G147. Qui va à la ruine ?
Notonseil’espérance mathématique du score d’une partie dont le premier lancer de dé vaut 16i66.
A l’aide d’un graphe de transition pour une chaîne à 6 états (valeurs du dé), nous montrons queei=i+16
6
X
j=i
ej+
i−1
X
j=1
j
,permettant le calcul de proche en prochee6= 515, e5= 25152 , e4= 125653 , e3=641154 , e2=3346655 ete1= 17892156 . D’où l’espérance mathématique du scoree= 16
6
X
j=1
ej= 9797766×56 ≈10,45.
Pour la deuxième question, résumons les différents cas dans un tableau.
La probabilité de perdre vautp= 1362 +2663 +2364 +1465 +676 +637 +618 =84180768 ≈ 50,12% : le jeu est clairement favorable à la banque.
1
Score \ Nb lancers 2 3 4 5 6 7 8
3 21
4 31 121
5 32
41
131
221 1121
6 42
51
132 141 231
1131
1221 11121
7
43 52 61
142 151 232 241 331
1132 1141 1231 2221
11131
11221 111121
8 53
62
143 152 161 242 251 332 341
1142 1151 1232 1241 1331 2231
11132 11141 11231 12221
111131
111221 1111121
9 54
63
153 162 243 252 261 342 351 441
1143 1152 1161 1242 1251 1332 1341 2232 2241 2331
11142 11151 11232 11241 11331 12231 22221
111132 111141 111231 112221
1111131
1111221 11111121
Nb cas 13 26 23 14 7 3 1
2