R ENDICONTI
del
S EMINARIO M ATEMATICO
della
U NIVERSITÀ DI P ADOVA
G IOVANNI Z ACHER
Sul reticolo dei sottogruppi del quadrato cartesiano di un gruppo semplice
Rendiconti del Seminario Matematico della Università di Padova, tome 64 (1981), p. 235-241
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di
ungruppo semplice.
GIOVANNI
ZACHER (*)
Al
Prof.
Dr. W. Gaschütz in occasione del Suo 60-esimocompleanno
M.
Suzuki,
nel suo lavoro basilare sul reticolo deisottogruppi
diun gruppo finito
[7], dimostrò,
fral’altro,
che il reticolo delquadrato
cartesiano di un gruppo finito
semplice
non abeliano individua il gruppo.Scopo
dellapresente
Nota sarà di provare,seguendo
il metodoideato da
Suzuki,
che la citataproposizione
vale ingenerale
senzal’ipotesi
della finitezza sul gruppo. Deriveremo pure, usando tale me-todo,
un risultato recente di Schmidt([4]
Korollar1)
su tale argo-mento,
e termineremo la Nota con una osservazione allaquestione
studiata in
[3].
_ _Una
proiettività
G di un gruppo G su un gruppoG
è unisomorfismo del reticolo dei
sottogruppi
di G suquello
diG;
in unatale situazione
ogni elemento g
E G individua unaautoproiettività
di Gmediante la
posizione
X H Per brevità porremo X~ = 1e
Xí V Xg.
Unaproiettività
JI G - G si dice che conserva stretta-G
gEG
mente
gli
indici se da segue =[K:H].
La scrit-tura .g G
significa
Hquasinormale
inG,
mentreM G
sta per Mq
sottogruppo
massimo diG ; g>
è ilsottogruppo
di Ggenerato da g E G.
LEMMA 1. nna
proiettività
che conserva strettamentegli
indici. Allora unsottogruppo
H èquasinormale
in G se e solo setale è .H~ in
G.
(*) Indirizzo dell’A.:
Dipartimento
di Matematica, Università di Trento, 38100 Trento.236
Dm. Sia sarà
per cui
a) [g~d g~6~
= n, numero finito .n
Posto
~) = g~~,
per(*)
è =Ûi gi8’a
e cos è ungruppo. ~
b) 1g)" g)"1
= 00.Risulta
(cf. [6]
Lemma2.1)
percui,
perogni primo
p, esiste unsottogruppo Mp
tale cheH
pera)
sarà- - q
e
dunque
pureMg«G
e da H«= /B mg
si conclude che//
p
LEMMA 2. Sia N un
sottogruppo
normale di G conG/N
un gruppo abeliano elementare d’ordinep 2,
p un numeroprimo,
ed : G --~ G
unaproiettività. Allora
perogni
eG/Nã
è un gruppo abe-liano elementare d’ordine
p 2
op3.
Se p = 2 èDIM. Per un
g E G
siaNg # N;
seg>6 = g>,
l’ordine digN sarà p,
percui, posto Ho
=g, N)
si possono trovare altri due sotto-gruppi Hi, H2
di G tali da aversi = N e = G non ap-pena i # j ;
ora avendosiHi
=H0G,
si deduce eG/Ng
saràun
P-gruppo (cf.
ad es.[8])
d’ordinep2
o pq con q p, inogni
casoun gruppo
metabeliano; posto
I~ =N~,,
si avràdunque
cheG/.g
èun gruppo metabeliano
periodico
ap-sottogruppo
diSylow
abelianoelementare e normale.
_ _
Dato che ar induce una
proiettività
diGINÍ
su0/.Níí,
la conclu- sione del teorema segue subito seGIN,,
è abelianoelementare,
tenendopresente
la struttura di unP-gruppo.
_Ammettiamo ora che
6~
non siaabeliano;
sarà perun g
eG,
non abeliano per
cui g
induce suGIK
unaautoproiettività
sin-golare
a p. Esiste cos un d’ordine p, mentrea~g
è d’ordineq # p.
Consideriamo inG/K
unafamiglia ~A i~i
digruppi
finiti chericopre
e cona~ cAi;
saràg singolare
su unAj [8].
