Analyse de Fourier

pr´epa-agreg 2007-2008

Analyse de Fourier

I Questions de cours

1 Calculer la transform´ee de Fourier de l’application t7→e^−t2/2.

2 Rappeler la d´efinition de l’espace de Schwartz S(R). Pourquoi cet espace est-il important?

3 Soit f :R→Cune fonction 2π-p´eriodique continue et de classe C¹ par morceaux.

Montrer que la s´erie de Fourier de f converge normalement versf. 4Calculer explicitement D_n(t) = Pn

−ne^ikt etK_n(t) = _n+1¹ Pn

0D_k(t). A quoi servent ces fonctions?

5 Enoncer les th´´ eor`emes de Fej´er.

6 Soit f :D→C une fonction holomorphe, f(z) =P∞

0 c_nzⁿ. Montrer qu’on a

∞

X

n=0

|c_n|² = sup

0≤r<1

1 2π

Z 2π

0

|f(re^it)|²dt .

7 Soitf ∈L²([0; 2π]). Montrer qu’il existe une suite strictement croissante d’entiers (n_k) telle queS_nkf(x)→f(x) presque partout.

8 Soit f :R→C une fonction continue, int´egrable sur R, telle que R

Rx²|f(x)|ˆ dx <

∞. Montrer quef est de classeC². Quel est le r´esultat analogue pour des fonctions p´eriodiques?

9 Soit f : R → R d´efinie par f(t) = e^−t si t ≥ 0 et f(t) = −e^−t2 si t < 0. La transform´ee de Fourier de f est-elle int´egrable sur R?

10 Soit f ∈ L²(R). Pour λ∈R^∗, on d´efinit f_λ :R→ C par f_λ(t) =f(λt). Montrer que f_λ ∈L²(R) et qu’on a (fd_λ) = _|λ|¹ fˆ_1/λ.

11 L’alg`ebre L<sup>1</sup>(R) poss`ede-t-elle une unit´e pour la convolution?

12 Que peut-on dire d’une fonction continue `a support compact dont la transform´ee est ´egalement `a support compact?

II Exercices

Exercice 1 (indicatrices)

1 Pour λ >0, d´eterminer la transform´ee de Fourier de la fonction 1_[−λ;λ].

1

2 En utilisant1, montrer que si f ∈L¹(R), alors ˆf tend vers 0 `a l’infini.

3 Calculer R+∞

−∞

sint t

2

dt .

4 Montrer que pour toutλ ∈]0;π[, on a

∞

X

n=1

sinnλ

n = π−λ 2 .

Exercice 2 (calculs)

1 D´eterminer les coefficients de Fourier des fonctions 1-p´eriodiques u et v valant respectivement |t| et t² sur [−¹₂;¹₂].

2 Calculer les sommes suivantes:

S₁ =

∞

X

0

1

(2k+ 1)² ; S₂ =

∞

X

1

1 n² ; S3 =

∞

X

0

1

(2k+ 1)⁴ ; S4 =

∞

X

1

1 n⁴ .

Exercice 3 D´evelopper la fonction t7→ |cost| en s´erie de Fourier.

Exercice 4 Soit f :R→R la fonction d´efinie par f(t) = 1 1 + cos²t. 1 Montrer qu’on a c_2n+1(f) = 0 pour tout n∈N, et c_2n = _π¹ Rπ

0

cos 2nt

1+cos²tdt:= _π¹I_n. 2 Calculer I₀ et ´etablir la relation de r´ecurrence I_n+1+I_n−1 =−6I_n.

3 Conclure qu’on a f(t) =

√ 2 2 +√

2 P∞

1 (−1)ⁿ(√

2−1)²ⁿcos 2nt pour tout t∈R. Exercice 5 Montrer que pour touta >0, on a

+∞

X

−∞

1

n²+a² = π

a cothπa .

Exercice 6 On rappelle que si f ∈ L¹(R) alors limε→0

R

R|f(t −ε)−f(t)|dt = 0 (“continuit´e des translations”). En utilisant uniquement ce r´esultat, montrer que si f ∈L¹(R), alors ˆf tend vers 0 `a l’infini.

Exercice 7 Soit f : R → C localement int´egrable et 2π-p´eriodique, et soit t0 ∈ R. On suppose qu’il existe deux nombres l⁺, l⁻ ∈ C tels que Rδ

0

|f(t0+s)−l⁺|

s ds < ∞ et

Rδ 0

|f(t0−s)−l⁻|

s ds <∞ pour un certain δ >0. Montrer que la s´erie de Fourier def au point t₀ converge vers ^l++l₂ ⁻. Donner un exemple d’application.

