[b Travaux dirigés : Coûts c\
I. Définitions
I. A. Coût total
Le coût total C comprend l’ensemble des dépenses nécessaires à la production d’une certaine quantité x de produit. On le décompose généralement en :
• un coût fixe C F indépendant des quantités de production,
• et un coût variable CV qui est une fonction croissante du volume de production.
• Soit C(x) = C F (x) +CV (x) I. B. Coût moyen
Le coût moyen de production, C M , mesure le coût par unité produite : C M(x) = C (x)
x .
I. C. Coût marginal
Le coût marginal de production C m mesure la variation du coût total pour une unité supplémentaire de production : C m(x) = C (x + 1) − C (x).
II. Exercice
Partie A :
Le tableau suivant donne les différents coûts journalier du produit.
Le coût fixe journalier est de 98 euros.
1. À partir de la formule de la cellule C2 donner l’expression du coût variable suivant la quantité x produite.
2. Compléter le tableau en indiquant les formules utilisées en cellule
• D2 • E3 • F2
3. Pour quelle quantité le coût moyen semble-t-il minimal ? Donner le coût marginal associé.
Stéphane MirbeldLycée Gay LussacdLimoges
dmath-adore.frd
1/4Partie B :
Avec Python le code suivant permet de mettre en évidence les différents coûts, le graphique illustre le coût total et la lecture du coût marginal. Saisir le code suivant et exécuter les commandes au fur et à mesure :
1. Compléter la fonction du coût marginal et la fonction du coût moyen :
1 import matplotlib . pyplot as p l t
2
3 # fonctions des d i f f é rents coû t s
4 def c o u t _ f i x e ( x ) :
5 return 98
6
7 def cout_variable ( x ) :
8 return round( 0 . 0 0 0 5 * x**3−0.05*x **2+4*x , 2 )
9
10 def c o u t _ t o t a l ( x ) :
11 return round( c o u t _ f i x e ( x ) +cout_variable ( x ) , 2 )
12
13 def cout_marginal ( x ) :
14 return . . . .
15
16 def cout_moyen ( x ) :
17 return . . . .
couts.py
2. On donne l’algorithme et le programme pour obtenir la table du coût total (T est une liste de nombres) : T ← [ ]
Pour i allant de 0 à n faire
ajouter l’élément cout _t ot al (i) à T fin pour
1 # t a b l e s de valeurs
2 def t a b l e _ c o u t _ t o t a l (n) :
3 T = [ ]
4 f o r i in range( 0 ,n+1) :
5 T . append ( c o u t _ t o t a l ( i ) )
6 return T
couts.py
De la même manière faire la table du coût marginal.
3. On donne le code pour la représentation graphique du coût marginal à partir de la représentation du coût total :
1 x = [ ]
2 y = [ ]
3 f o r i in range( 0 , n+1) :
4 x . append ( i )
5 y . append ( c o u t _ t o t a l ( i ) )
6 p l t . a x i s ( [ 0 , n , 0 ,i n t(max( t a b l e _ c o u t _ t o t a l (n) ) ) + 1 ] ) #dé f i n i l a fenê t r e graphique
7 p l t . s c a t t e r ( x , y )
8 f o r i in range( 0 ,n) :
9 p l t . p l o t ( [ i +1 , i + 1 ] , [ c o u t _ t o t a l ( i ) , c o u t _ t o t a l ( i +1) ] )
10 p l t . p l o t ( [ i , i + 1 ] , [ c o u t _ t o t a l ( i ) , c o u t _ t o t a l ( i ) ] )
11 p l t . show ( )
couts.py
Faire la représentation graphique pour 100 points puis 10 points : graph(100) puis graph(10).
Quelle ligne de code donne la représentation du coût marginal ?
Stéphane MirbeldLycée Gay LussacdLimoges
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2/4Partie C :
On donne la fonction de coût par son expression avec x ∈ [0 ; 120], C (x) = 0, 0005x
3− 0, 05x
2+ 4x + 98.
Sur GeoGebra,
• Construire la courbe de la fonction C
• Construire un curseur n variant de 0 à 120 avec un pas de 1 (nombre de pizzas)
• Construire les points A et B de la courbe d’abscisse n et n + 1.
• Construire la tangente en A à la courbe de la fonction C.
1. Lire graphiquement le coefficient directeur de la tangente en A pour n = 20, n = 50 et n = 100.
Que peut-on dire du coût marginal C m(n) de n produits et du nombre C
0(n) ?
Pour la suite on admettra que C
0(n) est une bonne approximation du coût marginal C m(n).
2. Construire la courbe du coût moyen, donner le coût moyen minimal par lecture graphique.
3. Étude de fonction :
(a) Exprimer C M(x) (x 6= 0) et C
0(x).
(b) Montrer que C M
0(x) = (x − 70)(x
2+ 20x + 1400)
1000x
2et déterminer le tableau de signe de C M
0(x).
(c) Dresser le tableau de variations du coût moyen C M .
(d) On note x
0la quantité pour laquelle le coût moyen est minimal. Montrer que C M (x
0) = C m (x
0).
Stéphane MirbeldLycée Gay LussacdLimoges
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3/4correction du programme
1 import matplotlib . pyplot as p l t
2
3 # fonctions des d i f f é rents coû t s
4 def c o u t _ f i x e ( x ) :
5 return 98
6
7 def cout_variable ( x ) :
8 return round( 0 . 0 0 0 5 * x**3−0.05*x **2+4*x , 2 )
9
10 def c o u t _ t o t a l ( x ) :
11 return round( c o u t _ f i x e ( x ) +cout_variable ( x ) , 2 )
12
13 def cout_marginal ( x ) :
14 return round( c o u t _ t o t a l ( x +1)−c o u t _ t o t a l ( x ) , 2 )
15
16 def cout_moyen ( x ) :
17 return round( c o u t _ t o t a l ( x ) /x , 2 )
18
19 # t a b l e s de valeurs
20 def t a b l e _ c o u t _ t o t a l (n) :
21 T = [ ]
22 f o r i in range( 0 ,n+1) :
23 T . append ( c o u t _ t o t a l ( i ) )
24 return T
25
26 def table_cout_marginal (n) :
27 T = [ ]
28 f o r i in range( 0 ,n) :
29 T . append ( cout_marginal ( i ) )
30 return T
31
32 # repr é sentation graphique
33 def graph (n) :
34 x = [ ]
35 y = [ ]
36 f o r i in range( 0 , n+1) :
37 x . append ( i )
38 y . append ( c o u t _ t o t a l ( i ) )
39 p l t . a x i s ( [ 0 , n , 90 ,i n t(max( t a b l e _ c o u t _ t o t a l (n) ) ) + 1 ] ) #dé f i n i l a fen ê t r e graphique
40 p l t . s c a t t e r ( x , y )
41 f o r i in range( 0 ,n) :
42 p l t . p l o t ( [ i +1 , i + 1 ] , [ c o u t _ t o t a l ( i ) , c o u t _ t o t a l ( i +1) ] ) #cout marginal=longueur segment
43 p l t . p l o t ( [ i , i + 1 ] , [ c o u t _ t o t a l ( i ) , c o u t _ t o t a l ( i ) ] )
44 p l t . show ( )
couts_correction.py
Remarque : la commande exécuter la sélection du script permet de vérifier au fur et à mesure le travail du programme.
Stéphane MirbeldLycée Gay LussacdLimoges
