G147. Qui va à la ruine ?
Louis ROGLIANO
Problème proposé par Christian Romon.
Le jeu de la grimpette consiste à lancer un dé plusieurs fois de suite, du moins tant que le chiffre obtenu ne décroit pas et l’on s’arrête à la première valeur strictement plus petite que la précédente. Le score d’une partie est l’addition de toutes les valeurs obtenues y compris la dernière plus faible. Quelle est l’espérance mathématique du score ?
Je joue à la grimpette contre la banque et il est convenu que j’effectue les lancers du dé. Au début de chaque partie, je mise1€. Si mon score à l’issue de chaque partie est strictement inférieur à10, je perds ma mise. A contrario, je récupère ma mise et la banque me verse1€. Qui va à la ruine ?
L’ expérience qui consiste à lancernfois un dé a pour éventualité unn−upletdont la somme des termes est une variable aléatoire d’espérance 7
2 n. Toutes les éventualités sont équiprobables.
Si l’on désigne parAnla variable aléatoire de l’événement « Le jeu s’arrète aunième lancer », parCncelle de l’ événement « Le jeu continue aunième lancer » et parAla variable aléatoire du problème, nous avons:
E(A) =
∑∞ i=2
E(Ai)etP(Cn−1) =P(An/Cn−1) +P(Cn/Cn−1)et, comme les lancers sont indépendants, P(Cn−1) = P(An) +P(Cn)(AnetCnne sont complémentaires que pourn = 2).
NotonsN(X)le nombre d’éventualités favorables à la réalisation de l’événementX. Comme nous sommes dans une situation d’équiprobabilité, nous avons alors:
E(An) = 7
2nP(An) = 7
2n(P(Cn−1)−P(Cn)) = 7 2n
(N(Cn−1)
6n−1 − N(Cn) 6n
). Il ne reste plus qu’à calculer
N(Cn).
NotonsN(Cn/i)le nombre d’éventualités réalisant l’événementCnse terminant pari. Les conditions du jeu entraînent les relations suivantes:
N(Cn/1) =N(Cn−1/1)
N(Cn/2) =N(Cn−1/1) +N(Cn−1/2)
N(Cn/3) =N(Cn−1/1) +N(Cn−1/2) +N(Cn−1/3)
N(Cn/4) =N(Cn−1/1) +N(Cn−1/2) +N(Cn−1/3) +N(Cn−1/4)
N(Cn/5) =N(Cn−1/1) +N(Cn−1/2) +N(Cn−1/3) +N(Cn−1/4) +N(Cn−1/5)
N(Cn/6) =N(Cn−1/1) +N(Cn−1/2) +N(Cn−1/3) +N(Cn−1/4) +N(Cn−1/5) +N(Cn−1/6) N(C1/1) = 1doncN(Cn/1) = 1.
1
Par la technique habituelle, on calcule de proche en proche lesN(Cn/i)et on obtient:
N(Cn) =N(Cn/1) +· · ·+N(Cn/6) = 1
120(n5 + 15n4+ 85n3+ 225n2+ 274n+ 120) Donc: E(An) = 7n(n5+ 9n4+ 25n3+ 15n2−26n−24)
48×6n
On trouve alors:E(A) =
∑∞ i=2
E(Ai) = 163296
15625 ≈10.4509
Calculons maintenant l’espérance mathématique du gain. Nous avons:
P(gain) = 1−P(A <10). Le tableau suivant donne le nombre de lancers nécessaires pour atteindre un score strictement inférieur à10.
Score
3 4 5 6 7 8 9 Nombre de lancers =2 1 1 2 2 3 2 2 Nombre de lancers =3 0 1 2 3 5 7 8 Nombre de lancers =4 0 0 1 2 4 6 10 Nombre de lancers =5 0 0 0 1 2 4 7 Nombre de lancers =6 0 0 0 0 1 2 4 Nombre de lancers =7 0 0 0 0 0 1 2 Nombre de lancers =8 0 0 0 0 0 0 1 On trouve alors:P(gain) = 1−0,50119 = 0,49881et
E(gain) = 0,49881×1 + 0,50119×(−1) =−0,00238. C’est donc le joueur qui va à la ruine.
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