Gruppi che sono unione di un numero finito di laterali doppi

Gruppi che sono unione di un numero finito di laterali doppi.

ENRICOJABARA(*)

ABSTRACT- LetGbe a group andHa polycyclic subgroup ofG. IfGis union of a finite number of double cosets ofH, it is an open question whetherHis necessarily of finite index inG. The aim of this paper is to show that this is true ifGis residually finite or hyperabelian or linear or word hyperbolic.

1. Introduzione.

Questo lavoro eÁ motivato dalla seguente

CONGETTURA. SiaGun gruppo eHun suo sottogruppo nilpotente e finitamente generato. Se esiste un sottoinsieme finitofy₁;y₂;. . .;yngdiG tale cheGˆS_n

iˆ1Hy_iHalloraHha indice finito inG.

Tale congettura eÁ una generalizzazione di una congettura, proposta in [3] e discussa ampiamente in [7], che riguarda il caso in cuiHeÁ ciclico.

Estenderemo il Teorema 2 di [7] al caso dei sottogruppi nilpotenti di- mostrando il

TEOREMA1. SiaGun gruppo residualmente finito eHun suo sotto- gruppo virtualmente nilpotente. SeG eÁ unione di un numero finito di la- terali doppi diHalloraHha indice finito inG.

Le ipotesi del teorema precedente si possono notevolmente indebolire se si suppone che il sottogruppoHsia finitamente generato (f.g.); sussiste infatti il

(*) Indirizzo dell'A.: Dipartimento di Matematica Applicata. Dorsoduro 3825/E, 30122 Venezia; e-mail: jabara@unive.it

TEOREMA 2. Sia G un gruppo residualmente periodico e H un suo sottogruppo f.g. virtualmentefnilpotente per policiclicog. SeGeÁ unione di un numero finito di laterali doppi diHalloraHha indice finito inG.

Il teorema 2 permette di dimostrare altri risultati sui gruppi lineari e sui gruppi risolubili. Inoltre faremo vedere come si puoÁ rimuovere dal teorema 3 di [7] la condizione che il gruppoGsia aperiodico dimostrando il TEOREMA8. Sia G un sottogruppo di un gruppo iperbolico (secondo Gromov)Ge siaHun sottogruppo virtualmente ciclico diG. SeGeÁ unione di un numero finito di laterali doppi diHalloraHha indice finito inG.

2. Notazioni e risultati preliminari.

SiaC una classe di gruppi.

DEFINIZIONE1. Un gruppo G si dice residualmente C se per ogni g2G^]ˆGn f1gesiste un sottogruppo normaleNdiGtale cheGˆG=NeÁ unC-gruppo eg6ˆ1 (ovverog62N).

DEFINIZIONE2. Un sottogruppoX di un gruppoGsi diceC-separa- bile (inG) se per ognig2GnXesiste un sottogruppo normaleNdiGtale cheGˆG=NeÁ unC-gruppo eg62X(ovverog62NX).

Ovviamente un gruppoGeÁ residualmenteC se e solo se il sottogruppo identicof1grisultaC-separabile inGe quindi:

OSSERVAZIONE 1. Un sottogruppo normale N di un gruppo G eÁ C- separabile (inG) se e solo seG=NeÁ residualmenteC. p

OSSERVAZIONE 2. SiaC una classe di gruppi chiusa rispetto alla for- mazione dei sottogruppi. Allora ogni sottogruppo di un gruppo residualmente C eÁ a sua volta residualmenteC , inoltre un sottogruppoC-separabile inG risultaC-separabile in ogni sottogruppo che lo contiene. p

OSSERVAZIONE. 3. SiafC_lg_l2Luna famiglia di sottogruppiC-separa- bili di un gruppoG. Allora anche il sottogruppo

Cˆ\

l2L

C_l eÁC-separabile inG.

DIM. Sia g62C, allora esiste un el2L tale che g62Ce_l e quindi un sottogruppo normaleN di Gtale cheGˆG=N eÁ unC-gruppo eg62Ce_l. Ovviamente si hag62C. p

LEMMA1. SiaGun gruppo residualmenteC eXun suo sottoinsieme.