Exercice 8 (principe de localisation)

1a Soit f : R → C localement int´egrable et 2π-p´eriodique. On suppose que f est nulle sur un intervalle ouvert I ⊂R. Montrer que la s´erie de Fourier de f converge vers 0 en tout point de I.

1b Conclure que la convergence de la s´erie de Fourier d’une fonction f en un point t₀ donn´e ne d´epend que des valeurs de f au voisinage de t₀.

2Sous l’hypoth`ese de1a, montrer que la convergence est uniforme sur tout intervalle compact K ⊂I. On pourra utiliser la continuit´e des translations.

3 Enoncer et d´´ emontrer un r´esultat analogue `a 1a pour les int´egrales de Fourier.

Exercice 9 Soit g ∈ S(R).

1 Montrer qu’il existe une unique fonction f ∈ S(R) telle quef⁽¹²⁾+f⁽⁸⁾+f =g.

2 Qu’en est-il en g´en´eral pour une ´equation diff´erentielle du typePn

0 a_if⁽ⁱ⁾=g?

Exercice 10 (espace de Schwartz dansR^d)

On noteS(R^d) l’ensemble des fonctionsf :R^d→Cde classeC^∞telles que|∂^αf(x)|= o(kxk⁻ⁿ) quand kxk → ∞, pour tout α ∈ N^d et pour tout n ∈ N. Montrer qu’on a S(R^d) ⊂ L¹(R^d) et que si f ∈ S(R^d), alors ˆf ∈ S(R^d). Montrer ensuite que la transformation de Fourier est une bijection deS(R^d) sur S(R^d).

Exercice 11 (id´eaux de L¹(T))

Selon l’abus de langage habituel, on consid`ere les ´el´ementsL¹(T) comme des fonctions 2π-p´eriodiques. On munit L¹(T) du produit de convolution, d´efini par

f ∗g(x) = 1 2π

Z π

−π

f(x−t)g(t)dt .

Pourn ∈Z, on noterae_n la fonctiont 7→e^intet ˆf(n) le n-i`eme coefficient de Fourier d’une fonction f ∈L¹(T).

0a Montrer queL¹(T) est une alg`ebre commutative et qu’on a kf∗gk₁ ≤ kfk₁kgk₁ pourf, g ∈L¹(T).

0b Quel est l’effet de la transformation de Fourier sur le produit de convolution?

0c L’alg`ebre L<sup>1</sup>(T) poss`ede-t-elle une unit´e?

1 Soit E une partie deZ. Montrer que I_E ={f ∈L¹(T); ˆf(n) = 0si n∈E}est un id´eal ferm´e de L¹(T).

2 Soit I un id´eal ferm´e de L¹(T). On poseE ={n∈Z; ∀f ∈I : ˆf(n) = 0}.

a Montrer qu’on a I ⊂IE.

b Montrer que si n ∈ Z\E, alors e_n ∈ I. On pourra commencer par d´eterminer f ∗e_n pourf ∈L¹(T) et n∈Z,.

c En utilisant le th´eor`eme de Fej´er, d´eduire de b qu’on a I_E ⊂I.

3 Enoncer le th´´ eor`eme obtenu.

Exercice 12 Soit R un rectangle dans le plan, et soit (R₁, . . . , R_N) un “pavage” de R en rectangles. On suppose que chaque rectangle R_j a au moins un cˆot´e entier (i.e.

: dont la longueur est un entier). Montrer que R a un cˆot´e entier.

Exercice 13 (partie discr`ete d’une mesure)

Soit µune mesure bor´elienne positive finie sur le cercle T. On d´efinit ses coefficients de Fourier ˆµ(n) par

ˆ µ(n) =

Z

T

ζ⁻ⁿdµ(ζ).

1a Montrer que l’ensembleA={a∈T; µ({a})>0}est d´enombrable.

1b Montrer qu’on a P

a∈Tµ({a})² =µ⊗µ(∆), o`u ∆ ={(ζ, ξ)∈T×T; ζ =ξ}.

2 Pour (ζ, ξ)∈T×T, d´eterminer lim_{n→∞ 2n+1}¹ Pn

−nζ^−kξ^k. 3 Montrer qu’on a

X

a∈T

µ({a})² = lim

n→∞

1 2n+ 1

n

X

k=−n

|µ(k)|ˆ ².

Exercice 14 (ondelette)

Soit Φ∈L²(R). On d´efinit (presque partout) une fonction Γ :R→Rpar Γ(ξ) =

+∞

X

−∞

|bΦ(ξ+ 2nπ)|².

