Prodotti di sottogruppi mutuamente permutabili

Prodotti di sottogruppi mutuamente permutabili.

ENRICO JABARA(*)

ABSTRACT- In this note we study groupsG4HKadmitting a factorization by two mutually sn-permutable subgroupsHandK. Some results of Beidleman-Ga- loppo-Heineken-Manfredino ([2]) are improved.

1. Introduzione.

Un sottogruppo H di un gruppo G è detto permutabile se per ogni sottogruppo X di G si ha aH,Xb4HX4XH.

Stonehewer ha provato che un prodottoG4HKdi due sottogruppiH e K nilpotenti e permutabili è risolubile con lunghezza derivata limitata in funzione delle classi di nilpotenza diHeK(Teorema E di [5]). Tale ri- sultato è stato oggetto di numerose generalizzazioni; in particolare Len- nox ha provato che seG4HKè prodotto di due sottogruppi permutabili, alloraGè risolubile seHè nilpotente eKè risolubile (Teorema A di [3]) oppure seHeKsono risolubili eHOKè subnormale inHe inK(Teore- ma B di [3]). Per quest’ultimo risultato si può far vedere che è sufficiente supporreHOK subnormale inH(o inK) ma non si può prescindere da qualche ipotesi suHOK. Infatti Stonehewer in [6] ha costruito un grup- po non risolubile G prodotto di due sottogruppi permutabili H e K en- trambi metabeliani. Più recentemente in [2] è stato mostrato che molti dei risultati ottenuti per gruppi Gche sono prodotto di due sottogruppi permutabiliHeKsi posono ottenere ricorrendo all’ipotesi più debole che H e K siano mutuamente sn-permutabili nel senso della seguente

(*) Indirizzo dell’A.: Dipartimento di Informatica, Università di Venezia, Via Torino 126, 30175 Mestre, Venezia.

DEFINIZIONE 1. Una coppia HeK di sottogruppi di un gruppoGsi dice mutuamente sn-permutabile se H permuta con ogni sottogruppo subnormale di K e K permuta con ogni sottogruppo subnormale di H.

Scopo di questa nota è migliorare alcuni risultati ottenuti in [2]

dimostrando:

TEOREMA A. SiaG4HKun gruppo prodotto di una coppia di sotto- gruppi mutuamentesn-permutabili H e K. SeH e K sono risolubili con lunghezza derivata rispettivamented_H e d_K e seHOK è subnormale in Hcon difettonalloraGè risolubile e la sua lunghezza derivata non supe- ra nQ(d_H1dK)1dK.

Il limite per la lunghezza derivata diGdeterminato nel teorema pre- cedente migliora in modo sostanziale quello ottenuto in [2].

TEOREMA B. SiaG4HKun gruppo prodotto di una coppia di sotto- gruppi mutuamentesn-permutabili HeK. SeHè nilpotente di classecH

e K è risolubile con lunghezza derivatad_K alloraG è risolubile con lun- ghezza derivata al più (d_K12 )Qc_H.

La tecnica usata per provare il Teorema B permette anche di ottene- re il:

TEOREMA C. SiaG4HKprodotto di una coppia di sottogruppi mu- tuamentesn-permutabiliHeK. AlloraGè iperabeliano se una delle se- guenti condizioni è soddisfatta:

a) H e K sono ipercentrali;

b) H è ipercentrale e K è risolubile.

Rimane aperto il problema di decidere seGè iperabeliano quandoH è ipercentrale eKè iperabeliano. In relazione al teorema C è interessan- te osservare che il prodotto di due gruppi normali ipercentrali è ipercen- trale (per tale risultato, dovuto a P. Hall, si vedano le osservazioni dopo il lemma 2.2.19 di [4]).

2. Notazioni e risultati preliminari.

SeG4HKè prodotto di due sottogruppiHeKalloraGsi dice fatto- rizzato tramiteHeK. Per i gruppi fattorizzati si farà costante riferimen- to alla monografia [1] alla quale si rinvia per le definizioni ed i principali risultati. Nel seguto conG4HKsi denoterà un gruppo fattorizzato tra-

mite due sottogruppiHe Ke conI4HOKla loro intersezione; si farà anche uso della

DEFINIZIONE 2. Una coppia HeK di sottogruppi di un gruppoGsi dice totalmente sn-permutabile se ogni sottogruppo subnormale di H permuta con ogni sottogruppo subnormale di K.