Siag singo-
lare di
prima specie
su allora necessariamenteAj
si spezza nelprodotto
diretto del suop-sottogruppo
diSylow
per il suocomple-
mento e
dunque g
sarà diprima specie
suogni
gruppo finito checontiene
A~ ;
ma allora con ilp-sottogruppo
di
Sylow
diG/.g;
da e si conclude cheC = K,
ossiaG/g
èp-abeliano elementare,
una contraddizione. Siadunque g
sin-golare
di secondaspecie
su tuttigli A
i per cuiG/g
=PIK X O/K
con
PIK
unP-gruppo
non abeliano egli
ordinidegli
elementi diCIK
relativamente
primi
aquelli
diP/.g
per cui di nuovo, come sopra, C = K. Ora da .K eG/N
abeliano nonpuò
che essere ancheun
P-gruppo abeliano,
una contraddizione.//
LEMMA 3. Sia G = con_
S1
gruppoisomor f o
ad82
e siao’16~-~
G Unaproiettività
tale che G Allora 6 suSi
una
proiettività
che conserva strettamentegli
indici.DIM. Per
ragioni
di simmetria basterà fissare l’attenzione su~’1,
ed osserviamo che or conserva
gli
indici suSi
se perqualunque
sotto-gruppo
A, B
di8,
da e[B:A] = p
segueInfatti sia oo;
posto N
=H,,,
sarà finito. Sia N =Noa
una serie di
composizione
da N ad .H’. Conside- ratoNi/Ni_1,
esso saràsemplice
finito equindi
se è abeliano saràaltrimenti per 3.3 in
[5]
sarà e daqui
per[8]
è == =
[.g : N]/[K : N],
daquanto
oradetto,
ne segue che =
[H: K].
Ciò premesso, siadunque
e
[.g’~ : gl] _ ~ ;
esiste con allorache è abeliano elementare d’ordine
p2
edunque, posto
G = N =
9
G1
=Gq,
per il Lemma 2 è T =e abeliano elementare d’ordine
p2
op3.
Ora èp-abe-
liano elementare non
identico,
V = e il mu- tuo commutatore[TH1, TH2]T.
Da G = segue che pure[T°’.ga,
epoichè
= è un P-gruppo, sarà abeliano elementare d’ordine
p2,
per cui la =e da
Ka
segue che
IH,5: Ka]
= p =[H~:K~]. //
Infine
passiamo
ad enunciareesplicitamente
un lemma dovuto aSuzuki
[7]
e che fornisce il metodo dimostrativo dell’enunciato teo-rema.
All’uopo,
se G =G~
XG2
è unprodotto
diretto di duegruppi,
238
detto
P(G)
il gruppo delleautoproiettività
diG, poniamo (cf. [5])
ed
risulta evidentemente
S(G1, G2) cP(G).
Ora adogni
ele-mento 0153 E Aut
G1,
il gruppodegli
automorfismi diG~,
resta associatoin un modo naturale un elemento a* E
P(G1, G2),
e tale associazionea H 0153* dà
luogo
ad un omomorfismo cp di AutG1
inP(G~, G,)
il cuinucleo è Pot
G,
il gruppodegli
automorfismipotenza
diG,
e saràpure Ker cpn = Pot
G,
se n:P(G1, G,)
~P(G1, G,)18(G,,, G2)
è l’omo-morfismo canonico.
LEMMA 4
(Suzuki [7]).
Sia G =Gx
XG,
unprodotto
diretto in cui il gruppoG,
siaisomor f o
aquello G2 :
AlloraP(GI, G2) G2)
Im cpe
dunque
ancheP(GI, G2)/S(Ol, G2) ^J
AutG1/Pot G1 = PA(Gx), questo
ultimo essendo ilsottogruppo
delleautoproiettività
di G indottedagli
elementi di Aut
G~.
TEOREMA. Sia 8 ~cn gruppo
semplice
nonabeliano,
G =_S X ~S ilsuo
quadrato
cartesiano e ~ unaproiettività
di G su un gruppo0. Allora
si ha Sa
isomor f o
ad 8 eG
= Sa X Sa.Dm. Posto
_S2,
siha 6: S1 x S2
- G. DaZ(G) = {l}
eHilfssatz 2.5 in
[3]
segue G X Se ora D è un gruppodiago-
nale di G : =
G,
={l}
saràSr Da = G, 8iADa
={l}
percui pure
Se¡
^J Del che evidentemente non è d’ordineprimo,
è un
gruppo semplice : sia, all’uopo {1}*
N,9-«:i G. In virtù del Lemma 3applicato
a(1-1,
a-1 conserva strettamentegli
indici suS%
per cui N =(Na)~-~
èquasinormale
in8,
edunque
N =81
in virtù di[4], corollary C2,
e del fatto che~l
èsemplice.
Il Lemma 4applicato
algruppo G =
Si
XS2,
tenutopresente
che in gruppo a centro identico è Pot G ={l} [1],
dàluogo
allaseguente
catena di isomorfismi :e da
qui
e dallasemplicità
diS1
e di80 i segue S61 = S1. //
Usando il lemma di Suzuki
vogliamo
derivare una dimostrazione delseguente
teorema dovuto a Schmidt(cf. [4]
Korollar1)
Sia G = ~n
prodotto
diretto di duegruppi
a centroidentico e
generati
da involuzioni. Se 6: G -G
è unaproiettività
alloraG
gruppi ~.S’1,
edsg
sono a due a dueisorraor f -2,.