Allora il sottogruppoCG(X) eÁC-separabile inG.

DIM. PostoCˆC_G(X), seg62Callora esiste unx2Xcon [g;x]6ˆ1.

EssendoGresidualmenteC esso ammette un sottogruppo normaleNtale che GˆG=N eÁ un C-gruppo e [g;x]62N. In G si ha [g;x]6ˆ1 e quindi g62C_G(X); si conclude osservando cheCC_G(X). p

LEMMA 2. Sia C un sottogruppo C-separabile del gruppo G. Allora anche il sottogruppoTˆN_G(C) eÁC-separabile inG.

DIM. Seg62Tesistex2C con [g;x]62C. SiccomeCeÁC-separabile esiste un sottogruppo normaleNdiGtale cheGˆG=NeÁ unC-gruppo e [g;x]62C. Allora g62N_G(C); si conclude osservando che TN_G(C) e quindig62T. p

Nel seguito conF denoteremo la classe dei gruppi finiti, conT quella dei gruppi periodici, conN quella dei gruppi nilpotenti e conP quella dei gruppi policiclici. Tutte tali classi sono chiuse rispetto alla formazione dei sottogruppi e dei quozienti.

SeC₁eC₂sono due classi di gruppi conC₁C₂denoteremo la classe dei gruppi G che ammettono un sottogruppo normale N2C₁ tale che G=N2C2.

DEFINIZIONE3. Un gruppoGsi dice virtualmenteC se possiede un sottogruppo di indice finito che eÁ unC-gruppo.

SeC eÁ una classe chiusa rispetto alla formazione dei sottogruppi allora, con le notazioni precedenti, eÁ facile vedere che la classe dei gruppi vir- tualmenteC coincide con quella deiC F -gruppi.

CONVENZIONE. SiaG un gruppo unione di un numero finiton di la- terali doppi (distinti) di un suo sottogruppo H. Allora porremo sempre GˆS_n

iˆ1HyiHcony1ˆ1 eHyiH6ˆHyjHsei6ˆj.

Faremo spesso uso delle seguenti osservazioni.

OSSERVAZIONE4. Sia Gun gruppo unione di un numero finito di la- terali doppi di un suo sottogruppoH. Allora seHeÁ f.g. ogni sottogruppo di Gcontenente HeÁ finitamente generato.

DIM. EÁ sufficiente dimostrare cheGeÁ finitamente generato. Ma seH eÁ f.g. eGˆS_n

iˆ1HyiHalloraGˆ hH;y1;y2;. . .;yni. p

OSSERVAZIONE 5. Sia G un gruppo unione di un numero finito n di laterali doppi di un suo sottogruppoH. Allora:

a) seG₀eÁ un sottogruppo diGcontenenteHalloraG₀ eÁ unione di un numero finiton₀di laterali doppi diH, inoltre seG₀6ˆGsi han₀<n;

b) seK eÁ un sottogruppo di indice finito di HalloraGeÁ unione di un numero finito di laterali doppi diK;

c) se N eÁ un sottogruppo normale di G allora il gruppo GˆG=N eÁ unione di un numero finitondi laterali doppi diH, inoltre seNHallora nˆn. p

3. Gruppi residualmente finiti.

Ricordando l'osservazione 2 si ha

OSSERVAZIONE6. SiaGun gruppo eHun suo sottogruppo. Allora:

a) seGeÁ residualmente finito ancheHlo eÁ;

b) seGeÁ residualmente periodico ancheHlo eÁ. p

Dal fatto che ogni gruppo iperabeliano, f.g. e periodico eÁ finito discende subito il

LEMMA3. SiaHun sottogruppo iperabeliano e f.g. di un gruppo re- sidualmente periodicoG. SeGeÁ unione di un numero finito di laterali doppi diHalloraGeÁ residualmente finito.

DIM. Per dimostrare l'asserto eÁ sufficiente dimostrare che ogni quo- ziente periodico diGeÁ finito. SiaN un sottogruppo normale diGtale che GˆG=N sia periodico; allora il sottogruppo H, immagine di Hin G, eÁ periodico, f.g. e iperabeliano e quindi finito. Dunque anche G, essendo unione di un numero finito di laterali doppi di un suo sottogruppo finito, deve essere finito. p

Nel seguito utilizzeremo le osservazioni 1 - 6 senza richiamarle espli- citamente.

