Qui va à la ruine?
Problème G147.de Diophante, proposé par Christian Romon
Le jeu de la grimpette consiste à lancer un dé plusieurs fois de suite, du moins tant que le chiffre obtenu ne décroît pas et l’on s'arrête à la première valeur
strictement plus petite que la précédente. Le score d'une partie est l'addition de toutes les valeurs obtenues y compris la dernière plus faible. Quelle est l’espérance
mathématique du score ?
Je joue à la grimpette contre la banque et il est convenu que j’effectue les lancers du dé. Au début de chaque partie, je mise 1€. Si mon score à l’issue de
chaque partie est strictement inférieur à 10, je perds ma mise. A contrario, je récupère ma mise et la banque me verse 1€.. Qui va à la ruine ?
Solution
Modélisons ce jeu en notant P l’ensemble des parties possibles, chacune étant considérée comme une épreuve élémentaire, décrite comme une suite e de chiffres de 1 à 6, de longueur a, croissante pour ses a -1 premiers termes, le dernier terme ayant une valeur strictement inférieure à celle du terme précédent. La probabilité
élémentaire p(e) valant 6-a. Le score est une variable aléatoire s telle que s(e) vaut la somme des valeurs des termes de e.
Pour i de 1 à 6, notons Pi l’ensemble des épreuves dont le premier terme a pour valeur i. Ces ensembles disjoints forment une partition de P et ont pour probabilité 6-
1.
Calculons pour chaque Pi son apport Ei à l’espérance du score.
L’ensemble P6 = {61, 62, 63, 64, 65, 661, 662, 663, 664, 665, 6661, 6662, … } pour les scores ; 7, 8, 9,10, 11 (probabilité 6-2), 13, 14, 15, 16, 17 (probabilité 6-3), …
D’où E6 = 45*6-2 + 75*6-3 + 105*6-4 + 135*6-5 + …
= 30 u2 (1 + 2u + 3u2 + 4u3 + ) + 15 (u2 + u3 + u4 + …) où u = 1/6 = 30 u2 / (1 – u)2 + 15 u2 / (1 - u)
= 30 / 25 + 15 / 30 = 1,2 + 0,5 = 1,7
De manière analogue, nous pourrions calculer E5, E4, … , E1 mais cela nous conduit à des sommations double, triple, … , sextuple. Nous ne le faisons pas ici.
Une autre manière de calculer est d’écrire : P6 = 6P6 ∆ 6*, où ∆ est le signe d’union disjonctive 6P6, la concaténation de 6 et P6, et 6* = {61, 62, 63, 64, 65}.
Prenons l’espérance mathématique, il vient : E6 = E(6P6) + E(6*)
E(6P6) = 6-1∑(6+s(e))p(e) = 6∑p(e)/6 + E6/6, pour e élément de P6 (∑p(e) = 1/6) E(6*) = (7 + 8 + 9 + 10 + 11)*6-2 = 45 / 36 =1,25
d’où E6 = 1/6 + E6/6 + 1,25 ; 5 E6 = 1 + 7,5 = 8,5 E6 = 1,7
De même, on a : P5 = 5P5 ∆ 5P6 ∆ 5* avec 5* = {51, 52, 53, 54} et il vient, en prenant l’espérance : E5 = E(5P5) + E(5P6) + E(5*)
