Chapitre I Théorie de la ruine

(1)

Chapitre I Théorie de la ruine

Olivier Wintenberger

ISUP 2, Université Paris VI (slides Olivier Lopez)

Année universitaire 2013-2014

(2)

1 Risque collectif

2 Modélisation des coûts de sinistres

3 Probabilité de ruine

4 Calculs de probabilités de ruine

(3)

Outline

Définitions et hypothèses simplificatrices Modélisation du nombre de sinistres

(4)

Définitions et hypothèses simplificatrices

Risque collectif pour l’assureur

On noteX_i lei−ème sinistre pour l’assureur Entre une date 0 et une datet,il y aN(t)sinistres.

Coût global pour l’assureur

On s’intéresse àS(t) =X₁+...+X_N(t).

Dans le cast =1,on noteraS(1) =SetN(t) =N.

(5)

Risque collectif pour l’assureur

On noteX_i lei−ème sinistre pour l’assureur Entre une date 0 et une datet,il y aN(t)sinistres.

Coût global pour l’assureur

On s’intéresse àS(t) =X₁+...+X_N(t).

Dans le cast =1,on noteraS(1) =SetN(t) =N.

(6)

Hypothèses simplificatrices

Dans un modèle simple (considéré dans ce chapitre), on suppose lesX_i i.i.d.

On suppose que le processus(N(t))_t∈_R⁺ est indépendant desX_i.

Question :calculerE[S(t)]en fonction deE[X₁]etE[N(t)].

Que pensez-vous de ces hypothèses ?

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Hypothèses simplificatrices

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Hypothèses simplificatrices

(9)

Modélisation du nombre de sinistres

Modèle 1 : Processus de Poisson

Rappel : processus de Poisson

On appelle processus de Poisson homogène d’intensitéλ (espace de tempsR⁺), un processusN satisfaisant les propriétés suivantes :

N est un processus à accroissements indépendants N(t+h)−N(t)∼ P(λh)pour toutt.

N est un processus à valeurs entières.

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Modèle 1 : Processus de Poisson

Rappel : processus de Poisson

On appelle processus de Poisson homogène d’intensitéλ (espace de tempsR⁺), un processusN satisfaisant les propriétés suivantes :

N est un processus à accroissements indépendants N(t+h)−N(t)∼ P(λh)pour toutt.

N est un processus à valeurs entières.

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Modèle 1 (suite) : Processus de Poisson composé

Processus de Poisson composé

SiN(·)est un processus de Poisson, le processusS(·)est un processus de Poisson composé d’intensitéλ, et de loi de saut PX,oùPX désigne la loi desX_i.

Remarque : par définition, le processus de Poisson composé nécessite que lesX_i soient i.i.d.

La définition du processus de Poisson s’étend à des intensités non homogènes (non abordées dans ce cours).

(12)

Modèle 1 (suite) : Processus de Poisson composé

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Modèle 1 (suite) : Processus de Poisson composé

(14)

Inconvénients du processus de Poisson

Homogénéité (l’hypothèse peut être relâchée).

Modèle très paramétrique (rend l’adéquation parfois difficile).

La variance de la loi de Poisson est égale à son espérance.

(15)

Modèle 2 : loi binomiale négative

Loi binomiale négative

Nà valeurs dansNsuit une loi binomiale négative de paramètresr etpsi

P(N =k) = Γ(k+r)

Γ(r)k! p^r(1−p)^k.

Exercice : on considère le couple de variables aléatoires (N, λ)oùN|λ=l ∼ P(l)etλ∼Γ(r,s).AlorsN suit une loi binomiale négative.

En déduire l’espérance et la variance de la loi binomiale négative en fonction der etp.

(16)

Modèle 2 : loi binomiale négative

P(N =k) = Γ(k+r)

Γ(r)k! p^r(1−p)^k.

(17)

Modèle 2 : loi binomiale négative

P(N =k) = Γ(k+r)

Γ(r)k! p^r(1−p)^k.

(18)

Loi de S

Exercice : calcul de la fonction caractéristique deSen fonction deλet deF dans le cas d’un processus de Poisson composé.

Idem pourN suivant une loi binomiale négative.

Conclusion ?

(19)

Loi de S

Conclusion ?

(20)

Loi de S

Conclusion ?