Ovviamente la totale sn-permutabilità è una proprietà assai più forte della mutuasn-permutabilità; le due nozioni però coincidono se I4 ]1(. Sussiste infatti il

LEMMA 1. SiaG4HKprodotto di due sottogruppi mutuamentesn- permutabili H e K. Valgono allora le seguenti proprietà:

a) Se R è un sottogruppo subnormale di He S è un sottogruppo subnormale diKe seIGROSalloraReSsono una coppia di sottogrup- pi mutuamentesn-permutabili di G. In particolare RS4SR è un sotto- gruppo di G.

b) SeN è un sottogruppo normale di G allora inG4G/N i sotto- gruppiHeKsono mutuamentesn-permutabili. Se poiIGNalloraHeK sono totalmente sn-permutabili.

Dim. a) discende dai lemmi 1 e 2 di [2].

Per quanto riguarda b) siaRun sottogruppo subnormale diH; seRè l’antiimmagine diRin Gsi ha che Rrisulta un sottogruppo subnormale diH. Per le ipotesi fatte, RK4KR e quindiR K4K R. In maniera ana- loga si dimostra che se S è un sottogruppo subnormale di K allora H S4S H. La seconda parte dell’asserto è una conseguenza del lemma 1 di [2]. r

Il seguente risultato è una conseguenza della definizione di sotto- gruppo fattorizzato (si veda la definizione dopo il lemma 1.1.1 di [1]).

LEMMA 2. SiaG4HKprodotto di due sottogruppi mutuamentesn- permutabiliHeK. SianoH₁,H₂due sottogruppi subnormali diHconte- nenti I e K₁, K₂ due sottogruppi subnormali di K contenenti I. Allora H1K1OH2K24(H₁OH2)(K₁OK2).

Dim. I sottogruppiH1, H2,H1OH2 sono subnormali in He K1,K2, K₁OK₂sono subnormali in K e tutti contengonoI; quindi, per il lemma 1.a),H₁K₁,H₂K₂e (H₁OH₂)(K₁OK₂) sono sottogruppi fattorizzati diG.

L’asserto discende allora dal lemma 1.1.2.i di [1]. r

LEMMA 3. Sia G4HK prodotto di due sottogruppi mutuamente sn-permutabili HeK. SeHè abeliano, K è iperabeliano eIGK_G allora si ha:

a) K/K_G è abeliano;

b) HKG è normale in G;

c) G9 GK_G.

Dim. Per cominciare si supponga K risolubile.

SiaG4G/K_G; per il lemma 1.b) i sottogruppiHeKcostituiscono una coppia di sottogruppi totalamentesn-permutabili diG. Si haK_G4 ]1(e quindi la proposizione 1 di [2] porge cheKè abeliano e questo dimostra il punto a).

Per la dimostrazione di b) si procede come per la dimostrazione della proposizione 1 di [2] distinguendo tre casi che sono discussi rispettiva- mente nei lemmi 5, 6 e 7 di [2].

Il punto c) discende in maniera ovvia da a) e b).

Sia ora Kiperabeliano e sia ]1( 4K0GK1GRGK_aGR una serie normale a quozienti abeliani di K tale che K4

0

_a ^Ka. L’asserto è dimo- strato se si prova cheK è abeliano; per far questo basta far vedere che ogniK_a è abeliano. Si procede per induzione transfinita su a e si dimo- stra che ogniK_arisulta abeliano (la base dell’induzione è trivialmente ve- rificata). Seanon è un ordinale limite allora per ipotesiK_a21è abeliano e quindiK_aè risolubile e poiché (K_a)_G4 ]1(, il punto a) precedentemente dimostrato porge la conclusione. Se a è un ordinale limite allora K_a4 4_b

