INTRODUCTION Un jeu consiste à lancer deux dés et à faire la somme des nombres obtenus. Combien y a-t-il de sommes possibles ?

INTRODUCTION

Un jeu consiste à lancer deux dés et à faire la somme des nombres obtenus.

Combien y a-t-il de sommes possibles ?

Si la somme est 2 ; 3 ; 4 ; 10 ; 11 ou 12, le joueur 1 gagne. Sinon, c est le joueur 2.

On effectue plusieurs parties de ce jeu. Que constate-t-on ?

On effectue la simulation d un grand nombre de parties à l aide d un tableur. Que constate-t-on ? On admet la propriété suivante :

Loi des grands nombres : Lors d’une expérience aléatoire répétée N fois, les fréquences obtenues d’un événement A de l’expérience se rapprochent d’une valeur théorique lorsque N devient grand.

Cette valeur s’appelle la probabilité de l’événement A.

On peut alors modéliser l expérience en choisissant comme probabilités :

Somme obtenue 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Probabilité

On souhaite retrouver ces probabilités par le calcul : On peut utiliser un tableau.

Chacune des 36 cases du tableau a la même probabilité d apparaître lorsqu on lance deux dés.

On peut alors de nouveau modéliser l expérience en choisissant comme probabilités :

Somme obtenue 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Probabilité

On peut alors déterminer la probabilité que le joueur 1 gagne et la probabilité que le joueur 2 gagne :

Parfois, on ne peut pas modéliser la situation par le calcul mais seulement en répétant de nombreuses fois

l expérience. Par exemple, si on choisit une personne au hasard parmi la population française et que l on

note sa taille, ...

EXPÉRIENCES ALÉATOIRES.

Un jeu de 32 cartes est composé de cartes de 4 couleurs (pique, cœur, carreau, trèfle). Il y a 8 cartes de chaque couleur : 7 ; 8 ; 9 ; 10 ; Valet, Dame, Roi, As. Valet, Dame, Roi et As sont les figures.

Exemple 1 : On choisit une carte au hasard dans un jeu de 32 cartes.

C est une expérience aléatoire car on ne peut pas prévoir le résultat à l avance.

Chaque choix possible est une issue ou éventualité. L ensemble de toutes les issues s appelle l univers ; on le note souvent .

1. Combien y a-t-il d’issues possibles ?

L’univers de l’expérience aléatoire est l ensemble de ces issues donc l ensemble des cartes.

Un événement est un ensemble d’issues. Par exemple : « obtenir un roi » est un événement de l’expérience aléatoire. On l’appelle A. On considère les événements suivants :

A : « obtenir un roi » B : « obtenir un cœur » C : « obtenir un sept » D : « obtenir une figure »

E : « obtenir un nombre (7, 8, 9 ou 10) » F : « obtenir le huit de pique ».

On a A {roi de trèfle; roi de carreau; roi de coeur; roi de pique}  . A comporte quatre issues.

2. Combien l’événement B contient-il d’issues ?

3. L’événement F est appelé événement élémentaire. Expliquer pourquoi. Donner un autre événement élémentaire.

4. L’événement contraire de A est réalisé lorsque A ne l’est pas. On le note A . On a : A : « obtenir une carte qui n est pas un roi »

Quel est l’événement D ? L’événement D ?

5. Lorsque A et B sont deux événements d’une même expérience aléatoire, l’événement A et B, noté A B (se lit A inter B) est réalisé lorsque A et B le sont tous les deux.

Donner les événements A B et B C.

6. A C s appelle l évènement impossible. Expliquer pourquoi.

7. Lorsque A et B sont deux événements d’une même expérience aléatoire, l’événement A ou B, noté A B (se lit A union B) est réalisé lorsqu’au moins l’un des deux événements est réalisé. Donner les événements A B ; C F et A D.

8. Donner l’événement D E. D E est l’événement certain. Expliquer pourquoi.

9. Si deux événements A et B ne peuvent pas être réalisés en même temps, c’est-à-dire si A B  (ensemble vide), on dit que A et B sont incompatibles. Citer deux événements incompatibles.

Exemple 2 : On lance deux dés à 6 faces bien équilibrés et on note la somme des deux nombres obtenus.

1. Donner l univers de l expérience aléatoire. Combien y a-t-il d issues ?

2. On note I l événement : "le nombre obtenu est impair" et S l événement "le nombre obtenu est compris entre 5 et 9". Donner P S et P S.