(21)

Un exemple

Nombre de sinistres :

Periode Nombre

1 4

2 8

3 6

4 3

5 2

6 9

7 13

8 10

9 7

10 10

Ajuster une loi de Poisson puis une loi binomiale négative.

(22)

Propriétés du processus de Poisson

Processus de renouvellement

Le processus de Poisson est un processus de renouvellement : il existe des temps inter-arrivéesY_i iid tels que

N(t) =sup{n≥1;Y₁+· · ·Y_n≤t}, t≥0.

Exercice :Montrer queY₁suit une loi exponentielleE(λ).

(23)

Théorie élémentaire du renouvellement

Théorème de renouvellement

On suppose que les temps inter-arrivéesY_i iid vérifient E[Y₁] =λ⁻¹alors

tlim→∞

E[N(t)]

t =λ.

preuveOn montre d’abord queN(t)/t→λ. On noteT_n les instants d’arrivée alorsT_n/n→λ⁻¹p.s. On en déduit que T_N(t)/N(t)→λ⁻¹.

(24)

Outline

2 Modélisation des coûts de sinistres Loi Gamma

Mélange exponentiel Loi de Pareto

Approximation normale Cas discret

(25)

Loi Gamma

Loi Gamma

La loiΓ(n, θ)a deux paramètres.

C’est une loi à valeurs positives.

Bien adaptée quand la fréquence de dommages "très élevés" est faible (exemple type : assurance dommage sur un véhicule, ne portant que sur la voiture elle-même, et pas sur les dommages subis par le conducteur ou par un tiers).

(26)

Mélange exponentiel

Mélange exponentiel

Définition du mélange de 2 exponentielles

SoitY etZ deux variables exponentielles indépendantes de paramètresλetµavecλ6=µ.Soitδ∼ B(p),indépendante de Y etZ.La loi deX =δY + (1−δ)Z est appelée mélange de deux exponentielles (paramètresλ, µetp).

Généralisation à 3, 4 exponentielles...

Plus on augmente le nombre d’exponentielles, plus on augmente la flexibilité du modèle.

Il existe des techniques ditesnon superviséesde choix du nombre d’exponentielles dans le mélange.

(27)

Mélange exponentiel

(28)

Mélange exponentiel

(29)

Mélange exponentiel

(30)

Loi de Pareto

Loi de Pareto

Définition de la loi de Pareto

On appelle loi de Pareto de paramètres(α, λ)la loi de la variableX de fonction de survie

P(X >x) = λ

x α

,

pourx ≥λ,etP(X >x) =1 sinon.

Lien avec la loi exponentielle.

Prise en compte de "queues de distributions lourdes".

Exercice : on suppose que la loi des coûts de sinistre est une Pareto de paramètre(α,1).L’assureur change le coût de sa franchise (il ne paie que les sinistres supérieurs àm euros). Quelle est la loi du coût de sinistre ainsi franchisé ?

(31)

Loi de Pareto

Loi de Pareto

P(X >x) = λ

x α

,

(32)

Loi de Pareto

Loi de Pareto

P(X >x) = λ

x α

,

(33)

Loi de Pareto

Loi de Pareto

P(X >x) = λ

x α

,

(34)

Approximation normale

Approximation normale de la loi de S

Théorème

Soitµ(t) =E[S(t)]etσ²(t) =Var(S(t)).Alors P

S(t)−µ(t) σ(t) <x

→_t_→∞Φ(x),

oùΦdésigne la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite.

Question :Calculerσ²(t). Quelle hypothèse doit on faire surN(t)?

(35)

Approximation normale

Approximation normale de la loi de S

Théorème

Soitµ(t) =E[S(t)]etσ²(t) =Var(S(t)).Alors P

S(t)−µ(t) σ(t) <x

→_t_→∞Φ(x),

oùΦdésigne la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite.

Question :Calculerσ²(t). Quelle hypothèse doit on faire surN(t)?

(36)

Cas discret

Cas discret : calcul récursif de Panjer

On suppose queX₁est une variable positive de loi discrète, et on notep(x) =P(X =x).

But: fournir une méthode de calcul récursive de f(x) =P(S=x).

Théorème de Panjer

Soitq_n=P(N =n).On suppose qu’il existe deux réelsaetb tels que, pourn≥1,q_n = a+^b_n

q_n−1.Alors

f(0) = P(N =0)1_p(0)=0+E(p(0)^N)1_p(0)>0,

f(x) = 1 1−ap(0)

x

X

h=1

a+bh

x

p(h)f(x−h).

