D667 ‒ Quatorze de moyenne [*** à la main]
Problème proposé par Pierre Jullien
Soit ABC un triangle de côtés AB = 13, BC = 14 et CA = 15.
Q₁ Déterminer les tangentes des angles de ce triangle.
Q₂ Construire, à la règle et au compas, trois points X, Y et Z tels qu’ avec les côtés du triangle ABC, les segments AX , BY et CZ partagent celui-ci en quatre triangles de même aire.
Solution proposée par Daniel Collignon Q1
On se sert des triangles pythagoriciens (5,12,13) et 3(3,4,5)=(9,12,15) avec 5+9=14 pour former un triangle (13,14,15).
On en déduit aisément les tangentes des angles : 12/5, 12/9 et (5+9)*12/(12²-5*9) = 56/33.
Q2
Chaque triangle aura comme aire (5+9)*(12/2)/4 = 21.
Voir ci-après la construction géométrique décrite Philippe Chevanne à l’adresse : http://mathafou.free.fr/pbg/sol112.html
Partage d'un triangle
On se propose ici de partager un triangle quelconque en triangles de même aire.
Il y a bien sûr une seule façon de partager un triangle en deux triangles de même aire, à permutation des sommets près.
Partager un triangle en 3
Il y a déja 4 façons de partager un triangle en 3.
1) la base est partagée en 3 par les "trimédianes"
2) idem, la trimédiane est partagée en son milieu 3) idem, le côté opposé est partagé en son milieu 4) par le centre de gravité.
Partager un triangle en 4
Il y a 21 façons de partager en 4 le triangle, toujours à permutation des sommets près.
Ne pas oublier que l'on veut des triangles de même aire.
Certains découpages en 4 triangles ne peuvent pas donner des triangles de même aire.
Les découpes 1) à 20) s'obtiennent par des divisions de segments en 2, 3 ou 4. Le point central de 4) et 5) est le milieu de la médiane.
La découpe 21) est plus compliquée et nécessite une justification particulière.
PB/BC = QC/AC = AR/AB = 1/x HQ//AP donc HC/PC = QC/AC = 1/x
HC/BC = (HC/PC).(PC/BC) = (HC/PC).(1 - PB/BC) = (x - 1)/x² HQ/PA = QC/AC = 1/x
HQ/PK = HB/PB = (HB/BC).(BC/PB) = (BC/PB).(1-HC/BC) = x.(1 - (x - 1)/x²) = (x² - x + 1)/x PK/AP = (PK/HQ).(HQ/AP) = 1/(x²-x+1)
Aire(ABP) = Aire(ABC).BP/BC = Aire(ABC)/x
Aire(BKP) = Aire(ABP).PK/AP = Aire(ABC).(1/x).(1/(x² - x + 1))
Aire(AKB) = Aire(ABP) - Aire(BKP) = Aire(ABC).(1/x - (1/x).(1/(x² - x + 1))) = Aire(ABC).(x - 1)/(x² - x + 1)
Et par symétrie :
Aire(AKB) = Aire(BCI) = Aire(CAJ) = Aire(ABC).(x - 1)/(x² - x + 1)
On veut cette aire = Aire(ABC)/4 soit (x² - x + 1) = 4(x - 1) ou encore x² - 5x + 5 = 0 Comme il faut x > 2 car sinon le triangle IJK s'évanouit, la seule solution est :
x = (5 + √5)/2 = 3,6180...
Construction géométrique :
O milieu de BC, OE _|_ BC, OD = OC = BC/2, OE = BC, OF = CE, DP // FB CE = OC √5 = BC √5 /2
OP = OB.OD/OF = (BC/2).(BC/2)/(BC √5 /2) = BC/(2 √5) et BP = BC.(1/2 - 1/(2 √5)) = BC. 2/(5+√5)