Exemple 3 : Dans un groupe de 50 personnes, 20 pratiquent le tennis, 25 pratiquent la natation et 15 pratiquent les deux. On choisit une personne au hasard.

L ensemble des issues est l ensemble des personnes. Il y en a 50.

On note T l événement : "la personne choisie pratique le tennis" et N l événement : "la personne choisie pratique la natation".

Définir par une phrase les événements T , T N et T N

CALCULS DE PROBABILITÉS.

Définition : Définir une loi de probabilité sur   { ; x x

;...; x

} , c’est associer à chaque issue x

un nombre p

, positif ou nul, tel que p

 p

  ... p

 1 . Ce nombre p

est la probabilité de l’issue x

.

Remarque : On a forcément 0  p

 1 .

- Dans l exemple 1 sur le jeu de cartes, on associe intuitivement à chacune des 32 issues le nombre 1

32 . On a

bien 1

32 1

 32  . Chaque issue a la même probabilité p 1

32 de se réaliser : on dit que la loi est équirépartie, ou qu’il y a équiprobabilité.

Dans l exemple 3 sur les sports, il y a aussi équiprobabilité puisque chaque personne a la même probabilité d être choisie.

1. Les lois de probabilité sont-elles toujours équiréparties ? (Utiliser l exemple 2 sur les dés)

La probabilité d’un événement est égal à la somme des probabilités des événements élémentaires qui le composent.

2. On reprend l exemple de l activité sur le jeu de dé. A l aide des probabilités déterminées dans l activité et on note I l événement "obtenir un nombre impair".

Exprimer par une phrase l événement I puis calculer la probabilité des événements I et I . De manière générale, peut-on calculer la probabilité de l’événement A si on connaît la probabilité de A ?

3. On reprend l exemple 1 des cartes.

Les issues étant équiprobables, pour tout événement A, on a p( A) nombr e d is sues de A nombr e tot al d issues .

Rédaction modèle pour p(A) : Il y a 32 issues équiprobables.

A comporte 4 issues donc la probabilité de A est p( A) 4 32

1

8

En rédigeant de la même façon, calculer p( B) et p (E ).

On reprend l exemple 3 des sports :

Exemple 3 : Dans un groupe de 50 personnes, 20 pratiquent le tennis, 25 pratiquent la natation et 15 pratiquent les deux. On choisit une personne au hasard.

Déterminer la probabilité de T, de N et de T N .

4. Compléter le schéma ci-dessous en hachurant en rouge T N et en bleu T N puis calculer le nombre de personnes pratiquant au moins un des deux sports.

5. Exprimer p( T N ) en fonction de p( T N), p (T ) et p( N) puis calculer p( T N ).

PROBABILITÉS. SYNTHESE.

A RETENIR !!!!!

Une ………. est une expérience dont on ne peut pas prévoir le résultat.

Elle peut conduire à plusieurs ……….. ou ………..

Dans ce chapitre, on se limitera au cas où ces issues sont en nombre fini (on peut les compter). On note n leur nombre

L’ensemble des issues est appelé ……… On le note (se lit oméga).

Un ……….. A est une partie de .

L’événement ………. de A est noté A Il se réalise lorsque A n’est pas réalisé.

Un événement ………. ne comporte qu’une seule issue.

L’événement A et B noté ………. (se lit A inter B) est réalisé lorsque A et B sont réalisés tous les deux.

L’événement A ou B, noté ………. (se lit A union B) est réalisé lorsque A est réalisé ou B est réalisé ou les deux sont réalisés.

Si A et B ne peuvent pas être réalisés en même temps, A et B sont ………. On a alors A∩B = ………….. (ensemble vide)

Si A n’est jamais réalisé, A est l’événement ………...

Si A est toujours réalisé, A est l événement ……….

A chaque issue, on associe un nombre p

compris entre ………. de telle façon que p

p

… p

……….. Ce nombre est appelé probabilité de l'issue.

La probabilité d un événement A est la somme des probabilités des issues qui le composent.

Dans le cas où on associe à chacune des n issues le même nombre p, on parle de loi équirépartie ou d ………. On a alors, pour tout événement A, p( A) ………

Modéliser une expérience aléatoire, c'est définir une loi de probabilité qui représente au mieux les chances de réalisation de chaque issue. Si l’on répète une expérience aléatoire un très grand nombre de fois, la fréquence de n’importe quelle issue de cet événement finit par se stabiliser vers un nombre. On choisit alors ce nombre comme probabilité de l'issue.

