G147 Qui va à la ruine ?
Solution proposée par Frédéric Chevallier
On voit que le support de la variable aléatoire D qui est égale à la somme des chiffres obtenu est l’ensemble des nombres entiers compris entre 3 et .
Son espérance mathématique est égale à 10,45.
Le jeu n’est pas parfaitement équitable, et n’est paradoxalement pas à l’avantage du joueur.
En effet, la probabilité que la banque gagne 1 euro est égale à 50,119 %. Donc le joueur prend le risque de se ruiner si le jeu dure assez longtemps et s’il reste convaincu qu’il peut toujours « se refaire » (un ami, grand amateur de jeu de dé et fin probabiliste, qui avait été simultanément «de la rouge et de la jaune » dans son jeune temps, était prêt intuitivement à prendre le pari avec moi, avant de faire le calcul de ses chances).
Pour obtenir ces résultats, on détermine la loi de , où D(i) est le résultat partiel après le lancer i qui stoppe le jeu, par l’intermédiaire des fonctions génératrices que l’on construit par récurrence.
Tout d’abord, on doit lancer le dé au moins deux fois, et D(2) – résultats partiels à l’issue du second lancer - prend toutes les valeurs comprises entre 3 et 11.
La loi du premier lancer est donnée par le polynôme ci dessous, puisque on ne commence à s’arrêter qu’après au moins deux lancers.
La loi de D(2), résultat du l’arrêt du jeu après le second lancer est donnée par :
La loi de D(3) est donnée par :
La loi de D(4) est donnée par :
Und so weiter ...
En PJ figurent les calculs effectués avec le logiciel Mathematica. On retrouve ces résultats en procédant à des simulations type Monte Carlo sous SAS.
