Enveloppe de la droite de Simpson

N OUVELLES ANNALES DE MATHÉMATIQUES

B ADOUREAU

Enveloppe de la droite de Simpson

Nouvelles annales de mathématiques 2^e série, tome 18 (1879), p. 33-35

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ENVELOPPE DE LA DROITE DE SIMPSON;

PAR M. BADOUREAU, Ingénieur des Mines.

On sait que les pieds des perpendiculaires abaissées d'un point d'un cercle sur les côtés d'un triangle inscrit sont en ligne droite, et que, si le point décrit le cercle, la droite enveloppe une courbe du quatrième degré à trois points de rebroussement.

Cette question peut être traitée par le calcul de la manière suivante.

Prenons d'abord l'origine au centre du cercle, et soient a, j3, y, y les coordonnées angulaires des sommets A, B, C du triangle et du point F choisi sur le cercle. Pre- nons l'axe des x de telle sorte qu'on ait a H-13 -f- y = 2 7T.

Le côté a/3 et la perpendiculaire <pc abaissée du point <p sur ce côté ont pour équations

/ \ 7 . 7 S — « 11 — T cos - -i- y sin - r= cos 9

2 9. 2

(2) .r sin^ -+ y c o s - s i n ( - - h < p j »

2

pourvu qu'on prenne comme unité le rayon du cercle.

Multiplions l'équation (1) par sin ^ et l'équation (2) par cos 5 et ajoutons membre à membre \ il vient

01 ^ s i n - - f - r c o s - ~ sin3-H- 2 sm -%m~ ^sin-^ !•

2 ^ 2 2 2 2 2

Cette équation, symétrique par rapport à a, (3, y, repré- sente la droite «sèc. En transportant l'origine au centre

Ann, de Mathémnt.% 2e série, t. XVIII. (Janvier i 879.) 3

( 3 4 )

du cercle des neuf points, qui a pour coordonnées

— — f COS cc - 1 - c o s p H- COS7 ) j

Yi = - ( s i n a -t- s i n p -4- s i n 7 ) ,

l'équation devient

(4) .rsin- -'- y cos^L = - sin — •

L'enveloppe de celte droite est rhypocycloïde repré- sentée par les deux équations

1 X rrr COS o -\ COS 1 <p,

(5) O

y —- sin<p sin 2 y .

En éliminant <p, on obtient l'équation du quatrième degré

(6) ( 4 ^ H - 4 j2- l - 2 4 ^ - { - 9 )2 = 4(4jr:-|-3)3.

Cette courbe a trois points de rebroussement aux som- mets d'un triangle équilatéral M N P .

En prenant ce triangle comme triangle de référence, on obtient l'équation homogène

( 7 ) ( ap -f- p7 4- 7a)' = 4 47 (a •+- p -h 7) . On peut mettre cette équation sous la forme

1 -+- _i_ -h l —

Cette équation se décompose en trois autres qui r e - présentent respectivement les trois arcs de courbe li-

mités aux

(8)

pointsde

( 35 )

rebroussement :

i

T

v

!

i l VV

T

I

I i

A*

En terminant, il est à peine utile d'ajouter que le lieu est tangent aux trois côtés et aux trois hauteurs du triangle donné ABC.