E(5P5) = 6-1∑(5+s(e))p(e) = 5∑p(e)/6 + E5/6, pour e élément de P5 (∑p(e) = 1/6) E(5P6) = 6-1∑(5+s(e))p(e) = 5∑p(e)/6 + E6/6, pour e élément de P6 (∑p(e) = 1/6) E(5*) = (6 + 7 + 8 + 9)*6-2 = 30 / 36 = 5 / 6
d’où E5 = E5/6 + 5 / 36 + E6/6 + 5 / 36 + 5 / 6
5 E5 = 5 / 6 + 1,7 + 5 / 6 + 5 = 251 / 30 E5 = 251 / 150
De même, on a : P4 = 4P4 ∆ 4P5 ∆ 4P6 ∆ 4* avec 4* = {41, 42, 43} et il vient, en prenant l’espérance : E4 = E(4P4) + E(4P5) + E(4P6) + E(4*)
E(4P4) = 6-1∑(s(e)+4)p(e) = E4/6 + 4∑p(e)/6, pour e élément de P4 (∑p(e) = 1/6) E(4P5) = 6-1∑(s(e)+4)p(e) = E5/6 + 4∑p(e)/6, pour e élément de P5 (∑p(e) = 1/6) E(4P6) = 6-1∑(s(e)+4)p(e) = E6/6 + 4∑p(e)/6, pour e élément de P6 (∑p(e) = 1/6) E(4*) = (5 + 6 + 7)*6-2 = 18 / 36 = 0,5
d’où E4 = 4 / 36 + E4/6 + 4 / 36 + E5/6 + 4 / 36 + E6/6 + 0,5
5 E4 = 4 / 6 + 251 / 150 + 4 / 6 + 1,7 + 4 / 6 + 3 = 1256 / 150
E4 = 628 / 375 En poursuivant cette méthode, on trouve :
E3 = 2137 / 1250 E2 = 16733 / 9375 E1 = 178951 / 93750
D’où l’espérance mathématique du score :
E = E1 + E2 + E3 + E4 + E5 + E6 = 10,450944 (décimal exact) Ce nombre E vaut 3,5 L, où L est l’espérance de la longueur a de e.
En effet, imaginons une suite s de N lancers (de dés) indépendants, pour N très grand. Cette suite nous fournit, de manière naturelle, une suite S de K parties de grimpette, où K vaut approximativement N / L, pour un total T de valeurs cumulées valant approximativement 3,5 N. Ainsi la moyenne du score vaut approximativement T / K, selon la loi des grands nombres. Cette approximation devant valoir pour tout s, nécessairement : E = 3,5 L.
Voir, plus loin, deux manières de calculer L.
Le tableau ci-dessous recense toutes les manières d’obtenir moins de dix points, en deux coups, trois coups, … , huit coups et la statistique correspondante..
2 3 4 5 6 7 8
21 121 1121 11121 111121 1111121 11111121 31 131 1131 11131 111131 1111131
32 132 1132 11132 111132 1111221 41 141 1141 11141 111141
42 142 1142 11142 111221 43 143 1143 11151 111231 51 151 1151 11221 112221 52 152 1152 11231
53 153 1161 11232 54 161 1221 11241 61 162 1231 11331 62 221 1232 12231 63 231 1241 22221
232 1242 241 1251 242 1331 243 1332 251 1341 252 2231 261 2232 331 2241 332 2331 341
342 351 441
13 26 22 13 7 3 1
Ainsi la probabilité d’obtenir moins de dix points vaut :
13*6-2 + 26*6-3 + 22*6-4 + 13*6-5 + 7*6-6 + 3*6-7 + 6-8 = 0,500289947 … Cette probabilité étant légèrement supérieure à un demi, je vais me ruiner, lentement mais sûrement !
Calcul de l’espérance L de la longueur d’une partie de grimpette.
Une première méthode consiste à dénombrer les parties ayant pour longueur a de 2 à l’infini.
Le tableau ci-dessous illustre ce calcul.
