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D1995. La sage de l'angle de 60° (13ème épisode)

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Academic year: 2022

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D1995. La sage de l'angle de 60° (13ème épisode) Problème proposé par Dominique Roux

Dans un triangle ABC, les médiatrices des côtés AB et AC coupent respectivement les droites (AC) et (AB) aux points B1 et C1 tels que la droite B1C1 coupe le côté BC en son intérieur. Démontrer que la droite B1C1 est tangente au cercle inscrit du triangle ABC si et seulement si l’angle en A est égal à 60°.

AC1 = AC/(2cosA) et AB1 = AB/(2cos A) donc AC1/AB1 = AC/AB.

Les droites BC et B1C1 ont des directions symétriques par rapport à la bissectrice de l'angle Â.

BC est tangente au cercle inscrit. B1C1 est aussi tangente si et seulement si cette même symétrie échange B et B1, C et C1, c'est à dire si 2cos A = 1 : si  = 60°

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