1 G´ en´ eralit´ es et notations

1 G´ en´ eralit´ es et notations

Dans tout ce chapitre,E d´esigne l’ensemble des fonctions continues deRdans C, 2π-p´eriodiques et continues par morceaux telles que :

∀f ∈E, ∀x∈R, f(x) = 1

2(f(x⁺) +f(x⁻)).

Proposition 1 E est un Cespace vectoriel pour les lois usuelles.

Preuve - On v´erifie sans peine les axiomes d’espace vectoriel. 2

Proposition 2 L’application h., .i d´efinie sur E×E, `a valeurs dansC, par :

∀f, g∈E, hf, gi= 1 2π

Z _2π

0

f(t)g(t)dt.

est un produit scalaire.

Preuve - Soientf, g∈E.

hf, gi= 1 2π

Z 2π 0

f(t)g(t)dt= 1 2π

Z 2π 0

f(t)g(t)dt=hg, fi.

donch., .i est `a sym´etrie hermitienne.

Soient f, g, h∈E,λ∈C. La lin´earit´e de l’int´egrale permet d’affirmer que : hf, g+λhi=hf, gi+λhf, hi

donch., .i est lin´eaire par rapport `a la seconde place.

Soit f ∈E.

hf, fi= 1 2π

Z 2π 0

f(t)f(t)dt= 1 2π

Z 2π 0

|f(t)|²dt>0.

Supposons quehf, fi= 0, c’est-`a-dire _2π¹ R_2π

0 |f(t)|²dt= 0. Notonst₁,· · · , t_n−1 les points de discon- tinuit´e de f,t₀ = 0 et t_n= 2π. Par hypoth`ese, pour toutk∈ {0,· · ·, n−1},f_|]

tk;tk+1[ est continue et admet des limites en t⁺_k ett⁻_k+1. On a alors :

0 = Z 2π

0

|f(t)|²dt=

n−1

X

k=0

Z tk+1

tk

|f(t)|²dt

.

Chaque quantit´e de la somme ´etant positive, on en d´eduit :

∀k∈ {0,· · ·, n−1},

Z t_k+1 tk

|f(t)|²dt= 0.

Alors :

∀k∈ {0,· · ·, n−1}, ∀t∈]t_k;t_k+1[, f(t) = 0.

f est donc nulle sur [0; 2π], sauf peut-ˆetre aux points t_k. Comme

∀k∈ {0,· · ·, n}, f(t_k) = 1

2(f(t⁺_k) +f(t⁻_k)) et que

∀k∈ {0,· · · , n}, f(t⁻_k) =f(t⁺_k) = 0 on en d´eduit

∀k∈ {0,· · · , n}, f(t_k) = 0

et doncf est nulle sur [0; 2π]. f ´etant 2π-p´eriodique, il en r´esulte que f est nulle surR. 2

La norme associ´ee au produit scalaireh., .i est not´eek.k₂ et est donc d´efinie par :

∀f ∈E, kfk₂ = 1

2π Z 2π

0

|f(t)|²dt 1/2

.

Notons pour toutn∈Z,e_nla fonction d´efinie sur R, `a valeurs dansCpar :

∀t∈R, e_n(t) =e^int. Proposition 3 (en)_n∈^Z est une famille orthonormale dans E.

Preuve - Soientn, p∈Z. hen, e_pi= 1

2π Z 2π

0

e_n(t)ep(t)dt= 1 2π

Z 2pi 0

e^−inte^iptdt= 1 2π

Z 2π 0

e^i(p−n)tdt.

Sin=p,he_n, e_pi= _2π¹ R_2π

0 dt= 1.

Sin6=p,he_n, e_pi= _2πi(p−n)¹

e^i(p−n)tt=2π

t=0 = 0 car (p−n)∈Z.

Donc hen, e_pi=δ_n,p donc (en)_n∈^Z est orthonormale. 2

D´efinition 1 Soit f ∈E. Pour tout n∈Z, on appelle ni`eme coefficient de Fourier exponentiel de f le nombre c_n d´efini par :

c_n=he_n, fi= 1 2π

Z 2π 0

f(t)e^−intdt

Pour toutn∈N, on appelle coefficients de Fourier trigonom´etriques de f les nombresa_netb_nd´efinis par :

a_n= 1 π

Z _2π

0

f(t) cos(nt)dt , b_n= 1 π

Z _2π

0

f(t) sin(nt)dt.