0

EaK_b; ma ogniK_bè abeliano e l’unione di una serie ascendente di grup- pi abeliani è un gruppo abeliano. r

OSSERVAZIONE. Il lemma 5 di [2] asserisce che seG4UVè prodotto di una coppia di sottogruppi totalmente sn-permutabili U e V con U p- gruppo abeliano di esponentepⁿeVrisolubile conV_G41 alloraUè nor- male inGeVè ciclico di ordine che divide pⁿ2pⁿ²¹. L’ultima afferma- zione è inesatta come mostra l’esempio:

G4ax,a,bNx⁸4a²4b²4(ab)²41 ,x^a4x⁵,x^b4x³b

conU4axbciclico di ordine 8 eV4aa,bbabeliano elementare di ordine 4.

In realtà l’asserto vale sepè un numero primo dispari mentre va corret- to dicendo cheVè sottogruppo di un gruppo abeliano di tipo ( 2 , 2ⁿ²²) se

p42. In ogni casoUè normale inGeVrisulta abeliano e sono queste le uniche proprietà utilizzate nella dimostrazione dei risultati esposti in questa nota.

Sia X un gruppo; si usano le seguenti convenzioni: se X è risolubile cond_Xsi denota la lunghezza derivata diX; seXè nilpotente conc_Xsi in- dica la classe di nilpotenza di X.

LEMMA 4. SiaG4HKprodotto di due sottogruppi mutuamentesn- permutabiliHeK. SeI4 ]1(eHeKsono risolubili alloraGè risolubile e d_GGd_H1d_K.

Dim. Per il lemma 1.b)He K sono una coppia di sottogruppi totala- mente sn-permutabili di G. Procedendo come nella dimostrazione del teorema 3 di [2] si ottiene che_x

1

_H^(H8K)^xè un sottogruppo fattorizzato di GcontenenteG9. Inoltre _x

1

_H^(H8K)^x4H8K₀con K8 GK₀. Analogamen- te _y

1

_K^(HK8)^y4H₀K8 FG9 e H8 GH₀.

Per il lemma 2 si haH8K8 4H8K0OH0K8e, per quanto detto sopra, tale sottogruppo è normale inGconG/H8K8metabeliano. Se si suppone (come è lecito, in quanto i ruoli diHeKsono intercambiabili)d_HGd_Kal- lora, iterando il procedimento sopra esposto si ottiene G^{( 2dH)}GK^(dH) e siccome K^(dH) ha lunghezza derivata d_K2d_H, l’asserto è dimostrato. r

3. Dimostrazione dei teoremi.

Dimostrazione del teorema A. Siccome Iè subnormale con difetton inHesiste una serieI4H_nJH_n21JRH₁JH₀4HdaIa H; si proce- de per induzione su n.

Sen41 allora Iè normale inHe si haI^G4I^HK4I^K; siccomeI^Gè normale inGsi haIGI^GGK_G. PostoG4G/K_Gdal lemma 1.b) discende cheHeKè una coppia di di sottogruppi totalamentesn-permutabili diG.

Il lemma 4 porge d_GGd_H1d_K e dunque d_GG(d_H1d_K)1d_K.

Se nD1 allora per il lemma 1.a) il gruppoT4H₁K è prodotto della coppia di sottogruppi mutuamentesn-permutabiliH1eK. Per l’ipotesi in- duttiva dTG(n21 )Q(dH₁1d_K)1d_K. Siccome H1 è normale in H si ha H₁^G4H₁^KGT; risulta IGH₁^G e quindi, posto G4G/H₁^G e applicando i lemmi 1.b) e 4, si ottiene d_GGd_H1d_K. Da questo discende immediata- mente che d_GGnQ(d_H1d_K)1d_K. r

Si osservi che la limitazione precedente alla lunghezza derivata diGè sempre migliore di quellad_GG2nd_Hd_K1d_Kfornita dal teorema 1 di [2].

Dimostrazione del teorema B. Si procede per induzione su c_H, la classe di nilpotenza di H.

Sec_H41 alloraHè abeliano,I^G4I^HK4I^KGK_Ge dal lemma 3.c) di- scende che G9 GKG da cui dGGdK12.