(37)

Cas discret

Cas discret : calcul récursif de Panjer

On suppose queX₁est une variable positive de loi discrète, et on notep(x) =P(X =x).

But: fournir une méthode de calcul récursive de f(x) =P(S=x).

Théorème de Panjer

Soitq_n=P(N =n).On suppose qu’il existe deux réelsaetb tels que, pourn≥1,q_n = a+^b_n

q_n−1.Alors

f(0) = P(N =0)1_p(0)=0+E(p(0)^N)1_p(0)>0, f(x) = 1

1−ap(0)

x

X

h=1

a+bh

x

p(h)f(x−h).

(38)

Cas discret

Distributions de N satisfaisant les hypothèses de Panjer

La loi de Poisson : a=0,etb=λ.

Loi binomiale(k,p):p=a/(a−1),etk =−(b+a)/a.

Loi binomiale négative(r,p):p=1−aetr =1+b/a.

(39)

Cas discret

Distributions de N satisfaisant les hypothèses de Panjer

(40)

Cas discret

Distributions de N satisfaisant les hypothèses de Panjer

(41)

Outline

Modèle de Cramer-Lundberg

Petits sinistres et coefficient d’ajustement Réassurance et probabilité de ruine

(42)

Modèle de Cramer-Lundberg

Définition

Modèle de Cramer-Lundberg On considère le processus

U(t) =u+ct−S(t).

U(t) =capital de l’assureur à la datet, u =capital initial,

c =primes reçues par unité de temps,

S(t) =somme déboursée pour les sinistres, modélisé par unprocessus de Poisson composé. LesX_i sont supposés positifs.

(43)

Définition

Modèle de Cramer-Lundberg On considère le processus

U(t) =u+ct−S(t).

U(t) =capital de l’assureur à la datet, u =capital initial,

c =primes reçues par unité de temps,

S(t) =somme déboursée pour les sinistres, modélisé par unprocessus de Poisson composé. LesX_i sont supposés positifs.

(44)

La ruine

On définitT =inf(t|t ≥0,U(t)<0),avec la convention inf{∅}=∞.

Remarque : T est un temps d’arrêt par rapport à la filtration naturelle du processusU.

Probabilité de ruine

On définit la probabilité de ruine comme

ψ(u) =P(T <∞|U(0) =u).

Terminologie : siµ1=E[X₁],on appelle coefficient de chargement (safety loading) la constante

θ= c

λµ1

−1.

(45)

La ruine

On définit la probabilité de ruine comme

ψ(u) =P(T <∞|U(0) =u).

θ= c λµ1

−1.

(46)

La ruine

On définit la probabilité de ruine comme ψ(u) =P(T <∞|U(0) =u).

θ= c λµ1

−1.

(47)

La ruine

On définit la probabilité de ruine comme ψ(u) =P(T <∞|U(0) =u).

θ= c

λµ1

−1.

(48)

La ruine

Proposition

Si le coefficient de chargementθ≤0 alorsψ(u) =1 pour tout u≥0.

Remarque : On est certain de tomber en ruine quelque soit le capital initial.

On appellecondition de profit netl’hypothèseθ >0.

(49)

La ruine

Proposition

(50)

La ruine

Proposition

(51)

Petits sinistres et coefficient d’ajustement

Coefficient d’ajustement, borne de Lundberg

On suppose que les sinistres sont petits,X est à queue légère et il exister >0 tel queE[exp(rX)]<∞.

On cherche une borne du typeψ(u)≤exp(−Ru).

Borne de Lundberg

SoitRla solution positive de l’équation 1+ (1+θ)µ₁r =m_X(r), oùm_X(r) =E[exp(rX)],alors

ψ(u)≤exp(−Ru).

Définition

LeRdu théorème précédent est appelé coefficient d’ajustement.

(52)

Coefficient d’ajustement, borne de Lundberg

ψ(u)≤exp(−Ru).

Définition

(53)

Coefficient d’ajustement, borne de Lundberg

ψ(u)≤exp(−Ru).

Définition

(54)

Coefficient d’ajustement, borne de Lundberg

ψ(u)≤exp(−Ru).

Définition

(55)

Quelques propriétés du coefficient d’ajustement

On a les relations suivantes :

exp(Rc) = E[exp(RS)], m_c−S(−R) = 1,

c = 1

Rlogm_S(R).

