Enoncé G149 (Diophante) Gagner contre le hasard
Zig et Puce conviennent de jouer 100 parties du jeu suivant : au cours d’une partie, chacun écrit sur une bande de papier trois nombres entiers positifs pas nécessairement distincts dont la somme est égale à 2016, z1 ≤z2 ≤z3 écrits par Zig et p1 ≤p2 ≤p3 écrits par Puce. Puis ils comparent les six nombres : z1 à p1 puis z2 à p2 et enfin z3 à p3. Le joueur dont deux de ses nombres sont strictement plus élevés que ceux de l’adversaire gagne la partie. A défaut la partie est déclarée nulle.
A chaque partie, Puce fait confiance à un programme informatique qui génère aléatoirement les trois entiers p1, p2 et p3. Zig à l’inverse choisit ses trois entiers z1,z2 etz3 afin d’optimiser ses chances de gain et fait en sorte de ne jamais afficher le même triplet d’entiers.
Démontrer que l’espérance mathématique du nombre de parties gagnées par Zig est au moins égale à 75.
Solution de Jean Moreau de Saint-Martin
Je représente les triplets 0≤z1 ≤z2 ≤z3 et 0≤p1 ≤p2 ≤p3 de somme 2016 sur un plan par deux points Z (resp. P), d’abscisse z2 (resp. p2) et d’ordonnée z1 (resp. p1). Ces 339697 points se situent dans un triangle OAB de sommets O(0,0), A(1008,0) et B(672,672), ou sur sa frontière (je comprends entiers positifs au sens large).
Le gain de la partie découle de la position deP par rapport aux parallèles EF, GH, IJ menées par Z aux axes et à leur bissectrice. Trois des six secteurs ainsi définis autour du pointZ donnent le gain à Zig :GZE (p1 <
z1, p2 < z2), IZF (p1 < z1, p3 < z3), HZJ (p2 < z2, p3 < z3). Il s’agit alors de dénombrer les points P intérieurs à ces secteurs (frontières par Z exclues), chacun ayant la probabilité 1/339697 d’être choisi par Puce.
A chaque point Z s’attache donc un nombre N(Z) de points P perdants pour Puce, et l’espérance de gain de Zig en 100 parties est
PN(Z) 339697 , la somme étant prise sur les 100 pointsZ distincts choisis par Zig.
La configuration des secteurs IZF et HZJ dépend de la position de H par rapport àB et de la position deI par rapport àA:Z peut appartenir à l’un ou l’autre de quatre secteurs, qu’on peut désigner par nord-ouest, nord-est, sud-ouest, sud-est ; la délimitation nord-sud est la parallèleADà la seconde bissectrice (p3 = 1008), la délimitation est-ouest étant la droite BC (p2= 672),
Contribution de GZE :z1z2−z1(z1−1)/2.
Contribution de IZF (côté nord :I sur AB) : b(1007.5−z1/2−z2)2c.
Contribution de IZF (côté sud :I surOA) : bz1(1007,5−3z1/4−z2)c.
Contribution de HZJ (côté est : H sur AB) :
(z2−672)(3361−2z1−3z2)/2 +b(1343−z1−z2)2/4c.
Contribution de HZJ (côté ouest : H surOB) : b(z2−z1−1)2/4c.
Soit par secteur :
N(Z) secteur nord-ouest (336≤z1 ≤z2 ≤672, z3<1008) :b1,5z1z2+ 1,25z22−1006,5z1−2015,5z2+ 1015056,25c N(Z) secteur nord-est (672≤z2≤z3 ≤1008)
:b1,5z1z2−0,25z22−1006,5z1+ 2z2+ 336672,5c N(Z) secteur sud-ouest (0≤z1 ≤z2 ≤672, z3 ≥1008) :b−z12−0,5z1z2+ 0,25z22+ 1008,5z1−0,5z2+ 0,25c N(Z) secteur sud-est (z1 ≤336≤672≤z2, z3 ≥1008) :b−z12−0,5z1z2−1,25z22+ 1008,5z1+ 2017z2−678353,75c
L’examen des termes du second degré montre que, dans les trois premiers secteurs, la fonction N(z2, z1) est représentée (aux arrondis près) par un paraboloïde hyperbolique et prend ses valeurs extrêmes sur la frontière de
ces secteurs ; seul le secteur sud-est donne une représentation en pain de sucre (paraboloïde elliptique) ; mais le sommet de ce paraboloïde (z1 =
−14099/19, z2= 19151/19) est extérieur au secteur, oùN prend aussi ses valeurs extrêmes sur la frontière.
Le tableau suivant donne, pour les 9 segments de frontière OC, CA, AB, BD, DO, KA, KB, KC, KD, leur définition (secteur et équation de la droite support), l’expression deN(Z) et son maximum sur le segment.
OC so, z1 = 0 b(z2−1)2/4c 112560 =N(C) CA se, z1 = 0 b(−5z22+ 8068z2−2713415)/4c 135304 =N(P) AB ne, z3 =z2 b(−13z22+ 20156z2−6799726)/4c 260762 =N(Q) BD no, z1 =z2 b(15z12−12088z1+ 4060225)/4c 226128 =N(B) DO so, z1 =z2 b(−5z12+ 4032z1+ 1)/4c 203213 =N(R) KA ne, se, z3 = 1008 b(−7z22+ 10082z2−2711518)/4c 225624 =N(K) KB no, ne, z2= 672 b(3z1+ 450241)/2c 226128 =N(B) KC so, se, z2 = 672 b(−4z21+ 2690z1+ 450241)/4c 225624 =N(K) KD no, so, z3= 1008 b(−z22+ 2012z2+ 2013)/4c 225624 =N(K) Les points-frontières intermédiaires maximisant N(Z) sont : sur CA, P(z2 = 807) ; sur AB, Q(z1 = 466, z2 = 775 = z3) ; sur DO, R(z1 = z2 = 403).
En aucun point du quadrilatère OAKB, N(Z) ne dépasse N(B) = 226128 < 339697/1,5 ; chacun des points des secteurs no, so, se apporte une espérance < 2/3, sans contribution utile à l’objectif 0,75 fixé par l’énoncé ; des points déjà listés, seul Q apporte une espérance 0,7676. . ., et il s’agit de trouver 99 autres points assez proches pour que leurs contri- butions soient elles-mêmes assez proches de 0,75.
Les inégalités 769≤z2 ≤z3 ≤782 définissent un ensemble de 105 points en forme de triangle dont les sommets sont les triplets (452,782,782) où N = 260613 ; (465,769,782) où N = 258725 ; et (478,769,769) où N = 260636. En prenant les 100 meilleurs points dans ce triangle (ce que je n’ai pas cherché à préciser), Zig doit obtenir PN ≥ 25872500, soit une espérance≥76,46.