On suppose qu’il existe deux constantes a >0 et b <∞ telles que a≤Γ(ξ)≤b

pour presque toutξ ∈R.

1 Montrer qu’on d´efinit un isomorphisme J :L²(R)→L²(R) en posant J fc(ξ) =

f(ξ)ˆ p2πΓ(ξ)·

2 Pourn∈Z, on pose Φ_n(t) = Φ(t−n). Montrer que la famille (JΦ_n) est orthonor- male dans L²(R).

Exercice 15 (r´egularit´e et d´ecroissance des coefficients de Fourier)

Dans tout l’exercice, f : R → C est une fonction continue 2π-p´eriodique. On note c_n(f) les coefficients de Fourier de f, et S_Nf la N-i`eme somme partielle de Fourier (N ∈N^∗).

A1 Soit k ∈ N^∗. Montrer que si f est de classe C^k, alors |c_n(f)| = o(|n|^−k) quand

|n| → ∞, et kS_Nf −fk∞ =o(N^−k+1).

A2 Soit k ≥1. Montrer que si on a P+∞

−∞|n|^k|c_n(f)|<∞, alors f est de classe C^k. A3 Montrer que f est de classe C^∞ si et seulement si c_n(f) = o(|n|^−k) pour tout k ∈N.

B Dans cette partie, on veut montrer l’´equivalence des propri´et´es suivantes:

(i) il existeδ >0 tel quef se prolonge en une fonction holomorphe dans la bande {|Im(z)|< δ};

(ii) Il existe ε >0 tel que cn(f) =O(e^−ε|n|).

1 On suppose que (i) est v´erifi´ee.

a Montrer que f est de classe C^∞ et qu’il existe une constante C <∞ telle que

∀k ∈N ∀x∈[−π;π] : |f^(k)(x)|

k! ≤C 2

δ k

.

b En d´eduire qu’il existe une constante M telle que

∀n 6= 0 ∀k ∈N : |c_n(f)| ≤ M k

|n|

k

. c Montrer que (ii) est v´erifi´ee.

2 Montrer que (ii) entraˆıne (i).

Exercice 16 (in´egalit´e de Wirtinger)

1 Soit f :R→C de classeC¹ et 2π-p´eriodique. Montrer qu’on a Z π

−π

|f(t)|²dt− 1 2π

Z π

−π

f(t)dt

2

≤ Z π

−π

|f⁰(t)|²dt .

2 Montrer que si f : [a;b]→R est de classe C¹ et v´erifie f(a) = 0 =f(b), alors kfk_L² ≤ b−a

π kf⁰k_L².

Exercice 17 Dans tout l’exercice, T >0 est fix´e.

1 Montrer que si f ∈L²([0;T]), alors Z

[0;T]²

|f(v)−f(u)|²dudv = 2T²

+∞

X

−∞

|c_k(f)|². 2 En d´eduire que si ϕ:R→C est de classe C¹ et T-p´eriodique, alors

Z

[0;T]²

|ϕ⁰(v)−ϕ⁰(u)|²dudv≥ 2π

T 2Z

[0;T]²

|ϕ(v)−ϕ(u)|²dudv .

3 Soit C > 0 et soit F : R → R une fonction C-lipschitzienne. On suppose que l’´equation diff´erentielle x⁰ =F(x) poss`ede une solution T-p´eriodique non constante.

En utilisant2, montrer qu’on aC ≥ ^2π_T .

Exercice 18 (majoration par la d´eriv´ee seconde)

1 Soit g :R→C continue 2T-p´eriodique (T >0), impaire, de classe C² sur [0;T].

a Montrer que pour toutn 6= 0, on a |c_n(g⁰⁰)|= ^π_T2

n²|c_n(g)|². b En d´eduire une majoration de |f(x)| faisant intervenir RT

−T |f⁰⁰(t)|²dt.

2Montrer que sif : [a;b]→Rest une fonction de classeC² telle queg(a) = 0 =g(b), alors kgk∞≤ ^(b−a)3

3√

5 kg⁰⁰k_L².

Exercice 19 Dans tout l’exercice, on note H l’ensemble des fonctions f : R → C continues 2π-p´eriodiques v´erifiant P+∞

−∞n⁴|c_n(f)|² <∞. Pourf ∈H, on pose kfk²_H =|c₀(f)|²+X

n6=0

n⁴|c_n(f)|².