LEMMA4. SiaHun sottogruppoF -separabile di un gruppoG. SeG eÁ unione di un numero finito di laterali doppi di H allora H ha indice finito in G.

DIM. Sia GˆS_n

iˆ1Hy_iH e dimostriamo l'asserto ragionando per in- duzione sun.

Senˆ1 alloraGˆHe l'enunciato eÁ ovviamente verificato.

Sian>1 ey_n62H; per ipotesi esiste un sottogruppo normaleN diG conG=Nfinito eyn62NH. AlloraNHS_{n 1}

iˆ1 HyiH,NHrisulta unione di al piu n 1 laterali doppi di H e l'ipotesi induttiva porge che jNH:Hj<1.

Allora

jG:Hj ˆ jG:NHj jNH:Hj jG=Nj jNH:Hj<1 da cui la conclusione. p

TEOREMA1. SiaGun gruppo residualmente finito e Hun suo sotto- gruppo (virtualmente) nilpotente. Se G eÁ unione di un numero finito di laterali doppi diHalloraHha indice finito inG.

DIM. Non eÁ restrittivo supporre cheHsia nilpotente: dettacla classe di nilpotenza diHsiaGˆS_n

iˆ1Hy_iH. Dimostriamo l'asserto ragionando per induzione sun‡c.

Sen‡cˆ1 alloraGˆHˆ f1g.

Sia n‡c>1; secˆ0 allora Hˆ f1g e l'asserto eÁ ovvio; sia dunque c1 e distinguiamo due casi.

esisteg2GnHcong2C_G(H).

Allora il gruppohH;gieÁ nilpotente di classec. SiccomeHeÁ contenuto propriamente inhH;gine segue che GeÁ unione di un numero n⁰<n di laterali doppi di hH;gie quindi, per l'ipotesi induttiva, jG:hH;gij<1.

Ricordando cheHeÁ normale inhH;gisi hajhH;gi:Hj nda cui la con- clusione.

Si haC_G(H)H.

AlloraCG(H)ˆCH(H)ˆZ(H) eTˆNG(Z(H)) sono, per i lemmi 1 e 2, sottogruppiF -separabili diG. EssendoHTil gruppoGeÁ unione di un numero finito di laterali doppi diTe quindi, per il lemma 4,jG:Tj<1. Se T6ˆGalloraTeÁ unione di un numeron⁰⁰<ndi laterali doppi diHe l'i- potesi induttiva porgerebbe jT:Hj<1 da cui la conclusione. Resta da considerare il caso in cuiTˆG; in tal casoZ(H) risulta normale in Ge, essendoF -separabile, si ha che il gruppo GˆG=Z(H) eÁ residualmente finito.GeÁ unione di al piuÂnlaterali doppi diHeHha classe di nilpotenza c 1; l'ipotesi induttiva porge allorajG:Hj<1. PoicheÂZ(H)Hsi ha jG:Hj ˆ jG:Hje la conclusione. p

LEMMA5. Sia Hun sottogruppoT -separabile del gruppoG. SeHeÁ (virtualmente) iperabeliano e f.g. e seGeÁ unione di un numero finito di laterali doppi diHalloraHha indice finito inG.

DIM. Non eÁ restrittivo supporre cheHsia iperabeliano. Per il lemma 4 eÁ sufficiente far vedere cheHeÁF -separabile inG. Siag2GnHe siaNun sottogruppo normale diGtale cheGˆG=Nsia periodico eg62H. AlloraH essendo un gruppo iperabeliano, f.g. e periodico eÁ finito eGstesso, essendo unione di un numero finito di laterali doppi diH, risulta finito. p

LEMMA6. SiaG un gruppo residualmente periodico eHun suo sot- togruppo virtualmente policiclico. Se G eÁ unione di un numero finito di laterali doppi diHalloraHha indice finito inG.

DIM. Dal lemma 3 discende cheGeÁ residualmente finito.