On peut aussi modéliser une expérience aléatoire à l'aide d'un tableau ou d'un arbre.

Pour tous les événements A et B, on a :

p(A B) = ……… et p(A) = ……….

Si A et B sont incompatibles, p (A B ) ……. et p(A B ) ………..

EXERCICES A SAVOIR REFAIRE

Exercice1.

Un sac contient des jetons carrés ou rond, de couleur verte, bleue ou noire. Il y a 10 jetons verts dont 4 carrés ; 10 des 12 jetons bleus sont carrés ; 14 des 18 jetons noirs sont ronds.

1. Donner le nombre de jetons de chaque sorte.

2. On tire un jeton au hasard et on note sa forme et sa couleur. On suppose qu'il y a équiprobabilité (chaque jeton a la même probabilité d'être choisi). On note A l'événement : "le jeton est vert", B : "le jeton est carré"

a. En n utilisant que les événements A et B, donner les événements suivants : C : "le jeton est vert et carré"

D : "le jeton est vert ou carré"

E : "le jeton n est ni vert ni carré F : "le jeton est carré et n est pas vert"

b. Calculer les probabilités des événements A, B, C, D, E et F.

Exercice 2.

Dans un lycée de 1470 élèves, 350 se sont faits vacciner contre la grippe. Lors d’une épidémie, 10% de l'ensemble des élèves ont eu la grippe et 96% des élèves vaccinés ne l’ont pas eue.

1. Compléter le tableau suivant :

Elèves vaccinés Elèves non vaccinés TOTAL Ont eu la grippe

N’ont pas eu la grippe

TOTAL 350 1470

Dans la suite, on donnera chaque résultat sous forme de fraction irréductible puis arrondi à 0,01 près.

2. On choisit au hasard un élève du lycée (chacun a la même probabilité d’être choisi).

On note A et B les événements suivants : A : « il a été vacciné ».

B : « il a eu la grippe ».

a. Calculer p(A) et p(B).

b. Exprimer par une phrase l’événement A B puis calculer sa probabilité.

c. Calculer p(A B).

d. Exprimer par une phrase l’événement A puis calculer sa probabilité.

Exercice 3.

Une urne U contient trois jetons : un rouge, un bleu et un vert.

Une urne V contient trois jetons : un bleu et deux verts.

1. Expérience aléatoire n°1.

On choisit un jeton au hasard dans l urne U puis un jeton au hasard dans l urne V.

a. A l aide d un arbre, déterminer le nombre d issues.

b. Déterminer la probabilité d obtenir deux jetons bleus.

c. Déterminer la probabilité d obtenir un jeton noir.

d. Déterminer la probabilité d obtenir deux jetons de la même couleur.

2. Expérience aléatoire n°2.

On choisit un jeton au hasard dans l urne V, on le remet puis on choisit à nouveau un jeton dans l urne V.

a. A l aide d un arbre, déterminer le nombre d issues.

b. Déterminer la probabilité d obtenir deux jetons de la même couleur.

3. Expérience aléatoire n°3.

On choisit un jeton au hasard dans l urne V, on le met de côté puis on choisit à nouveau un jeton dans l urne V.

a. A l aide d un arbre, déterminer le nombre d issues.

b. Déterminer la probabilité d obtenir deux jetons de la même couleur.

Exercice 4.

Une entreprise fabrique des systèmes d’alarme pour les piscines.

Deux ateliers, notés 1 et 2, d’un site de production de l’entreprise, fabriquent des exemplaires d’un même modèle de système d’alarme pour les piscines. L’atelier 1 fabrique 60% des systèmes d’alarmes, l’atelier 2 en fabrique 40%.

Un jour donné, 2 % des systèmes produits par l’atelier 1 et 1 % des systèmes produits par l’atelier 2, sont défectueux.

On prélève au hasard un système parmi les systèmes produits par les deux ateliers ce jour là. Tous les systèmes ont la même probabilité d’être choisis.

On considère les événements suivants :

A : « le système prélevé provient de l’atelier 1 » ; B : « le système prélevé provient de l’atelier 2 » ; D : « le système prélevé est défectueux ».

1. Donner p(A) et p(B).

2. Construire un arbre pondéré traduisant les données de l’énoncé.

3. Calculer la probabilité que le système soit défectueux et provienne de l’atelier 1.

4. Calculer la probabilité que le système soit défectueux.

5. Calculer la probabilité que le système soit défectueux ou provienne de l'atelier 1.

Exercice 5.

