2 cos(t) + cos(2t), y(t) = 2 sin(t)−sin(2t) en t₀ = 0.