G147 : Qui va à la ruine?
Problème proposé par Christian Romon
Le jeu de la grimpette consiste à lancer un dé plusieurs fois de suite, du moins tant que le chiffre obtenu ne décroit pas et l’on s'arrête à la première valeur strictement plus petite que la précédente. Le score d'une partie est l'addition de toutes les valeurs obtenues y compris la dernière plus faible. Quelle est l’espérance mathématique du score ?
Je joue à la grimpette contre la banque et il est convenu que j’effectue les lancers du dé. Au début de chaque partie, je mise 1€. Si mon score à l’issue de chaque partie est strictement inférieur à 10, je perds ma mise. A contrario, je récupère ma mise et la banque me verse 1€. Qui va à la ruine ? Remarquons que l’on gagne si l’on atteint ou dépasse 10, ou si l’on atteint 9 avec la possibilité de continuer.
Ainsi, si l’on obtient 6 au premier lancer, on perd si l’on tire 1, 2, ou 3 au second, et l’on gagne si l’on tire 4, 5 ou 6 : on notera en abrégé 6+(1,2,3) perdant, soit une probabilité de 3/62 de perte et 3/62 de gain.
Avec 5 au premier tirage, les cas perdants sont 5+(1,2,3,4) soit une probabilité de 4/62 de perte.
Avec 4 au premier tirage, les cas perdants sont 4+(1,2,3); 4+4+1; soit une probabilité de 3/62+1/63=19/63 de perte.
Avec 3 au premier tirage les cas perdants sont 3+(1,2); 3+(3,4)+(1,2) ; 3+5+1. Soit une probabilité de 2/62+5/63=17/63 de perte.
Avec 2 au premier tirage, les cas perdants sont 2+1; 2+2+1, 2+3+(1,2), 2+4+(1,2,3), 2+5+(1,2), 2+6+1; 2+2+2+1, 2+2+3+(1,2), 2+2+4+1, 2+3+3+1; 2+2+2+2+1; . Soit une probabilité de perte de 1/62+9/63+5/64+1/65 =571/65
Enfin avec 1 au premier tirage, les cas perdants sont: 1+2+1, 1+3+(1,2), 1+4+(1,2,3), 1+5+(1,2,3), 1+6+(1,2); 1+1+2+1, 1+1+3+(1,2), 1+1+4+(1,2,3), 1+1+5+(1,2),
1+1+6+1, 1+2+2+1, 1+2+3+(1,2), 1+2+4+(1,2), 1+2+5+1, 1+3+3+(1,2), 1+3+4+1;
1+1+1+2+1, 1+1+1+3+(1,2), 1+1+1+4+(1,2), 1+1+1+5+1, 1+1+2+2+1,
1+1+2+3+(1,2), 1+1+2+4+1, 1+1+3+3+1, 1+2+2+2+1, 1+2+2+3+1; 1+1+1+1+2+1, 1+1+1+1+3+(1,2), 1+1+1+1+4+1, 1+1+1+2+2+1, 1+1+1+2+3+1, 1+1+2+2+2+1;
1+1+1+1+2+2+1, 1+1+1+1+1+2+1, 1+1+1+1+1+3+1, ,1+1+1+1+1+1+2+1, soit une probabilité de 11/63+18/64+13/65+7/66+3/67+1/68 =111943/68 de perte (soit un peu plus de 518/65).
En résumé la probabilité de perte est supérieure à (3+4)/62+(19+17)/63+(571+518)/65 et comme (571+518)/63 >5, elle est supérieure à (7+6+5)/36=1/2. Les probabilités sont donc légèrement en faveur de la banque.