Exercice : que vautRdans le cas oùX ∼ E(β)? Réponse :

R= θβ 1+θ.

(56)

Quelques propriétés du coefficient d’ajustement

c = 1

Rlogm_S(R).

R= θβ 1+θ.

(57)

Quelques propriétés du coefficient d’ajustement

c = 1

Rlogm_S(R).

R= θβ 1+θ.

(58)

Lien avec le concept d’utilité

SoitZ un risque (i.e. une variable aléatoire). Combien l’assuré est-il prêt à payer pour s’assurer contre ce risque ? Le comportement de l’assuré face au risque est modélisé par une fonctionu,appeléeutilité.

Signification : si l’assuré dispose d’une fortunew, l’importance réelle accordée à cette fortune estu(w).

Utilité

L’assuré, au maximum est prêt à payer une sommeP telle que E[u(w−Z)] =u(w−P).

(59)

Lien avec le concept d’utilité

Utilité

L’assuré, au maximum est prêt à payer une sommeP telle que

E[u(w−Z)] =u(w−P).

(60)

Lien avec le concept d’utilité

Utilité

L’assuré, au maximum est prêt à payer une sommeP telle que

E[u(w−Z)] =u(w−P).

(61)

Lien avec le concept d’utilité

Utilité

L’assuré, au maximum est prêt à payer une sommeP telle que E[u(w−Z)] =u(w−P).

(62)

Utilité exponentielle

L’utilité exponentielle correspond àu(x) =−αexp(−αx).

Dans ce cas particulier, on appelleα=−u⁰⁰(x)/u⁰(x) l’aversion au risque.

On a alors

P = 1

αlog(m_X(α)).

Conclusion

Le coefficient d’ajustement correspond à l’aversion au risque qui entraîneP =c dans le cas d’une utilité exponentielle.

(63)

Utilité exponentielle

On a alors

P = 1

αlog(m_X(α)).

Conclusion

(64)

Utilité exponentielle

On a alors

P = 1

αlog(m_X(α)).

Conclusion

(65)

Utilité exponentielle

On a alors

P = 1

αlog(m_X(α)).

Conclusion

(66)

Réassurance et probabilité de ruine

Réassurance et probabilité de ruine

Idée : Une politique de réassurance change le coefficient d’ajustement. On cherche le contrat le plus avantageux permettant d’assurer unR≥R₀.

Deux contrats de réassurance classiques

Réassurance proportionnelle : pour la perteX_i,le réassureur paieh₁(X_i) =αX_i,avec 0≤α≤1.

Réassurance excess of loss : pour la perteX_i,le réassureur paieh₂(X_i) = (X_i−β)₊.

(67)

Comparaison de deux traités de réassurance

On suppose queX ne prend que les valeurs 1 et 2 avec probabilité 1/2 pour chacune des valeurs.

L’assureur prend une commission de réassurance par unité de temps,

c_h = (1+ξ)λE[h(X)].

On considère deux valeurs deξ:ξ =1/3 etξ =2/5.

Expliciter l’équation que doit satisfaireRdans le cas des deux traités. (se résout avec le solveur)

(68)

Comparaison de deux traités de réassurance

On suppose queX ne prend que les valeurs 1 et 2 avec probabilité 1/2 pour chacune des valeurs.

L’assureur prend une commission de réassurance par unité de temps,

c_h = (1+ξ)λE[h(X)].

On considère deux valeurs deξ:ξ =1/3 etξ =2/5.

Expliciter l’équation que doit satisfaireRdans le cas des deux traités. (se résout avec le solveur)

(69)

Quelques résultats numériques

β 2 1.4 0.9 0.6 0.3 0.15 0

α 0 0.2 0.4 0.6 0.8 0.9 1

ξ =1/3 XL .325 .444 .611 .917 1.83 3.67 ∞

Prop .325 .407 .542 .813 1.63 3.25 ∞

ξ =1/5 XL .325 .425 .542 .676 .426 ∗ ∗

Prop .325 .390 .482 .602 .382 ∗ ∗

(70)

Extension au cadre du renouvellement

Cadre d’étude

il existe des temps inter-arrivéesY_i iid tels que

N(t) =sup{n≥1;Y₁+· · ·Y_n≤t}, t≥0.

