MPSI B Année 2012-2013 Énoncé DM 1 29 juin 2019
Problème
Soit H l'ensemble des nombres complexes dont la partie imaginaire est strictement po- sitive. On dira que H est le demi-plan de Poincaré
1. On note Im(z) la partie imaginaire d'un nombre complexe z .
On dénit une fonction c de H vers R en posant
∀z ∈ H, c(z) = |z|
2+ 1 2 Im(z) Pour tout θ réel, on dénit une fonction A θ dans H par :
∀z ∈ H, A θ (z) = z cos θ − sin θ z sin θ + cos θ
1. a. Pour tout z dans H et θ réel, préciser la partie imaginaire de A θ (z) . En déduire que A θ (z) ∈ H .
Dans toute la suite, les fonctions A θ seront des fonctions de H dans H . b. Montrer que
A
0= Id
H; ∀(θ, θ
0) ∈ R
2: A θ+θ
0= A θ ◦ A
0θ Montrer que A θ est bijective.
2. a. Montrer que pour tout θ réel, c ◦ A θ = c . b. Soit θ, θ
0deux réels et z ∈ H − {i} .
Montrer que A θ (z) = A θ
0(z) si et seulement si θ − θ
0∈ π Z.
3. Soit z
0∈ H − {i} et C z
0le cercle de centre ic(z
0) et de rayon p
c(z
0)
2− 1 . On note O = {A θ (z
0), θ ∈ R } .
a. Montrer que O est une partie du cercle C z
0. b. Montrer que O est égal à ce cercle.
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D'après X2001 MP épreuve 1 partie II
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