Amateur de Sudoku, Nawel s’entraîne sur un site internet.

40% des grilles proposées sont de niveau facile, les autres sont de niveau difficile.

Nawel sait qu’elle réussit les grilles de niveau facile dans 95% des cas et celles de niveau difficile dans 40%

des cas.

Une grille lui est proposée de façon aléatoire.

On considère les événements suivants : F : "La grille est de niveau facile".

R : "Nawel réussit la grille".

1. Représenter la situation par un arbre de probabilité.

2. Calculer P (F ∩R ) et interpréter par une phrase.

3. Calculer la probabilité que Nawel réussisse la grille choisie.

4. Calculer P (F R) et interpréter par une phrase.

Exercice 6.

Un QCM comporte 3 questions. Pour chacune d entre elles, 4 réponses sont proposées, dont une seule est exacte. Un élève répond au hasard à chaque question.

En utilisant un arbre pondéré, calculer la probabilité des événements suivants : A : "toutes les réponses de l élève sont justes".

B : "aucune réponse de l élève n est juste"

C : "l élève n a répondu juste qu à la deuxième question"

D : "l élève a exactement deux réponses justes"

E : "l élève a au moins une réponses justes"

Exercice 7.

On dispose d'un dé truqué à 6 faces. On lance ce dé et on note le n° obtenu. Une étude statistique conduit à la constatation suivante : les faces de 1 à 5 ont la même probabilité de sortir. La probabilité de la face 6 est le double de celle des autres faces. Déterminer la loi de probabilité de l'expérience aléatoire.

Exercice 8.

Dans une population, la probabilité qu un individu possède un caractère génétique A est 0,8 et celle d un caractère génétique B est 0,6. La probabilité qu il possède au moins un des deux caractères est 0,45.

1. Déterminer la probabilité qu il possède les deux caractères.

2. Déterminer la probabilité qu il ne possède ni le caractère A ni le caractère B.

EXERCICES COMPLÉMENTAIRES

Exercice 9.

Marc possède deux pantalons : un noir et un bleu, trois chemises : une bleue, une jaune et une noire et deux vestes : une bleue et une marron.

Le matin, il choisit au hasard un pantalon, une chemise et une veste.

1. A l aide d un arbre, déterminer le nombre de tenues possibles.

2. On note : P l événement : "il porte un pantalon bleu"

C l événement : "il porte une chemise bleue"

V l événement : "il porte une veste bleue"

A : "il est habillé tout en bleu"

B : "il ne porte pas de bleu"

a. Déterminer la probabilité des événements P, C et V.

b. Définir par une phrase les événements P C et P C . c. Déterminer la probabilité des événements de la question b.

d. Exprimer en fonction de P, C et V les événements A et B et déterminer leur probabilité : e. Que peut-on dire des événements A et B ?

f. Définir par une phrase les événements A et B.

Exercice 10.

Le code secret d une carte bleue est composé de 4 chiffres choisis au hasard allant de 2 à 9.

1. Combien y a-t-il de codes possibles (on pourra commencer un arbre).

2. Quel est la probabilité d obtenir le code 2356 ? 3. On considère les événements suivants :

A : "le code commence par 9"

B : "le code contient exactement deux chiffres 9"

C : "tous les chiffres du code sont identiques"

D : "tous les chiffres du code sont distincts".

a. Donner deux codes appartenant à l événement A B.

b. Donner deux codes appartenant à l événement A B.

c. Donner deux codes appartenant à l événement A B.

d. Déterminer la probabilité des événements A, C et D.

Exercice 11.

Dans une classe, il y a 32 élèves. Marc affirme : « sans tenir compte des années bissextiles, il y a peu de chances que deux élèves de la classe aient le même jour anniversaire (mais pas forcément le même âge) ».

1. Qu en pensez-vous ?

2. A l aide d un arbre dont on pourra construire une partie, déterminer le nombre de listes possibles de 32 nombres compris entre 1 et 365.

3. A l aide d un autre arbre, déterminer le nombre de listes possibles de 32 nombres 2 à 2 distincts compris entre 1 et 365 (écrire le calcul sans l effectuer).

4. En déduire la probabilité que tous les élèves aient des dates d anniversaire distinctes (écrire le calcul sans l effectuer).

5. Conclure quant à l affirmation de Marc (effectuer en une seule fois le calcul à la calculatrice pour

éviter les erreurs d arrondis).