On considèreU(t) =u+ct−S(t)avecS(t) =PN(t) i=1 X_i. On étend la terminologie précédente :

Coefficient de chargement : θ=c_E[X1]^E[Y¹^] −1,

Coefficient d’ajustement : la solutionRde l’équation E[exp(r(X₁−cY₁))] =1,r >0.

(71)

Borne de Lundberg, cadre du renouvellement

Exercice :retrouver la définition du coefficient d’ajustement dans le cadre Poissonnien.

Si le coefficient d’ajustementR existe alors ψ(u)≤exp(−Ru), u>0.

Preuve : par récurrence en utilisant le processus squelette S_k =U(T_k) =U(Y₁+· · ·+Y_k).

(72)

Outline

4 Calculs de probabilités de ruine Cadre Poissonnien

Approximation de probabilités de ruine Cas de grands sinistres

(73)

Cadre Poissonnien

Formule explicite pour la probabilité de ruine (X exponentiel)

X ∼ E(1/µ),N processus de Poisson homogène d’intensitéλ.

Théorème

Dans le cadre ci-dessus,

ψ(u) =ψ(0)exp(−Ru), où l’on rappelle que

R= θ (1+θ)µ, etψ(0) = _1+θ¹ .

(74)

Une première expression de la probabilité de ruine

Théorème

La probabilité de ruine satisfait

ψ(u) = exp(−Ru)

E[exp(−RU(T))|T <∞].

On en déduit queψ(u)→_θ→01,et queψ(u) =1 siθ≤0.

On peut en déduire une autre preuve de la formule de Lundberg.

SiX₁≤b p.s., alorsψ(u)>exp(−R(u+b)).

Siψ(u₀) =1,alors pour toutu≥0, ψ(u) =1.

Exercice : Montrer que dans le casX ∼ E(β)alors E[exp(−RU(T))|T <∞]ne dépend pas deu.

(75)

Une première expression de la probabilité de ruine

Théorème

ψ(u) = exp(−Ru)

(76)

Une première expression de la probabilité de ruine

Théorème

ψ(u) = exp(−Ru)

(77)

Une première expression de la probabilité de ruine

Théorème

ψ(u) = exp(−Ru)

(78)

Une première expression de la probabilité de ruine

Théorème

ψ(u) = exp(−Ru)

(79)

Une première expression de la probabilité de ruine

Théorème

ψ(u) = exp(−Ru)

(80)

Transformées de Laplace - Préliminaires

On définitL=max(S(t)−ct|t ≥0).

SoitF_Lla fonction de répartition deL.On a ψ(u) =1−F_L(u)

L=L₁+...+L_M oùL₁désigne la valeur prise parS(t)−ct lorsque le processus passe pour la première fois

au-dessus de 0,L₂la différence entreL₁et la valeur de S(t)−ctoù ce record est battu pour la première fois, etc...

M suit unedistribution géométrique(dû au caractère poissonnien).

LesL_i sont i.i.d.

(81)

Transformées de Laplace - Préliminaires

LesL_i sont i.i.d.

(82)

Transformées de Laplace - Préliminaires

LesL_i sont i.i.d.

(83)

Transformées de Laplace - Préliminaires

LesL_i sont i.i.d.

(84)

Transformée de Laplace - Résultat intermédiaire

Théorème (distribution du capital à la ruine) Si le capital initial vautu=0,alors

P(U(T)∈[−y−dy,−y],T <∞) = λ

c[1−F_X(y)],

oùF_X désigne la fonction de répartition deX.

en déduitψ(0) = [1+θ]⁻¹etP(M =0) =θ[1+θ]⁻¹. La densité deL₁s’exprime comme :

f_L₁(y) = 1−F_X(y)

µ₁ .

(85)

Transformée de Laplace - Résultat intermédiaire

P(U(T)∈[−y−dy,−y],T <∞) = λ

c[1−F_X(y)],

f_L₁(y) = 1−F_X(y)

µ₁ .

(86)

Transformée de Laplace - Résultat intermédiaire

P(U(T)∈[−y−dy,−y],T <∞) = λ

c[1−F_X(y)],

f_L₁(y) = 1−F_X(y)

µ₁ .

(87)

Transformée de Laplace

Résultat 1 (convolution) On a

ψ(u) =1−

∞

X

m=0

p(1−p)^mH^m∗(u),

oùH désigne la fdr deL₁,m∗désigne le produit de convolution itérémfois, etp =θ[1+θ]⁻¹.

