D 2924 Le jardin de la géomètres-Deuxième scène Solution proposée par Pierre Renfer
Rappels de la première scène
a) Choix du repère
On utilise un repère cartésien, d’origine O, d’axe des x parallèle à (GI), d’axe des y parallèle à (HJ), avec comme unité de longueur le rayon du cercle ().
Soient , , , les arguments des affixes complexes respectifs des points H, J, G, I.
Les coordonnées cartésiennes des premiers points sont :
cos cos cos cos cos cos 0
H J G I Z N M
sin sin sin sin sin 0 sin
b) Coordonnées des sommets du quadrilatère complet
sin sin cos
1 2 1 2 1 2
A : B : C :
sin 2 cos 2 sin 2 cos 2 cos 2 sin 2
cos 1 0
1 2 1 1
D : E : F :
cos 0 sin 1
cos sin
2 2
c) Coordonnées des points K et L
sin sin
1 1
K : L :
sin( ) cos sin( ) cos
d) Coordonnées du point P
2 2
1 cos
P : sin sin sin
1) Les points U et V
La droite (EF) a pour équation : x cos y sin 1 Soit U le point d’intersection des droites (GH) et(IJ) La droite (GH) a pour équation :
x cos cos cos
x (sin sin ) y (cos cos ) sin( ) 0 y sin sin sin
On en déduit l’équation de la droite (IJ) en remplaçant par par
Les coordonnées de U vérifient le système : x (sin sin ) y (cos cos ) sin( ) x (sin sin ) y (cos cos ) sin( )
Par addition et soustraction des lignes ; on obtient : x sin y cos 2 sin( ) x sin y cos 0
On en déduit les coordonnées de U : U : 1 cos cos( ) sin
Les coordonnées de U vérifient l’équation de la droite (EF). Donc U appartient à (EF).
Il reste à montrer que le point U appartient à la droite (AC).
Le vecteur CA a pour coordonnées : CA : 1 sin cos
sin sin
2 2
En utilisant ce vecteur directeur de (AC) et le milieu K de [AC], on trouve l’équation de (AC) :
x sin sin
sin( ) x cos y sin cos( ) 0
y cos cos
sin( )
Les coordonnées de U vérifient cette équation. Donc U appartient à la droite (AC).
Pour montrer que les droites (BD), GJ) et (HI se coupent en un même point V, on utilise les mêmes calculs en en remplaçant par , sans changer .
Les coordonnées de V sont : V : 1 cos
cos( ) sin
2) Les milieux de [EF] et [UV]
Le milieu W de [EF] a pour coordonnées :
1 2 cos W : 1
2 sin
Le milieu de [KL] a pour coordonnées : sin cos sin
sin( )sin( ) cos
La droite (HJ) a pour équation :
2
2
sin cos
x sin
sin( )sin( ) x cos y sin 0
sin cos
y cos
sin( )sin( )
Les coordonnées de W vérifient cette équation. Donc le point W appartient à la droite (KL).
Le milieu X de [UV] a pour coordonnées :
2 2
cos cos X : 1
cos( )cos( ) sin sin
Le milieu de [MN] a pour coordonnées : 1 cos 2 sin
La droite (MN) a pour équation :
2
2 2
2
cos cos
x cos
cos( )cos( ) x sin y cos sin cos (cos sin ) 0
cos( )cos( )
sin sin
y sin
cos( )cos( )
Les coordonnées de X vérifient cette équation. Donc le point X appartient à la droite (MN).
3) Les six points cocycliques
Le point T est sur (OZ). Ses coordonnées sont donc de la forme : T : cos sin
Le point T est sur (EF). Ses coordonnées vérifient donc l’équation de (EF) : x cos y sin 1
On en déduit : 2 1 2 cos sin
Le point Y a pour coordonnées : Y : 1 cos 2 sin
Il faut montrer que le cercle (), de centre Y, de diamètre [TZ] est orthogonal aux cercles () et ()
Le cercle () est bien orthogonal à () car : OY2 ( 1)2 et YZ2 ( 1)2
4 4
Donc : OY2 YZ2 1
On va montrer que Y appartient à l’axe radical des cercles () et (), ce qui prouvera que () est aussi orthogonal à ()
Dans la première scène est apparue l’équation du cercle () :
2 2
2 2 2 2 2 2
2 cos 2 sin 2
x y x y 0
sin sin sin sin sin sin
L’axe radical des cercles () et () a donc pour équation : 2 x cos 2 y sin 1 1
Les coordonnées de Y vérifient bien l’’équation de l’axe radical.