Proposition 4 Soit f ∈E. On a, pour tout n∈N: a_n=c_n+c_−n , b_n=i(c_n−c_−n) , c_n= 1

2(a_n−ib_n) , c_−n= 1

2(a_n+ib_n).

Preuve - Soientf ∈E,n∈N. c_n= 1

2π Z _2π

0

f(t)e^−intdt= 1 2π

Z _2π

0

f(t) (cos(−nt) +isin(−nt))dt.

cos ´etant paire et sin impaire, et compte tenu de la lin´earit´e de l’int´egrale, on a : c_n= 1

2π Z _2π

0

f(t) cos(nt)dt− 1 2πi

Z _2π

0

f(t) sin(nt)dt= 1

2(a_n−ib_n).

De mˆeme : c_−n= 1

2π Z _2π

0

f(t)e^intdt= 1 2π

Z _2π

0

f(t) cos(nt)dt+ 1 2πi

Z _2π

0

f(t) sin(nt)dt= 1

2(a_n+ib_n).

On en d´eduit

c_n+c_−n= 1

2(a_n−ib_n) +1

2(a_n+ib_n) =a_n et

c_n−c_−n= 1

2(an−ib_n)− 1

2(an+ib_n) =−ibn doncb_n=i(cn−c_−n).

En particulier, b₀= 0 eta₀= 2c₀. 2

Proposition 5 Pour tout n, les applications f 7→c_n(f), f 7→ a_n(f) et f 7→b_n(f) sont des formes C-lin´eaires sur E.

Preuve - Sit f ∈ E. Soit n ∈ Z. c_n = he_n, fi. Le produit sclaire ´etant lin´eaire par rapport `a la deuxi`eme variable, il en r´esulte que f 7→ c_n(f) est lin´eaire, et ceci pour tout n ∈ Z. Comme a_n = c_n+c_−n et b_n = i(c_n−c_−n), il en r´esulte que f 7→ a_n(f) et f 7→ b_n(f) sont des formes

C-lin´eaires sur E. 2

D´efinition 2 Soitf ∈E. On note(c_n)_n∈Z,(a_n)_n∈Net(b_n)_n∈Nles suites form´ees des coefficients de Fourier exponentiels et trigonom´etriques de f. On appelle s´erie de Fourier de f la s´erie d’applications

P

n>0

u_n o`u (u_n)_n∈N est d´efinie par :

u₀:t7→c₀= 1 2π

Z 2π 0

f(t)e^−intdt et∀n∈N^∗, u_n:t7→c_ne^int+c_−ne^−int.

Notation : Pour n∈N, notons S_n(f) la ni`eme somme partielle associ´ee `a la s´erie de Fourier de f. On a donc :

∀n∈N, ∀t∈R, S_n(f)(t) =

n

X

k=0

u_k(t) =

n

X

k=−n

c_ke^ikt.

Proposition 6 Avec les notations pr´ec´edentes, on a :

S_n(f)(t) = a₀ 2 +

n

X

k=1

(a_ncos(kt) +b_nsin(kt)). Preuve - Soientn∈N,t∈R.

S_n(f)(t) = Pⁿ

k=−n

c_ke^ikt

= P⁻¹

k=−n

c_ke^ikt+c₀+ Pⁿ

k=1

c_ke^ikt

= Pⁿ

k=1

c_−ke^−ikt+c₀+ Pⁿ

k=1

c_ke^ikt

= ^a₂⁰ +

n

P

k=1 1

2(an+ib_n)e^−ikt+

n

P

k=1 1

2(an−ib_n)e^ikt

= ^a₂⁰ + Pⁿ

k=1

a_n^eikt+e₂^−ikt +b_n^eikt−e₂^−ikt

= ^a₂⁰ +

n

P

k=1

(ancos(kt) +b_nsin(kt)).