Résultat 2

Soitm_L(r) =E[exp(Lr)].On a

m_L(r) = θ

1+θ+ 1 1+θ

θ(m_X(r)−1) 1+ (1+θ)µ₁r −m_X(r).

(88)

Transformée de Laplace

Résultat 1 (convolution) On a

ψ(u) =1−

∞

X

m=0

p(1−p)^mH^m∗(u),

oùH désigne la fdr deL₁,m∗désigne le produit de convolution itérémfois, etp =θ[1+θ]⁻¹.

Résultat 2

Soitm_L(r) =E[exp(Lr)].On a m_L(r) = θ

1+θ+ 1 1+θ

θ(m_X(r)−1) 1+ (1+θ)µ₁r −m_X(r).

(89)

Exercice : mélange exponentiel

Question 1 : Calculer la transformée de Laplace d’un mélange de deux exponentiellesX =δY+ (1−δ)Z est appelée mélange de deux exponentielles (paramètresλ, µ etp).

Question 2 : Calculerm_L(r)dans le cas oùX est un mélange de deux exponentielles.

Question 3 : En déduireψ(u).

(90)

Approximation de probabilités de ruine

Approximation de probabilités de ruine

Approximation classique : ψ(u)≈ _1+θ¹ exp(−Ru).

On chercheψ(u) =ψ(u, θ),oùθ∈R^k,et on ajusteθà partir des moments deL.En particulier,

E[L] = Z ∞

0

ψ(u)du = µ2

2θµ₁,

E[L²] =2 Z ∞

0

uψ(u)du = µ3

6θµ₁ + µ²₂ 4θ²µ²₁,

avecµ_k =E[X^k].

Méthode informatique :

Inversion de la transformée de Laplace Méthode par simulation.

(91)

Approximation de probabilités de ruine

E[L] = Z ∞

0

ψ(u)du = µ2

2θµ₁, E[L²] =2

Z ∞

0

uψ(u)du = µ3

6θµ₁ + µ²₂ 4θ²µ²₁, avecµ_k =E[X^k].

(92)

Approximation de probabilités de ruine

E[L] = Z ∞

0

ψ(u)du = µ2

2θµ₁, E[L²] =2

Z ∞

0

uψ(u)du = µ3

(93)

Approximation de probabilités de ruine

E[L] = Z ∞

0

ψ(u)du = µ2

2θµ₁, E[L²] =2

Z ∞

0

uψ(u)du = µ3

(94)

Cas de grands sinistres

Lois sous exponentielles

Lois sous exponentielles

Une v.a.X >0 a support non borné est sous exponentielle ssi pour(X_i)iid on a la relation

P Xⁿ

i=1

X_i >x

=P(max

1≤i≤nX_i >x)(1+o(1)), x → ∞,n≥2.

Les lois de Pareto, log-normales, Weibull avecτ <1 sont sous exponentielles.

Les lois exponentielles, gamma, Weibull avecτ ≥1 ne sont pas sous exponentielles.

(95)

Lois sous exponentielles

P Xⁿ

i=1

X_i >x

=P(max

1≤i≤nX_i >x)(1+o(1)), x → ∞,n≥2.

(96)

Lois sous exponentielles

P Xⁿ

i=1

X_i >x

=P(max

1≤i≤nX_i >x)(1+o(1)), x → ∞,n≥2.

(97)

Ruines avec des grands sinistres

Embrechts et Veraverbecke

Supposons queE[X₁] =µ₁<∞, que la loi intégrée (1−F_X(y))/µ₁est sous exponentielle et queθ >0. Alors

Ψ(u) = R∞

u (1−F_X(y))dy

µ1θ (1+o(1)), u→ ∞.

Les lois log-normales, Weibull avecτ <1 sont sous exponentielles mais pas leurs lois intégrées.

Exercice : Calculez un équivalent de la ruine lorsque u → ∞pour une loi de Pareto(α,1),α >1. Discutez de la borne de Lundberg.

(98)

Ruines avec des grands sinistres

Ψ(u) = R∞

u (1−F_X(y))dy

µ1θ (1+o(1)), u→ ∞.

(99)

Ruines avec des grands sinistres

Ψ(u) = R∞

u (1−F_X(y))dy

µ1θ (1+o(1)), u→ ∞.