a 2 3 4 5 6 Total 6^-a p(a) a*p(a)
2 1 1 1 1 1 15 0,02778 0,416666666667 0,833333333333 3 2 3 4 5 6 70 0,00463 0,324074074074 0,972222222222 4 3 6 10 15 21 210 0,00077 0,162037037037 0,648148148148 5 4 10 20 35 56 504 0,00013 0,064814814815 0,324074074074 6 5 15 35 70 126 1050 2,1E-05 0,022505144033 0,135030864198 7 6 21 56 126 252 1980 3,6E-06 0,007073045267 0,049511316872 8 7 28 84 210 462 3465 6E-07 0,002062971536 0,016503772291 9 8 36 120 330 792 5720 9,9E-08 0,000567590052 0,005108310471 10 9 45 165 495 1287 9009 1,7E-08 0,000148992389 0,001489923887 11 10 55 220 715 2002 13650 2,8E-09 0,000037624341 0,000413867746 12 11 66 286 1001 3003 20020 4,6E-10 0,000009197061 0,000110364732 13 12 78 364 1365 4368 28560 7,7E-11 0,000002186714 0,000028427280 14 13 91 455 1820 6188 39780 1,3E-11 0,000000507630 0,000007106820 15 14 105 560 2380 8568 54264 2,1E-12 0,000000115410 0,000001731148 16 15 120 680 3060 11628 72675 3,5E-13 0,000000025761 0,000000412178 17 16 136 816 3876 15504 95760 5,9E-14 0,000000005657 0,000000096175 18 17 153 969 4845 20349 124355 9,8E-15 0,000000001224 0,000000022040 19 18 171 1140 5985 26334 159390 1,6E-15 0,000000000262 0,000000004970 20 19 190 1330 7315 33649 201894 2,7E-16 0,000000000055 0,000000001104 21 20 210 1540 8855 42504 253000 4,6E-17 0,000000000012 0,000000000242 22 21 231 1771 10626 53130 313950 7,6E-18 0,000000000002 0,000000000052 23 22 253 2024 12650 65780 386100 1,3E-18 0,000000000000 0,000000000011 24 23 276 2300 14950 80730 470925 2,1E-19 0,000000000000 0,000000000002 25 24 300 2600 17550 98280 570024 3,5E-20 0,000000000000 0,000000000001 26 25 325 2925 20475 118755 685125 5,9E-21 0,000000000000 0,000000000000
… … … … … … … … … …
1,000000000000 2,985984000000
En première colonne, apparaissent les valeurs successives de la longueur a des parties dénombrées, dont le total est inscrit en septième colonne.
Le nombre k (de 2 à 6) représente la valeur de l’avant-dernier terme des parties envisagées, dans la colonne correspondante. Ainsi le dernier terme peut prendre les k- 1 valeurs, inférieures à k.
En ligne a, colonne k, est inscrit le nombre C(a+k-3,k-1) de suites croissantes de longueur a-1, dont la valeur du dernier terme est k.
En ligne a, colonne Total, est inscrit : col2 + 2*col3 + 3*col4 + 4*col5 + 5*col6.
En ligne a, le produit Total*6-a indique la probabilité de a. La somme de ces valeurs vaut 1 et est inscrite en dernière ligne.
En ligne a, dernière colonne, est inscrit le produit a*p(a). La somme de ces valeurs vaut L et est inscrite en dernière ligne.
Un calcul purement formel eut été fastidieux car la variable Total est un polynôme du cinquième degré en a.
Très exactement, Total (a) vaut :
5 a(a-1)(a-2)(a-3)(a-4) / 120 + 19 a(a-1)(a-2)(a-3) / 24 + 26 a(a-1)(a-2) / 6 + 14 a(a-1) / 2 + a - 1
J’ai préféré l’usage du tableur, pour obtenir le résultat : L = 2,985984.
Confirmons autrement que ce nombre est bien un décimal.
Revenons à la formule P6 = 6P6 ∆ 6* et notons M6 l’apport de P6 à l’espérance de la longueur d’une partie.
Il vient M6 = 6-1∑(1+a(e))p(e) + 2*5 / 36 = 1 / 36 + M6 / 6 + 5 / 18 d’où 5 M6 = 1 / 6 + 5 / 3 = 11 / 6 et M6 = 11 / 30
De manière analogue au calcul de l’espérance du score, on trouve : M5 = 61 / 150
M4 = 341 / 750 M3 = 1921 / 3750 M2 = 10901 / 18750 M1 = 62281 / 93750
puis M1 + M2 + M2 + M4 + M5 + M6 = 2,985984 Ainsi, L = 2,985984.
Ce nombre vaut exactement (6/5)6.
Existe-t-il une raison très simple validant ce résultat ? Je l’ignore !