2

2 Divers modes de convergence

2.1 Convergence normale Th´eor`eme 1 Soit P

n>0

u_n une s´erie trigonom´etrique d´efinie sur R par : u₀ :t7→c₀ et ∀n∈N^∗, u_n:t7→c_ne^int+c_−ne^−int. on note (a_n)_n∈N et (b_n)_n∈N les suites d´efinies par :

∀n∈N, a_n=c_n+c_−n, b_n=i(c_n−c_−n).

Les assertions suivantes sont ´equivalentes : (i) P

n>0

u_n converge normalement sur R; (ii) P

n>0

c_n et P

n>0

c_−n sont absolument convergentes ; (iii) P

n>0

a_n et P

n>0

b_n sont absolument convergentes.

Preuve - Supposons que P

n>0

u_n converge normalement sur R. Soitn ∈Z. D’apr`es l’in´egalit´e de Cauchy Schwarz, on a :

|c_n|=|he_n, u_ni|6ku_nk₂. Or,

ku_nk²₂ = 1 2π

Z 2π 0

|u_n(t)|²dt6 1 2π

Z 2π 0

sup

t∈[0;2π]

|u_n(t)|

!2

dt.

Sachant que u_n est 2π-p´eriodique, sup

t∈[0;2π]

|u_n(t)|= sup

t∈R

|u_n(t)|=ku_nk_∞.

Par cons´equent, ku_nk²₂ 6ku_nk²_∞ donc ku_nk₂ 6ku_nk_∞ et donc |c_n|<ku_nk_∞. P

n>0

ku_nk_∞ converge par hypoth`ese et P

n>0

|c_n| et P

n>0

ku_nk_∞ sont des s´eries `a termes positifs donc P

n>0

|c_n| converge, c’est-`a-dire P

n>0

c_n converge absolument. De mˆeme, P

n>0

c_−n converge absolument.

Supposons maintenant que P

n>0

c_n et P

n>0

c_−n sont absolument convergentes. Soitn∈N.

|an|=|cn+c_−n|6|cn|+|c−n|.

P

n>0

|a_n|et P

n>0

(|c_n|+|c_−n|) sont deux s´eries `a termes positifs et P

n>0

(|c_n|+|c_−n|) converge (somme de deux s´eries convergentes) donc P

n>0

|a_n| converge , c’est-`a-dire P

n>0

a_n converge absolument. De mˆeme, P

n>0

b_n converge absolument car pour toutn∈N,|b_n|6|c_n|+|c_−n|.

Supposons maintenant que P

n>0

a_n et P

n>0

b_n convergent absolument. On a :

∀n∈N, ∀t∈R, u_n(t) =a_ncos(nx) +b_nsin(nx) donc

∀t∈R, |u_n(t)|6|a_n|+|b_n| c’est-`a-dire

ku_nk_∞6|a_n|+|b_n|.

P

n>0

|a_n| et P

n>0

|b_n| convergent donc P

n>0

(|a_n|+|b_n|) converge. P

n>0

ku_nk_∞ et P

n>0

(|a_n|+|b_n|) ´etant deux s´eries `a termes positifs, on en d´eduit que P

n>0

ku_nk_∞ converge, c’est-`a-dire P

n>0

u_n converge

normalement. 2

2.2 Convergence en moyenne quadratique Th´eor`eme 2 Th´eor`eme de Parseval

∀f ∈E, kf−S_p(f)k₂−−−−→

p→+∞ 0.

Preuve - SoitP le sous espace vectoriel de E engendr´e par (en)_n∈^Z. Soientf ∈E,ε >0. Il existe une fonction g ∈ E, continue, telle quekf−gk< ₂^ε (il suffit pour cela de faire co¨ınciderg avec f sauf sur un intervalle de la forme [t₀−α;t₀+α] o`ut<sub>0</sub> est un point de discontinuit´e de f et tel que g(t<sub>0</sub>) = <sup>1</sup><sub>2</sub>(f(t<sup>+</sup><sub>0</sub>) +f(t<sup>−</sup><sub>0</sub>)). D’apr`es le th´eor`eme de Weierstrass, g est limite uniforme d’une suite de polynˆomes trigonom´etriques. Il existe donc une suite (P_n)_n∈N d’´el´ements de P telle que :

∃n₀ ∈N, ∀n∈N, n>n₀ ⇒ kP_n−gk_∞< ε² 4. pour n>n₀ :

kP_n−gk²₂ = 1 2π

Z _2π

0

|P_n(t)−g(t)|²dt6kP_n−gk_∞< ε² 4 Donc kP_n−gk₂ < ^ε₂. Par cons´equent, pour n>n₀ :

kP_n−fk₂ 6kf −gk₂+kg−P_nk₂ < ε 2 +ε

2 =ε.