Sia H0 un sottogruppo normale, policiclico e di indice finito di H; sia GˆS_n

iˆ1Hy_iHe siadla lunghezza derivata diH₀. Dimostriamo l'asserto ragionando per induzione sun‡d.

Sen‡dˆ1 alloraGˆH.

Sia quindin‡d>1; sedˆ0 alloraH0ˆ f1g,HeÁ finito e l'asserto eÁ banalmente verificato. Supponiamo allorad1 e poniamoC₁ˆC_G(H^d₀ ¹), T₁ˆN_G(C₁),C₂ˆC_G(C₁),T₂ ˆN_G(C₂). Per i lemmi 1 e 2 i sottogruppiC₁, C2,CˆC1\C2,T1 e T2 sono F -separabili in G. SeTk (k2 f1;2g) eÁ un sottogruppo proprio di G allora esso risulta unione di un numero finito n⁰<ndi laterali doppi diHe, per l'ipotesi induttiva,T_k sarebbe virtiual- mente policiclico. Ricordando che T_k eÁ F -separabile dal lemma 4 si avrebbejG:T_kj<1e la conclusione.

Possiamo quindi supporre cheT1ˆGˆT2e cheC1,C2eCsiano sot- togruppi normali diG. InGˆG=Cil sottogruppoH0ha lunghezza derivata dd 1 eGeÁ unione di un numero finito nndi laterali doppi diH;

l'ipotesi induttiva porge allora chejG:Hj<1.

Distinguiamo quindi due casi.

Se G6ˆCH alloraCH sarebbe unione di un numeron⁰⁰<ndi laterali doppi di He quindi l'ipotesi induttiva permetterebbe di concludere la dimostrazione.

SeGˆCHallora, poicheÂH^d₀ ¹eÁ normale inHeH^d₀ ¹Ce ricordando cheCeÁ abeliano in quantoCˆC1\C_G(C1), si ricava cheH^d₀ ¹eÁ normale inG. Il gruppo (f.g.)GeˆG=H^d₀ ¹in quanto estensione del gruppo abe- lianoCetramite il gruppo policiclicoHe eÁ, per un risultato di Jategaonkar [6] e Roseblade [8], residualmente finito. InGeil sottogruppoHe0ha lun- ghezza derivata d 1; l'ipotesi induttiva ed il fatto cheH^d₀ ¹Hper- mettono di concludere che

jG:Hj ˆ jGe :Hje <1: p

TEOREMA 2. Sia G un gruppo residualmente periodico e H un suo sottogruppo f.g. e virtualmemteNP. SeGeÁ unione di un numero finito di laterali doppi diHalloraHha indice finito inG.

DIM. Dal lemma 3 discende cheGeÁ residualmente finito.

SiaH₀ un sottogruppo normale,NP e di indice finito diH; alloraGeÁ unione di un numero finitondi laterali doppi diH₀.H₀ ammette un sot- togruppoK nilpotente di classece normale tale che il quozienteH₀=K eÁ virtualmemte policiclico. Sia GˆS_n

iˆ1H0yiH0 e dimostriamo che H0 (e quindiH) ha indice finito inGragionando per induzione sun‡c.

Sen‡cˆ1 alloraGˆH₀.

Sen‡c>1 ecˆ0 alloraKˆ f1g,H0eÁ policiclico e l'asserto discende dal lemma precedente.

Possiamo quindi supporre n‡c>1 e c>0. Posto C1ˆCG(Z(K)), C2ˆC_G(C1),CˆC1\C2,T1ˆN_G(C1) eT2ˆN_G(C2), per i lemmi 1 e 2 tutti tali sottogruppi sonoF -separabili in G. Ragionando come nella di- mostrazione del lemma precedente si ha che seT₁6ˆGo T₂6ˆGl'ipotesi induttiva permette di concludere. Supponiamo quindi cheC₁,C₂eCsiano sottogruppi normali diG. Si haZ(K)Ce quindi nel gruppoGˆG=Cil

sottogruppoK ha classe di nilpotenzacc 1 e GeÁ unione dinnla- terali doppi diH0. L' ipotesi induttiva porge chejG:H0j<1.