SecHD1 siaZ4Z(H), allora per ipotesiT4ZKè un sottogruppo di Ge si haZ^G4Z^HK4Z^KGT. InG4G/Z^Gper il lemma 1.b) i sottogrup- pi He K sono mutuamente sn-permutabili e si ha c_HEc_H. L’ipotesi in- duttiva porge quindi d_GG(d_K12 )Q(c_H21 ).

Infine I^T4I^ZK4I^KGKT e utilizzando il lemma 3.c) si ottiene T9 G GKT e dTGdK12.

Quindi d_GGd_G1d_TG(d_K12 )Qc_H. r

Si osservi che la limitazione fornita dal teorema B non dipende dal di- fetto di subnormalità di I in H.

Dimostrazione del teorema C. SiaG4HKconHeKmutamentesn- permutabili con H ipercentrale e K ipercentrale oppure risolubile; per dimostrare che G è iperabeliano basta esibire un sottogruppo normale abeliano diGin quanto, per il lemma 1.b) le ipotesi vengono ereditate dai quozienti di G.

SiaZ4Z(H), allora per ipotesi T4ZKè un sottogruppo diGe si ha Z^G4Z^HK4Z^KGT; inoltre I^T4I^ZK4I^KGK_T. Se H₀4TOH, posto T4T/K_T, il lemma 3.b) porge che H0eKè una coppia di sottogruppi to- talmentesn-permutabili diT. Il sottogruppoH04ZKT/KT risulta abelia- no, quindi il lemma 3.a) porge cheK deve essere abeliano e dal lemma 3.c) discende T9 GK_T. Se K è ipercentrale si consideri il sottogruppo W4Z^G4Z^HK4Z^KGT. SeWè abeliano o metabeliano alloraWoW8è un sottogruppo abeliano normale inG; altrimentiW9 GT9 GKè un sot- togruppo normale diGcontenuto inKeZ(W9) è un sottogruppo normale abeliano non banale diG. Se invece K è risolubile allora T4ZK risulta risolubile (con lunghezza derivata al piùd_K12: si veda il lemma 3); quin- di Z^GGT è un sottogruppo non triviale di G normale e risoluble e se d4d_Z^G allora (Z^G)^{(d21 )}c]1( è abeliano e normale in G. r

Rileggendo la dimostrazione precedente si può vedere che (mante- nendo le altre ipotesi del teorema C) seHè ipercentrale eKè iperabelia- no allora Gdeve essere subsolubile (cioé ammette una serie ascendente

di sottogruppi subnormali a quozienti abeliani; tali gruppi sono detti an- che SJ*-gruppi).

SeHeKsono entrambi iperabeliani si può provare cheGdeve essere un SN*-gruppo (cioé un gruppo che ammette una serie ascendente di sottogruppi a quozienti abeliani). Esistono però gruppi finitamente gene- rati non iperabeliani che sono il prodotto di due sottogruppi normali, ipe- rabeliani e localmente risolubili (si veda il teorema 8.19.1 di [4]).

B I B L I O G R A F I A

[1] B. AMBERG- S. FRANCIOSI- F.DEGIOVANNI,Products of groups, Clarendon Press, Oxford (1992).

[2] J. C. BEIDLEMAN- A. GALOPPO- H. HEINEKEN- M. MANFREDINO,On certain products of soluble groups, Forum Math.,13 (2001), pp. 569-580.

[3] J. C. LENNOX,On the solubility of a product of permutable subgroups, J. Au- stral. Math. Soc., 22 (1976), pp. 252-255.

[4] D. J. S. ROBINSON, Finiteness conditions and generalized soluble groups, Springer-Verlag, New York-Heidelberg-Berlin (1972).

[5] S. E. STONEHEWER,Permutable subgroups of infinite groups, Math. Z.,125 (1972), pp. 1-16.

[6] S. E. STONEHEWER, Permutable subgroups of some finite p-groups, J. Au- stral. Math. Soc., 16 (1973), pp. 90-97.

Manoscritto pervenuto in redazione il 3 febbraio 2003.