On a donc d´emontr´e la propri´et´e suivante :

∀ε >0, ∃n0 ∈N, ∀n∈N, n>n₀ ⇒ kPn−fk₂ < ε.

P est donc dense dans E.

Il reste `a d´emontrer que S_p(f) converge versf. Soitε >0. Il existe Q∈ P tel quekf−Qk₂< ε.

P = S

p∈N

E_p.Q ∈ P donc il existen ∈N tel que Q∈E_n. Soitp ∈N tel que p>n. S_p(f) ´etant la projection orthogonale de f surE_p, on a :

∀g∈E_p, hg, f−S_p(f)i= 0.

Q∈E_p (car p>ndoncE_n⊂E_p) donc

hQ−S_p(f), f−S_p(f)i= 0.

On a alors

kf−Qk²₂ =k(f −S_p(f)) + (S_p(f)−Q)k²₂.

f −S_p(f)∈E_p^⊥ etS_p(f)−Q∈E_p. D’apr`es le th´eor`eme de Pythagore, on d´eduit : kf−Qk²₂=kf−S_p(f)k²₂+kS_p(f)−Qk²₂

donc

kf−S_p(f)k²₂ 6kf −Qk²₂ < ε.

Par cons´equent,S_p(f) converge vers f dans (E,h., .i). 2

Corollaire 1 Soit f ∈E. P

n>1

|cn|²+|c−n|²

converge et

|c₀|²+

+∞

X

n=1

|c_n|²+|c_−n|²

= 1 2π

Z 2π 0

|f(t)|²dt.

Si f est `a valeurs r´eelles, alors P

n>1

(a²_n+b²_n) converge et a₀

4 +1 2

+∞

X

n=1

(a²_n+b²_n) = 1 2π

Z 2π 0

(f(t))²dt.

Preuve - Soitf ∈E. D’apr`es le th´eor`eme de Parseval,kSp(f)−fk₂ −−−−→

p→+∞ 0, donc kS_p(f)k²₂ −−−−→

p→+∞ kfk²₂. Pour p∈N, sachant que (en)_n∈^N est orthonormale :

kS_p(f)k²₂=

n

X

k=−n

c_ke_k

2

2

=

n

X

k=−n

|c_k|² =|c₀|²+

n

X

k=1

|c_k|²+|c_−k|² et

kfk²₂= 1 2π

Z 2π 0

|f(t)|²dt.

Par cons´equent :

|c₀|+

n

X

k=1

|c_k|²+|c_−k|²

= 1 2π

Z 2π 0

(f(t))²dt.

Pour k∈N^∗ :

|c_k|²+|c_−k|² = 1

2(an−ib_n)

+ 1

2(an+ib_n)

2

= 1

2(a²_n+b²_n) donc

a₀ 4 +1

2

+∞

X

n=1

(a²_n+b²_n) = 1 2π

Z 2π 0

(f(t))²dt.

2

2.3 Convergence ponctuelle

Lemme 1 Soient a, b ∈ R tels que a < b, f une fonction de [a;b] dans R continue par morceaux.

Alors :

Z _b

a

f(t)e^ixtdt−−−−→

x→+∞ 0.

Preuve - Sif est constante c’est-`a-diref =c, avec c∈R, pourx >0 :

Z b a

f(t)e^ixtdt

=|c|

e^ibx−e^iax ix

6 2|c|

|x| −−−−→

x→+∞ 0.

Sif est une fonction en escalier sur [a;b],f s’´ecrit :f = Pⁿ

k=1

f_k, o`uf<sub>k</sub> est nulle sur [a;b], sauf sur un intervalle o`u elle est constante.