DIM. Visto che ~S’ è
generato
da involuzioni e tenutopresente
cheil gruppo
quadrinomio
è invariante perproiettività,
y si ricava facil- mente da un lato che G = dall’altro cheZ(81.,5)
={l}
se taleè tenendo
presente
che J suSi
conservagli
ordini dei sotto-gruppi (Lemma 3). Essendo 8
e81 generati
dainvoluzioni,
i lorogruppi
di automorfismipotenza
sono identici[1],
per cuiapplicando
il Lemma 4 avremo la
seguente
sequenza di omomorfismi:con 9) e isomorfismi e 1J’ isomorfismo dato da
~’2)
~-+H
8,),
dove a loro volta igruppi Sl ed 86
sono immersirispet-
tivamente in Aut ed
Aut 8,c,1 quali gruppi degli
automorfismi interni di81
e1(8~)
di801’.
Posto A =proviamo
che(I(S~)) ~
== 1(8~): poichè
e sonogenerati
dainvoluzioni,
basteràprovare che A muta le involuzioni di su
quelle
di Sia 1 =1= a unainvoluzione, a
il relativo automorfismointerno;
sarày =
(a)-’
eAut 811
un suo elemento d’ordine2 ;
d’altraparte
sea5,7
=-
~~y ~
è una involuzione univocamente individuata da a e che persemplicità
denoteremocon g
= aa. Dettopoi #
l’automorfismo interno diS%
individuato da =aca, proviamo che #
= y.All’uopo,
visto
che 80’
ègenerato
dainvoluzioni,
basterà far vedere che~8
e y operano allo stesso modo sull involuzioni diSe.
Incominciamo daa6;
è chiaro che = aa e vediamo chi è
(a,7)11:
è y E AutSf,
che induce sul reticolo dei
sottogruppi
diSf 1’autoproiettività
a-’ aaper cui si ha
per cui
(a,5)2’
= a,7. Sia ora b" una involuzione di,si
diversa da ael.Sul gruppo diedrale
a, b),
a dàluogo
ad unaproiettività
indottada un isomorfismo a
[3].
Pertanto240
Confrontando
(*)
con(**)
concludiamoche B
= y. Ne consegue facil- mente the(I(S1)Â
= epoichè Â
è unisomorfismo,
sarà- da
I(~S’1) r’’ ff
Terminiamo con un’osservazione relativa al
problema
trattato daSchmidt in
[3].
Ivi si dimostra che se .H~ è unassegnato
gruppofinito,
esiste sempre un gruppo finito K
(risolubile, nilpotente
se tale èH)
tale che il
prodotto
diretto è individuato dal reticolo dei suoisottogruppi. Vogliamo qui
far vedere come ad una talerisposta
sipuò pervenire
anche nel caso che .H’ sia infinito. Se H èabeliano,
bastaimmergere
H in un gruppo abeliano con 2 elementiaperiodici
indi-pendenti,
perconcludere,
in virtù di un teorema di Baer(cf. [8]
IIth.
3).
Se H non è abeliano e se X è un suo sistema digeneratori,
siconsideri il gruppo libero K su _X
(il
gruppo risolubile libero K su Xcon
lunghezza
della serie derivatauguale
aquella
diH,
il gruppo liberonilpotente K
su .N con classe dinilpotenza uguale
aquella
diH);
tenendo
presente
ilgià
citato teorema diBaer,
il fatto che K è resi- dualmentenilpotente
senza torsione e che 6 su .K è unaproiettività
indotta da un isomorfismo
[2]
non è difficile vedere che da G =segue Ora per un conveniente
N«K;
nesegue che da -+
B’aNd /N6
eKfN
si desumema
K(j/N(j
è isomorfo a per cui .H~ ^~e infine
G = .H’ X g
isomorfo ad Un’altrapossibile
soluzione è diimmergere
H nel gruppo simmetricoSg
sug ed osservare che da
G segue
G dato che~S’$
è
generato
dagruppi quadrinomi
per l’ordine di g non inferiore a4;
a
poi
ristretta aSH
è indotto da un isomorfismo[9]
per cui la con- clusione consegue come sopra.BIBLIOGRAFIA
[1]
CH. D. H. COOPER, Powerautomorphisms of
a group, Math. Z., 107 (1968)pp. 424-427.
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Soviet Math.
Doklady,
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Berlin, 1956.[9] G. ZACHER, Sul reticolo dei
sottogruppi
del gruppo simmetrico, Rend. Ist.di Matem. Univ. Trieste, 9 (1977), pp. 122-126.
Manoscritto pervenuto in redazione il lo ottobre 1980.