1 Montrer que si f ∈ H, alors f est de classe C¹ et kf⁰k∞ ≤Ckfk_H, o`u C est une constante absolue `a d´eterminer.

2 Montrer que H est un espace de Hilbert.

3Soitg ∈H et soitλ∈R^∗. Montrer qu’il existe une unique fonctionf ∈Hv´erifiant f −g +λ(f⁰+g⁰) = 0, et qu’on akfk_H =kgk_H.

Exercice 20 (matrice de Hilbert)

1Soit ϕ:R→Rla fonction 2π-p´eriodique valantπ−t pourt∈[0; 2π[. Calculer les coefficients de Fourier deϕ.

2 On pose L² =L²([0; 2π]) et H² ={f ∈L²; c_n(f) = 0 sin <0}.

aMontrer que l’applicationf 7→ϕf est lin´eaire continue deH²dansL², et majorer sa norme.

b Soit f(t) = Pd

0a_ke^ikt un polynˆome trigonom´etrique appartenant `a H<sup>2</sup>. Pour j ∈ {0;. . .;d}, exprimer c<sub>−j−1</sub>(ϕf) `a l’aide desa_k.

3 Soit d ∈ N. On munit R^d+1 de la norme euclidienne, et Md+1(R) de la norme op´eratorielle associ´ee. Montrer que la matrice A= (_k+j+1¹ )_0≤j,k≤d v´erifie kAk ≤π.

Exercice 21 (ph´enom`ene de Gibbs)

On note f la fonction 2π-p´eriodique valant t sur [0; 2π[, et S_Nf sa N-i`eme somme partielle de Fourier (N ∈N^∗).

1 D´eterminer limN→∞S_Nf(t) pour t∈[0; 2π[.

2 Soit N ∈N^∗. Montrer que pour tout t∈]0; 2π[, on a S_Nf(t) = π+t−

Z t

0

sin(n+ ¹₂)s sin₂^s ds . 3 D´eterminer limN→∞S_Nf(_N^π₊₁).

4 Conclure qu’il existe une constante c >0 telle que

∀α >0 : lim inf

N→∞ sup

t∈[0;α]

|S_Nf(t)−S_Nf(0)| ≥c .

Exercice 22 (s´eries de sinus)

1Soit (a_n)_n≥1 une suite de nombres positifs. On suppose que la s´erieP

a_n sinntest la s´erie de Fourier d’une fonction f ∈L¹([0; 2π]).

a Pr´eciser le lien entre les a_n et les coefficients de Fourier c_n(f).

b Pour t ∈ [0; 2π], on pose F(t) = Rt

0 f(t)dt. Calculer les coefficients de Fourier de la fonction F.

c Montrer qu’on a P∞ 1

an

n <∞.

2 Montrer que la s´erie P

n≥2 sinnt

Logn converge en tout point t ∈ R, mais n’est pas une s´erie de Fourier.

Exercice 23 (produits de Riesz)

1 Soient a1, . . . aM ∈R, avec −1≤ak ≤1 pour tout k. On d´efinit P :R→R par P(t) =

M

Y

k=1

(1 +a_k cos 3^kt). a Montrer que P(t) est toujours positif et calculer R2π

0 P(t)dt.

b Pour k∈ {1;. . .;M}, calculer c₃^k(P).

2 Soit f : R →R continue 2π-p´eriodique. On suppose qu’on a c_n(f) = 0 si n n’est pas de la forme 3^k, k∈N^∗.

a Soit (an)n∈Z une suite de nombres r´eels, avec |an| ≤1 pour tout n. En utilisant 1, montrer que pour tout N ∈N^∗, on a

X

|n|≤N

a_nc_n(f)

≤ kfk∞.

b Montrer que la s´erie de Fourier de f est absolument convergente.

Exercice 24 (formule sommatoire de Poisson) A Soit f ∈L¹(R).

1 Montrer que pour presque tout t ∈ R, la s´erie P

n∈Zf(t+ 2πn) est absolument convergente, et que la fonction ˜f d´efinie (presque partout) par

f(t) =˜

+∞

X

−∞

f(t+ 2πn) est int´egrable sur [0; 2π].

2Montrer que la fonction ˜f est 2π-p´eriodique, et exprimer ses coefficients de Fourier

`

a l’aide de la transform´ee de Fourier de f.

3 On suppose que la fonction f est de classe C¹, et qu’on a |f(t)| = O _t¹2

et

|f⁰(t)|=O _t¹2

quand |t| tend vers l’infini. Montrer qu’on peut ´ecrire

+∞

X

−∞

f(n) = 2πˆ

+∞

X

−∞

f(2πn). Cette formule s’appelle la formule sommatoire de Poisson.

