G147- Qui va à la ruine ?
Solution proposée par François Bulot
L'espérance mathématique du score est : 1/6 * (G1+G2+G3+G4+G5G6)
Où Gi est l'espérance de gain lorsque le chifre que l'on tire est i et que l'on a le droit de rejouer ensuite (lorsqu'on n'a plus le droit de rejouer, le gain est i)
G1=1+1/6*(G1+G2+G3+G4+G5+G6) G2=2+1/6*(1+G2+G3+G4+G5+G6) G3=3+1/6*(1+2+G3+G4+G5+G6) G4=4+1/6*(1+2+3+G4+G5+G6) G5=5+1/6*(1+2+3+4+G5+G6) G6=6+1/6*(1+2+3+4+5+G6) Donc G6=51/5=10,2
G5=251/25=10,04 G4=1256/125=10,048 G3=6411/625=10,2576 G2=33466/3125=10,70912 G1=182046/15625=11,650944
Espérance : 982901/93750 soit environ 10,48
Avec ça, la banque donne l'impression que nous allons gagner, puisque quel que soit le premier jet, l'espérance est supérieure à 10.
Que nenni !
Probabilité de gain si on arrive à 10 ou plus : 1 Probabilité de gain si on arrive à 9 : 1
Probabilité de gain si on arrive à 8 avec dernier chiffre un 1 : 1 Probabilité de gain si on arrive à 8 avec dernier chiffre 2 ou plus : 5/6 Probabilité de gain si on arrive à 7 avec dernier chiffre un 1 : 1 Probabilité de gain si on arrive à 7 avec dernier chiffre un 2 : 5/6 Probabilité de gain si on arrive à 7 avec dernier chiffre 3 ou plus : 4/6
Probabilité de gain si on arrive à 6 avec dernier chiffre un 1 : 1/6*1+1/6*5/6+4/6*1=35/36 Probabilité de gain si on arrive à 6 avec dernier chiffre un 2 : 1/6*0+1/6*5/6+4/6*1=29/36 Probabilité de gain si on arrive à 6 avec dernier chiffre un 3 : 2/6*0+1/6*1+3/6*1=4/6 Probabilité de gain si on arrive à 6 avec dernier chiffre 4 ou plus : 3/6
Probabilité de gain si on arrive à 5 avec dernier chiffre un 1 : 1/6*35/36+1/6*5/6+1/6*5/6+3/6*1=203/216
Probabilité de gain si on arrive à 5 avec dernier chiffre un 2 : 1/6*0+1/6*5/6+1/6*5/6+3/6*1=28/36
Probabilité de gain si on arrive à 5 avec dernier chiffre un 3 : 2/6*0+1/6*5/6+3/6*1=23/36 Probabilité de gain si on arrive à 5 avec dernier chiffre un 4 : 3/6*0+1/6*1+2/6*1=3/6 Probabilité de gain si on arrive à 5 avec dernier chiffre un 5 : 4/6*0+2/6*1=2/6
Probabilité de gain si on arrive à 4 avec dernier chiffre un 1 : 1/6*203/216+1/6*29/36+1/6*4/6+1/6*5/6+2/6*1=1133/1296 Probabilité de gain si on arrive à 4 avec dernier chiffre un 2 : 1/6*0+1/6*29/36+1/6*4/6+1/6*5/6+2/6*1=155/216
Probabilité de gain si on arrive à 4 avec dernier chiffre un 3 :
2/6*0+1/6*4/6+1/6*5/6+2/6*1=21/36
Probabilité de gain si on arrive à 4 avec dernier chiffre un 4 : 3/6*0+1/6*5/6+2/6*1=17/36 Probabilité de gain si on arrive à 3 avec dernier chiffre un 1 :
1/6*1133/1296+1/6*28/36+1/6*4/6+1/6*4/6+1/6*5/6+1/6*1=6245/7776 Probabilité de gain si on arrive à 3 avec dernier chiffre un 2 :
1/6*0+1/6*28/36+1/6*4/6+1/6*4/6+1/6*5/6*1/6*1=142/216 Probabilité de gain si on arrive à 3 avec dernier chiffre un 3 : 2/6*0+1/6*4/6+1/6*4/6+1/6*5/6+1/6*1=19/36
Probabilité de gain si on arrive à 2 avec dernier chiffre un 1 :
1/6*6245/7776+1/6*155/216+1/6*23/36+1/6*3/6+1/6*4/6+1/6*5/6=32345/46656 Probabilité de gain si on arrive à 2 avec dernier chiffre un 2 :
1/6*0+1/6*155/216+1/6*23/36+1/6*3/6+1/6*4/6+1/6*5/6=725/1296 Probabilité de gain si on arrive à 1 avec dernier chiffre un 1 :
1/6*32345/46656+1/6*142/216+1/6*21/36+1/6*3/6+1/6*3/6+1/6*4/6=167993/279936 Probabilité de gain initiale :
1/6*(3/6+2/6+17/36+19/36+725/1296+167993/279936)=837809/1679616 soit moins de 49,881%
Jouer avec la banque est toujours un jeu aussi dangereux !