SeG6ˆCH₀alloraCH₀sarebbe unione di un numeron⁰<ndi laterali doppi diH₀e l'ipotesi induttiva porgerebbe la conclusione.

Sia quindiGˆCH₀; il sottogruppoKeÁ normale inH₀ed eÁ centralizzato da C perche K CG(Z(K))ˆC1 e C2ˆCG(C1); inoltre CˆC1\C2 eÁ abeliano. Il gruppoGe ˆG=KeÁ certamente f.g. ed eÁ estensione del gruppo abelianoCe tramite il gruppo policiclicoHe0; per il citato risultato di Jate- gaonkar e Roseblade ([6], [8])Ge eÁ residualmemte finito e il lemma prece- dente porgejGe:He₀j<1.

Si conclude osservando cheKH₀e quindijG:H₀j ˆ jGe :He₀j. p

4. Gruppi topologici.

In ogni gruppo si puoÁ definire una topologia (detta la topologiaprofi- nita) dichiarando come base di aperti di 1 l'insieme dei sottogruppi di in- dice finito. Se H eÁ un sottogruppo del gruppo G, con H^{^} si indica l'in- trersezione di tutti i sottogruppi di indice finito diGcontenenti H. Nella topologia profinita un sottogruppoHrisulta chiuso se e solo seH^{^}ˆH:

tale condizione eÁ manifestamente equivalente allaF -separabilitaÁ.

Un gruppoGdotato della topologia profinita eÁ un gruppo topologico in quanto le due applicazioni:

GG !G (x;y)7!xy e G !G x7!x ¹ risultano continue.

SeGeÁ un gruppo residualmente finito dotato della topologia profinita si puoÁ considerare il completamento topologicoGbdiG. Si dimostra cheGbeÁ un gruppo topologico di Hausdorff compatto e totalmente sconnesso; ovvia- mente l'immersione naturalei: G!Gb eÁ continua ei(G) eÁ denso inG. Seb H eÁ un sottogruppo di Ge si considera la chiusurai(H) dii(H) in Gb si ha i(G)\i(H) ˆi(H) se e solo seHeÁ chiuso (ovveroF -separabile) inG; in ogni caso i(G)\i(H) ˆi(H^{^}). Tenendo conto di questi fatti il seguente risultato appare una naturale generalizzazione del lemma 4.

TEOREMA3. Sia G un gruppo topologico di Hausdorff e H un suo sottogruppo compatto. SeGeÁ unione di un numero finito di laterali doppi di HalloraHha indice finito inG.

DIM. Ricordiamo che se X e Y sono sottoinsiemi compatti di un

gruppo topologico, allora il sottoinsiemeXY ˆ fxyjx2X;y2Ygrisulta compatto (si veda il teorema 4.4 di [4]).

OraHeÁ compatto cosõÂcome ogni suo traslatoy_iH; per quanto osservato sopra il sottoinsieme Hy_iH risulta compatto per ogni i2 f1;2;. . .;ng.

Siccome ogni compatto di uno spazio di Hausdorff eÁ chiuso anche il sot- toinsiemeS_n

iˆ2HyiHrisulta chiuso inG. Ma alloraHˆGnS_n

iˆ2HyiHeÁ un aperto e S

h2HhyiHeÁ un ricoprimento diHyiHcostituito da sottoin- siemi aperti. PoicheÂHy_iHeÁ compatto da ogni suo ricoprimento aperto si puoÁ estrarre un sottoricoprimento finito: cioÁ implica che per ogni iˆ1;2;. . .;n esistono un r_i2N (r₁ˆ1) e h_i;1;h_i;2;. . .;h_i;ri2Htali che Hy_iHˆ S_ri

jˆ1h_i;jy_iHe quindijG:Hj P_n

iˆ1r_i<1. p

DEFINIZIONE4. Un sottogruppoHdi un gruppoGsi dice virtualmente denso inGsejG:H^{^}j<1.

TEOREMA4. Sia G un eH un suo sottogruppo. SeGeÁ unione di un numero finito di laterali doppi diHalloraHeÁ virtualmente denso inG.

