G147. Qui va à la ruine?
Problème proposé par Christian Romon
Le jeu de la grimpette consiste à lancer un dé plusieurs fois de suite, du moins tant que le chiffre obtenu ne décroit pas et l’on s'arrête à la première valeur strictement plus petite que la précédente. Le score d'une partie est l'addition de toutes les valeurs obtenues y compris la dernière plus faible. Quelle est l’espérance mathématique du score ? Je joue à la grimpette contre la banque et il est convenu que
j’effectue les lancers du dé. Au début de chaque partie, je mise 1€. Si mon score à l’issue de chaque partie est strictement inférieur à 10, je perds ma mise. A contrario, je récupère ma mise et la banque me verse 1€. Qui va à la ruine ?
Solution proposée par Antoine Vanney
Soit S le score et E(S) son espérance mathématique
Notons Ei l’espérance de score partiel après le tirage de i (sans compter i) : E6=1/6(1+2+3+4+5+6)+1/6E6 d’où E6 = 21/5 = 4+1/5
E5=1/6(1+2+3+4+5+6)+1/6(E5+E6) d’où E5 = (21+E6)/5 = 21(1+1/5)/5
E4=1/6(1+2+3+4+5+6)+1/6(E4+E5+E6) d’où E4 = (21+E5+E6)/5 = E5(1+1/5)= 21(1+1/5)2/5 E3 = (21+E4+E5+E6)/5 = E4(1+1/5)= 21(1+1/5)3/5
E2 = (21+E3+E4+E5+E6)/5 = E3(1+1/5)= 21(1+1/5)4/5 E1 = (21+E2+E3+E4+E5+E6)/5 = E2(1+1/5) = 21(1+1/5)5/5 Or E(S)=E1
Donc E(S)= 21.65/56≈ 10,451
Quelle est la probabilité que le score soit inférieur strictement à 10 ?
Le score minimum est 3 (2 puis 1) avec une probabilité P(S=3)=1/36 P(S=4) = P(1-2-1 ;3-1)= 6-3+6-2
P(S=5)=P(2-2-1 ;3-2 ;4-1)+1/6.P(S=4) = 6-3+2/36+6-3+6-4=2/36+2.6-3+6-4
P(S=6)=P(5-1 ;4-2 ;2-3-1)+1/6.P(S=5)=2/36+6-3+2.6-3+2.6-4+6-5=2/36+3.6-3+2.6-4+6-5 P(S=7)=P(6-1 ;5-2 ;4-3 ;3-3-1)+1/6.P(2-2-1 ;3-2 ;4-1)+1/6P(S=6)=3/36+6-3+2.6-3+6-4+2.6-
3+3.6-4+2.6-5+6-6=3/36+5.6-3+4.6-4+2.6-5+6-6
P(S=8) = P(6-2 ;5-3 ;3-4-1 ;3-3-2 ;2-5-1 ;2-4-2 ;2-2-3-1)+1/6P(S=7)
= 2/36+4.6-3+6-4+3.6-3+5.6-4+4.6-5+2.6-6+6-7=3/36+2.6-3+4.6-5+2.6-6+6-7 Et enfin …
P(S=9) = P(6-3 ;5-4 ;4-4-1 ;3-5-1 ;3-4-2 ;2-6-1 ;2-5-2 ;2-4-3 ;2-3-3-1 ;2-2-3-2 ;2-2-4-1 ;2-2-2- 2-1)+ 1/6.P(S=8)
P(S=9)= (2/36+1/36+3.6-4+6-5)+(3.6-3+2.6-4+4.6-6+2.6-7+6-8)
=3/36+3.6-3+5.6-4+6-5+4.6-6+2.6-7+6-8 Et P(S=3)+…+P(S=9) ≈ 50,11% !!!
Donc à un chouia près c’est moi qui vais à la ruine, alors qu’intuitivement, avec une espérance de score supérieure à 10, on aurait pu penser que la banque allait être ruinée.