Z b a

f(t)e^ixtdt

=

Z b a

n

X

k=1

f_k(t)

! e^ixtdt

!

|6

n

X

k=1

Z b a

f_k(t)e^ixtdt . D’apr`es ce qui pr´ec`ede,

∀k∈ {1,· · · , n}, Z _b

a

f_k(t)e^ixtdt−−−−→

x→+∞ 0

donc

Z b a

f_k(t)e^ixtdt

−−−−→

x→+∞ 0.

Si f est continue par morceaux sur [a;b], alors f est limite uniforme d’une suite de fonctions (f_n)_n∈Nen escalier sur [a;b]. Soitε >0 :

∃n₀ ∈N, ∀n∈N, n>n₀ ⇒ kf−f_nk_∞< ε.

Soit x >0.

Z b a

(f(t)−f_n0(t))e^ixtdt

6 Z b

a

|f(t)−f_n0(t)|dt6(b−a)ε.

De plus, f_n0 ´etant une fonction en escalier :

∃x0 >0, ∀x∈R, x>x₀ ⇒

Z b a

f_n0(t)e^ixtdt

6ε.

Par cons´equent, pour x>x₀ :

Rb

af(t)e^ixtdt =

Rb

a (f(t)−f_n0(t))e^ixt+f_n0(t)e^ixt dt

6

R_b

a(f(t)−f_n0(t))e^ixtdt +

R_b

af_n0(t)e^ixtdt 6 (1 +b−a)ε

donc

Z b a

f(t)e^ixtdt

−−−−→

x→+∞ 0.

2

Th´eor`eme 3 Soit f ∈E. Si f est de classe C¹ par morceaux sur R, alors la s´erie de Fourier de f converge simplement sur R et a pour somme f. On a alors :

∀t∈R, c₀+

+∞

X

n=1

(c_ne^int+c_−ne^−int) =f(t) ou encore

∀t∈R, a₀ 2 +

+∞

X

n=1

(a_ncos(nt) +b_nsin(nt)) =f(t).

Preuve - Soientf ∈E,n∈Netx∈R. S_n(f)(x) =

n

X

k=−n

c_ke^ikx =

n

X

k=−n

1 2π

Z 2π 0

f(t)e^−ikte^ikxdt.

Compte-tenu de la lin´earit´e de l’int´egrale, on a : S_n(f)(x) = 1

2π Z 2π

0

f(t)

n

X

k=−n

e^ik(x−t)dt.

Effectuons le changement de variableu=x−t, et sachant que la fonction int´egr´ee est 2π-p´eriodique, on a :

S_n(f)(x) =− 1 2π

Z x−2π x

f(x−u)

n

X

k=−n

e^ikudu= 1 2π

Z 2π 0

f(x−u)

n

X

k=−n

e^ikudu.

Effectuons le changement de variablev=−u, et sachant que Pⁿ

k=−n

e^−ikv = Pⁿ

k=−n

e^ikv :

S_n(f)(x) =− 1 2π

Z −2π 0

f(x+v)

n

X

k=−n

e^−ikvdv = 1 2π

Z 2π 0

f(x+v)

n

X

k=−n

e^ikvdv.

Pour n∈N, notonsD_n l’application d´efinie sur R, `a valeurs dansC par :

∀v∈R, D_n(v) =

n

X

k=−n

e^ikv. D_n est appel´e noyau de Dirichlet. Soitv∈R−2πZ.

D_n(v) = −1 + Pⁿ

k=0

(e^ikv+e^−ikv)

= −1 + Pⁿ

k=0

e^ikv+ ⁻ⁿP

k=0

e^−ikv

= −1 +^1−e_1−e^i(n+1)viv +^1−e_1−e^−i(n+1)v−iv

= −1 +^ei

n+1 2 v

e^{i v2} ×^e−i

n+1 2 v

−e^{in+12 v} e^{−i v2}−e^{i v2} +^e−i

n+1 2 v

e^{−i v2} ×^ei

n+1 2 v

−e^{−in+12 v} e^{i v2}−e^{−i v2}

= −1 +e^inv2 × ^sin(ⁿ⁺¹₂ ^v)

sin(^v₂) +e^−inv2 ×^sin(ⁿ⁺¹₂ ^v)

sin(^v₂)

= −1 +^{2 cos}(^nv₂ )^sin(ⁿ⁺¹₂ ^v)

sin(^v₂)

= ^−sin(^v₂)^{+2 cos}(^nv₂)^sin(ⁿ⁺¹₂ ^v)

sin(^v₂)

= ^sin((ⁿ⁺¹₂)^v)

sin(^v₂)

Siv∈2πZ, alorsD_n(v) = 2n+ 1.