DIM. Sia R(G) il residuale finito di G, cioe l'intersezione di tutti i sottogruppi di indice finito diG. AlloraR(G)H^{^}e, per dimostrare l'as- serto, si puoÁ considerare il quoziente G=R(G). Quindi non eÁ restrittivo supporreR(G)ˆ f1ge cheGsia residualmente finito.

Consideriamo G, il completamento profinito dib G, e l'immersione na- turale i: G!Gb. Per quanto osservato sopra Gb eÁ un gruppo topologico compatto e di Hausdorff e quindi i(H) , essendo un chiuso di G, risultab compatto. Dal fatto cheGˆS_n

iˆ1Hy_iHdiscendei(G)ˆS_n

iˆ1i(H)i(y_i)i(H).

Siccomei(H) i(yi)i(H) eÁ compatto inGb esso eÁ ivi chiuso e quindi Gb ˆi(G) ˆi([ⁿ

iˆ1

Hy_iH) ([ⁿ

iˆ1

i(H) i(y_i)i(H) ) ˆ[ⁿ

iˆ1

i(H) i(y_i)i(H) : Il teorema 3 porgejGb:i(H) j<1da cui

jG:H^{^}j ˆ ji(G):i(H^{^})j ˆ ji(G):i(G)\i(H) j<1: p Dal teorema predente discende subito il

TEOREMA5. SiaGun gruppo residualmente finito e Hun suo sotto- gruppo. Se GeÁ unione di un numero finito di laterali doppi diH e seH

soddisfa (virtualmente) ad una identitaÁ gruppale w1 allora anche G soddisfa virtualmente alla stessa identitaÁ.

In particolare:

a) seHeÁ (virtualmente) risolubile con lunghezza derivatadallora anche GeÁ virtualmente risolubile con lunghezza derivatad;

b) seHha esponente finito ancheGha esponente finito;

c) seHeÁn-Engel allora ancheGeÁ virtualmenten-Engel. p

OSSERVAZIONE7. Il teorema 5 ammette anche una dimostrazione di- retta, basata sulle proprietaÁ dei gruppi residualmente finiti, che prescinde da ogni considerazione di carattere topologico. p

5. Gruppi lineari e risolubili.

ESEMPIO. SiaGˆGL(n;Q) e siaHl'insieme delle matrici triangolari superiori diG. AlloraGeÁ unione di un numero finito di laterali doppi diH majG:Hj ˆ 1(si osservi cheHnon eÁ f.g.).

Sussiste peroÁ il

TEOREMA6. Sia Gun gruppo lineare sopra un campo e Hun sotto- gruppo risolubile e f.g. diG. SeGeÁ unione di un numero finito di laterali doppi diHalloraHha indice finito inG.

DIM. GeÁ f.g. e quindi, essendo un gruppo lineare, residualmente finito (si veda il teorema 4.2 di [9]). Per un risultato di Malcev (teorema 3.6 di [9]), H, in quanto gruppo lineare risolubile, ammette un sottogruppo di indice finitoH0il cui derivato eÁ nilpotente. Il teorema 2 permette di concludere la dimostrazione. p

LEMMA7. SiaGˆNHil prodotto di un gruppo normale abelianoN tramite un gruppo virtualmente policiclicoH. SeGeÁ unione di un numero finito di laterali doppi diHalloraHha indice finito inG.

DIM. InfattiG eÁ f.g. e estensione di un gruppo abeliano tramite un gruppo virtualmemte policiclico e quindiGeÁ, per il giaÁ citato risultato di Jategaonkar e Roseblade ([6], [8]), residualmente finito. Il teorema 2 porge la conclusione. p

TEOREMA7. Sia G un gruppo iperabeliano e H un suo sottogruppo virtualmente policiclico. SeGeÁ unione di un numero finito di laterali doppi diHalloraHha indice finito inG.

DIM. Sia f1g ˆG0<G1<. . .<GaˆG una serie normale ascen- dente di G a quozienti abeliani. Dimostriamo, ragionando per induzione transfinita sub, cheHha indice finito inHG_b per ogniba.

