Enonc´e noG147 (Diophante) Qui va `a la ruine ?
Probl`eme propos´e par Christian Romon
Le jeu de la grimpette consiste `a lancer un d´e plusieurs fois de suite, du moins tant que le chiffre obtenu ne d´ecroit pas et l’on s’arrˆete `a la premi`ere valeur strictement plus petite que la pr´ec´edente. Le score d’une partie est l’addition de toutes les valeurs obtenues y compris la derni`ere plus faible.
Quelle est l’esp´erance math´ematique du score ?
Je joue `a la grimpette contre la banque et il est convenu que j’effectue les lancers du d´e. Au d´ebut de chaque partie, je mise 1 euro. Si mon score `a l’issue de chaque partie est strictement inf´erieur `a 10, je perds ma mise. A contrario, je r´ecup`ere ma mise et la banque me verse 1 euro. Qui va `a la ruine ?
Solution de Jean Moreau de Saint-Martin
1) Esp´erance du score final
Soit s(a) l’esp´erance du score final si le premier jet donne a. En fonction du r´esultat b du second jet, cette esp´erance est a+b si b < a car le jeu s’arrˆete l`a,a+s(b) si b≥a. Commeb= 1 `a 6 de fa¸con ´equiprobable, s(a) =a+X
b<a
b 6+X
b≥a
s(b)
6 , d’o`u s(a) = a(a+ 11)
10 +X
b>a
s(b) 5 .
Faisant successivement a = 6, 5, 4, 3, 2, 1, on obtient s(6) = 10,2 ; s(5) = 10,04 ; s(4) = 10,048 ; s(3) = 10,2576 ; s(2) = 10,70912 ; s(1) = 11,450944.
Les divers r´esultats du premier jet ´etant ´equiprobables, l’esp´erance globale est X
a
s(a)
6 = 10,450944. C’est aussi s(1)−1, car apr`es avoir obtenu 1 au premier jet, on est comme dans la situation de d´epart avec un point d’avance.
1
2) Probabilit´e de score final<10
Le nombre total de jets d’une partie est potentiellement illimit´e, mais si le score final ne d´epasse pas 9, le nombre de tirages ne d´epasse pas 8 (avec la s´equence 1 six fois, 2 puis 1). Le tableau suivant donne le nombre de parties de score s en t tirages ; la colonne de droite totalise le nombre de parties `a nombre de tirages donn´e.
s= 3 4 5 6 7 8 9
t=
2 1 1 2 2 3 2 2 13
3 1 2 3 5 7 8 26
4 1 2 4 6 10 23
5 1 2 4 7 14
6 1 2 4 7
7 1 2 3
8 1 1
Chaque partie a la probabilit´e 1/6t de se produire ; il est commode d’ob- server que la s´equence 13, 26, 23, 14, 7, 3, 1 s’´ecrit en base 6 : 21, 42, 35, 22, 11, 3, 1 d’o`u la probabilit´e en base 6 par une simple addition
0,21 + 0,042 + 0,0035 + 0,00022 + 0,000011 + 0,0000003 + 0,00000001 = 0,30013131>0,30000000 = 1/2.
Ainsi je perds un euro plus souvent que je n’en gagne un ; c’est moi qui vais `a la ruine, `a raison de 0,00030302 (en base 6) euro par partie, soit 3998/68= 1/420,114. . ..
Remarque.
Cela conduit `a s’int´eresser au temps n´ecessaire pour ˆetre ruin´e, par exemple en perdant 100000 euros. La dur´ee d’une partie est li´ee `a son nombre de tirages.
Soit une partie qui arrive `a son terme au t-i`eme tirage. L’avant-dernier tirage a donn´e s+ 2 avec s = 0 `a 4. Il y a s+ 1 possibilit´es pour le dernier tirage etKs+2t−2 possibilit´es (choix de t−2 tirages parmi les entiers de 1 `a s+ 2, avec r´ep´etition) pour les tirages autres que les deux derniers, n´ecessairement produits en ordre croissant.
Le nombre des parties det tirages est ainsin(t) =
4
X
s=0
(s+ 1)Ks+2t−2=
=
4
X
s=0
(s+ 1)Cs+t−1t−2 =
4
X
s=0
(t−1)Cs+t−1t−1 =
4
X
s=0
(t−1)(Cs+tt −Cs+t−1t ) =
= (t−1)C4+tt .
Chaque partie de t tirages ayant la probabilit´e 6−t, le nombre moyen de tirages d’une partie est
∞
X
t=2
t n(t)6−t=
∞
X
t=2
t(t−1)C4+tt 6−t=
∞
X
t=2
30C4+t6 6−t= 30·6−2(1,2)7=
= 2,985984.
Il faut donc en moyenne 2,985984·420,114 = 1245,45 tirages pour perdre un euro, et plus de 124 millions pour en perdre 100000.
On peut cependant acc´el´erer le processus (limitation `a 9 tirages des parties les plus longues) en arrˆetant les parties `a l’atteinte de 10, ou `a l’atteinte de 9 avec tirage favorable ; en ce cas l’esp´erance du nombre de tirages n’est pas aussi simple `a d´eterminer et je ne l’ai pas ´etudi´ee ; cependant le nombre de tirages n’est jamais inf´erieur `a 2 par partie, ce qui conduit `a plus de 84 millions de tirages pour perdre 100000 euros.
2