S_n(f)(x) = 1 2π

Z 2π 0

f(x+v)D_n(v)dv.

1

2πD_n(v)dv = 1 2π

Z _2π

0 n

X

k=−n

e^ikvdv= 1 2π

n

X

k=−n

Z _2π

0

e^ikvdv = 1.

Soient x∈R,n∈N.

S_n(f)(x)−f(x) = _2π¹ R2π

0 f(x+v)D_n(v)dv−_2π¹ R2π

0 f(x)D_n(v)dv

= _2π¹ R2π

0 (f(x+v)−f(x))D_n(v)dv

= _2π¹ R_π

−π(f(x+v)−f(x))D_n(v)dv Soit g la fonction d´efine sur [−π; 0[∪]0;π] par :

g(v) = f(x+v)−f(x) 2 sin ^v₂ .

gest continue par morceaux sur [−π; 0[∪]0;π].f est de classeC¹par morceaux surRdonc^{f(x+v)−f(x)}_v −−−−→

v→0⁺

f^′(x). Par cons´equent :

g(v) = f(x+v)−f(x)

v ×

v 2

sin ^v₂ −−−→

v→0 f^′(x).

g est donc continue sur [−π;π]. D’apr`es le lemme de Lebesgue, Z _π

−π

g(v)e^ixvdv−−−−→

x→+∞ 0

donc 1

2π Z π

−pi

g(v) sin

n+1 2

v

dv−−−−−→

n→+∞ 0 c’est-`a-dire

S_n(f)(x)−−−−−→

n→+∞ f(x).

2

3 Application

3.1 Calcul de sommes de s´eries

Soit f la fonction 2π-p´eriodique, d´efinie sur [0; 2π[ parf(x) =x(2π−x).

Pour x∈R,

f(−x) =−x(2π+x) =f(x+ 2π) =f(x).

Fig. 1 – Repr´esentation graphique de f

f est donc une fonction paire. Notons (a_n)_n∈^Net (b_n)_n∈^Nles suites form´ees des coefficients de Fourier trigonom´etriques de f.f ´etant paire, on en d´eduit que lesb_n sont nuls.

a_n= 1 π

Z 2π 0

f(t)dt= 1 π

Z 2π 0

(−t²+ 2πt)dt= 1 π

−t³ 3 +πt²

2π t=0

= 4π² 3 . Soit n∈N^∗.

a_n= 1 π

Z _2π

0

f(t) cos(nt)dt= 1 π

Z _2π

0

t(2π−t) cos(nt)dt.

t 7→ t(2π−t) et t 7→ ^tsin(nt)_n sont de classe C¹ sur [0; 2π]. D’apr`es le th´eor`eme d’int´egration par parties, on a :

a_n= 1

nπ[t(2π−t) sin(nt)]^2π_t=0− 1 nπ

Z _2π

0

(2π−2t) sin(nt)dt a_n=− 1

nπ Z 2π

0

(2π−2t) sin(nt)dt.

t 7→ 2π −2t et t 7→ −^cos(nt)_n sont de classe C¹ sur [0; 2π]. D’apr`es le th´eor`eme d’int´egration par parties :

a_n= 1

n²π [(2π−2t) cos(nt)]^2π_t=0+ 2 nπ

Z 2π 0

sin(nt)dt=− 4 n²

f ∈E et f est de classe C¹ par morceaux surR. D’apr`es le th´eor`eme de Dirichlet, on a :

∀t∈R, t(2π−t) = 2π² 3 −4

+∞

X

n=1

cos(nt) n² . Pour t= 0, on a :

0 = 2π² 3 −4

+∞

X

n=1

1 n²

donc +∞

X

n=1

1 n² = π²

6 .