Distinguiamo vari casi.

bˆ1. AlloraG₁eÁ un sottogruppo normale e abeliano diHG₁: il lemma 7 porge la conclusione.

b>1 non eÁ un ordinale limite. Per l'ipotesi induttivaHha indice finito in HG_{b 1}. PostoH G_b ˆHG_b=G_{b 1}, il lemma 7 permette di concludere che Hha indice finito inH G_bma allora:

jHG_b:Hj ˆ jHG_b :HG_{b 1}j jHG_{b 1}:Hj<1:

b eÁ un ordinale limite. AlloraG_bˆS

g<bG_g e per l'ipotesi induttiva su b si ha jHGg:Hj<1 per ogni g<b. Siccome esiste un sottoinsieme finitofg1;g2;. . .;gngdiGbtale cheHGb ˆS_n

iˆ1Hg_iHdeve esistere un

g<b con fg1;g2;. . .;gng G_g; allora HG_bˆHG_g e jHG_b :Hj ˆ

ˆ jHG_g:Hj<1. p

OSSERVAZIONE8. SiaKun campo e siaNil gruppo addittivo diK. Se HˆKeÁ il gruppo moltiplicativo diKsi puoÁ formare il prodotto semidi- retto GˆNH (con l'azione naturalmente indotta da Hsu N per molti- plicazione). AlloraGeÁ un gruppo di Frobenius (sottilmente) 2-transitivo e quindi per ogniy2GnHrisultaGˆH[HyH.

Da quanto detto e dai teoremi precedenti si ricava una dimostrazione generale del fatto che il gruppo moltiplicativo di ogni campo infinito non puoÁ essere finitamente generato. Per una discussione su questo risultato si veda anche III.A.4 (pp. 45-46) di [2]. p

6. Ulteriori risultati.

SiaGun gruppo generato da un insieme finitoSdi elementi; seg2G conjgj ˆ jwjsi denota la minima lunghezza delle parolewnell'alfabetoS che rappresentanog. InGsi puoÁ definire il prodotto (di Gromov)

(gh)ˆ1

2(jgj ‡ jhj jg ¹hj):

Il gruppoGsi dice iperbolico (secondo Gromov) se esiste una costante realedtale che per ognig;h;k2Gsi abbia

(gk)minf(gh);(hk)g 2d

Si dimostra che, per un gruppo Gla proprietaÁ di essere iperbolico non dipende dal particolare sistema di generatori scelto (mentre la costante d dipende daS). Il gruppo libero sull'alfabetoSeÁ iperbolico condˆ0; i gruppi iperbolici hanno molte proprietaÁ in comune con i gruppi liberi anche se, fino ad oggi, non eÁ noto se ogni gruppo iperbolico sia residualmente finito.

Un sottogruppo elementare di un gruppo iperbolicoGeÁ un sottogruppo virtualmente ciclico diG. In analogia con quanto avviene per i gruppi liberi un sottogruppo di un gruppo iperbolico o eÁ elementare oppure contiene un sottogruppo libero non abeliano (ma non eÁ vero che ogni sottogruppo di un gruppo iperbolico sia a sua volta iperbolico).

In [1] si eÁ dimostrato che seHeÁ un sottogruppo quasiconvesso (per la definizione si veda [1]) di un gruppo iperbolico G e se G eÁ unione di un numero finito di laterali doppi diHallorajG:Hj<1.

Il seguente risultato si riferisce peroÁ ai sottogruppi dei gruppi iperbolici i quali in generale non sono iperbolici.

TEOREMA8. SiaGun sottogruppo di un gruppo iperbolicoGe siaHun sottogruppo elementare diG contenuto inG. SeGeÁ unione di un numero finito di laterali doppi diHalloraGeÁ un sottogruppo elementare diG.

DIM. Per un profondo risultato dovuto a Ivanov e Ol'shanskii [5]GeÁ un gruppo residualmente di esponente finito. In particolare G eÁ resi- dualmemte periodico e, per ipotesi,HeÁ virtualmente ciclico. Il teorema 2 permette di concludere che Hha indice finito inGe quindiGrisulta un sottogruppo elementare diG. p

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Manoscritto pervenuto in redazione il 28 ottobre 2004.