D’apr`es le corollaire 1 :

4π⁴ 9 + 8

+∞

X

n=1

1 n⁴ = 1

2π Z 2π

0

(f(t))²dt.

Z 2π 0

(f(t))²dt= Z 2π

0

(4π²t²−4πt³+t⁴)dt=

4π²t³

3 −πt⁴+t⁵ 5

2π t=0

= 16 15π⁵ donc

4π⁴ 9 + 8

+∞

X

n=1

1

n⁴ = 8π⁴ 15

donc +∞

X

n=1

1 n⁴ = π⁴

90. 3.2 Utilisation de l’´egalit´e de Parseval

Soit f une fonction d´efinie surR, `a valeurs dans R, 2π-p´eriodique telle queR2π

0 f(t)dt= 0. Alors Z 2π

0

f(t)²dt6 Z 2π

0

f^′(t)²dt.

Notons a_n(f), b_n(f), a_n(f^′) et b_n(f^′) les coefficients de Fourier trigonom´etriques respectifs de f etf^′. Soit n∈N^∗.

a_n(f) = 1 π

Z _2π

0

f(t) cos(nt)dt.

t7→ ^sin(nt)_n ett7→f(t) sont des fonctions de classe C¹ sur [0; 2π]. D’apr`es le th´eor`eme d’int´egration par parties :

a_n(f) = 1

nπ[sin(nt)f(t)]^2π_t=0− 1 nπ

Z _2π

0

f^′(t) sin(nt)dt=−1 nb_n(f^′).

De mˆeme, on montre que

b_n(f) = 1

na_n(f^′).

f etf^′ ´etant continues, d’apr`es le corollaire 1, sachant que a₀(f) = 1

π Z 2π

0

f(t)dt= 0, 1

2π Z _2π

0

f(t)²dt= 1 2

+∞

X

n=1

(a_n(f)²+b_n(f)²).

Par ailleurs, 1 2π

Z _2π

0

f^′(t)²dt= a₀(f^′)

4 +1

2

+∞

X

n=1

(a_n(f^′)²+b_n(f^′)²) = 1 2

+∞

X

n=1

n²(a_n(f)²+b_n(f)²) car

a₀(f^′) = 1 π

Z 2π 0

f^′(t)dt= 1

π[f(t)]^2π_t=0 = 1

π(f(2π)−f(0)) = 0.

Pour tout n ∈ N^∗, a_n(f)² +b_n(f)² 6 n²(an(f)² +b_n(f)²). Les s´eries ´etant convergentes, on en d´eduit :

+∞

X

n=1

(a_n(f)²+b_n(f)²)6

+∞

X

n=1

n²(a_n(f)²+b_n(f)²) donc

Z _2π

0

f(t)²dt6 Z _2π

0

f^′(t)²dt.

On a ´egalit´e si

+∞

X

n=1

(a_n(f)²+b_n(f)²) =

+∞

X

n=1

n²(a_n(f)²+b_n(f)²) c’est-`a-dire

+∞

X

n=1

(a_n(f)²+b_n(f)²) = 0.

Donc

∀n∈N^∗, (n²−1)(a_n(f)²+b_n(f)²) = 0.

Comme pour n>2,n²−16= 0, on en d´eduit :

∀n>2, a_n(f) =b_n(f) = 0.

Alors :

∀x∈R, f(x) =a₁(f) cosx+b₁(f) sinx.

f est donc de la formex7→Acosx+Bsinx, avec A, B∈R. R´eciproquement, si f :x7→Acosx+Bsinx:

R2π

0 f(t)²dt = R2π

0 (A²cos²t+ 2ABcostsint+B²sin²t)dt

= ^A₂²R2π

0 (1 + sin(2t))dt+ABR2π

0 cos(2t)dt+^B₂² R2π

0 (1−sin(2t))dt

= ^A₂²h

t+^cos(2t)₂ i2π

t=0+^AB₂ [sin(2t)]^2π_t=0+^B₂² h

t+ ^cos(2t)₂ i2π t=0

= π(A²+B²) De mˆeme, on montre que

Z _2π

0

f^′(t)²dt=π(A²+B²).