B Pours >0, on poseθ(s) =

+∞

P

−∞

e^−πsn2. Montrer que la fonctionθ v´erifie l’´equation fonctionnelle θ(s) = ^√1_sθ ¹_s

. Exercice 25 (noyau de Poisson) A Pour r∈ [0; 1[ et θ∈R, on pose

P_r(e^iθ) =

+∞

X

−∞

r^|n|e^inθ.

Justifier la d´efinition et calculer explicitementP_r(e^iθ).

B Soit f :R→Ccontinue 2π-p´eriodique. Pourr ∈[0; 1[, on d´efinitf_r :R→Cpar f_r(t) =

+∞

X

−∞

c_n(f)r^|n|e^int.

1 Justifier la d´efinition et exprimerfr `a l’aide def et de Pr. 2 Montrer que f_r tend vers f uniform´ement quandr tend vers 1⁻. 3 En d´eduire que f est limite uniforme de polynˆomes trigonom´etriques.

C(probl`eme de Dirichlet)

Soit f : T→ C une fonction continue. Montrer qu’il existe une fonction u :D→ C v´erifiant les propri´et´es suivantes : u est continue sur D, harmonique dans D (i.e.

u∈ C²(D) et ∆u= 0), et u|T =f.

Exercice 26 Dans tout l’exercice, f :R→C est une fonction int´egrable.

1SoitP :R→Cun polynˆome trigonom´etrique. D´eterminer limλ→∞

R

Rf(t)P(λt)dt.

2 Montrer que si g :R→C est une fonction continue T-p´eriodique (T >0), alors

λ→∞lim Z

R

f(t)g(λt)dt= 1 T

Z

R

f(t)dt

Z T

0

g(t)dt

. 3 D´eterminer lim_n→∞Rb

a f(t)|sin(nt)|dt, pour tout intervalle [a;b]⊂R. Exercice 27 (non-surjectivit´e de Fourier)

Dans tout l’exercice, on note F :L¹(R)→ C₀(R) la transformation de Fourier.

A Montrer que F est continue, injective et `a image dense.

B Pourε >0, on note vε la fonction continue valant 1 sur [−1 +ε; 1−ε], nulle hors de [−1−ε; 1 +ε], et affine sur les intervalles [−1−ε;−1 +ε] et [1−ε; 1 +ε].

1 V´erifier qu’on a

v_ε= 1

2ε1_[−1;1]∗1_[−ε;ε],

puis d´eterminer u_ε :=Fv_ε. Montrer enfin qu’on a v_ε =Fu_ε. 2 D´eterminer kv_εk_∞, et montrer qu’on a lim

ε→0ku_εk₁ = +∞.

CMontrer que la transformation de Fourier F n’est pas surjective.

III Probl`emes

Probl` eme 1

Si f : R → C est une fonction continue 2π-p´eriodique, le probl`eme de la chaleur associ´e `a f, not´e (P)_f, consiste `a trouver une fonction u: [0; +∞[×R→Cv´erifiant les propri´et´es suivantes :

(1) Pour toutt ≥0, la fonctionx7→u(t, x) est 2π-p´eriodique;

(2) u(t, x) est de classeC² sur ]0; +∞[×R et y v´erifie l’´equation de la chaleur

∂u

∂t = ∂²u

∂x² ; (3) uest continue sur [0; +∞[×R;

(4) u(0, x) = f(x) pour tout x∈R.

On veut montrer ici que pour toute fonction f : R → C continue 2π-p´eriodique, le probl`eme (P)_f admet une unique solution.

1 Pour α >0 et λ∈R, calculer l’int´egraleR+∞

−∞ e^−αx2e^iλxdx.

2 Soit α >0 et soitϕ:R→Rd´efinie par ϕ(x) =

+∞

X

−∞

e^{−α(x−2nπ)2} .

a Justifier la d´efinition, puis montrer queϕ est de classeC¹ et 2π-p´eriodique.

b Calculer les coefficients de Fourier de ϕ.

3 Pour t >0, on d´efinit G_t:R→C par G_t(x) =

+∞

X

−∞

e^−n2te^inx .

a En utilisant2, montrer qu’on a ´egalement G_t(x) =

rπ t

+∞

X

−∞

e^{−(x−2nπ)24t} .

b Montrer que la famille (G_t)_t>0 v´erifie les propri´et´es suivantes : (i) G_t ≥0;

(ii) 1 2π

Z π

−π

Gt(x)dx= 1;

(iii) ∀δ >0 lim

t→0 sup

δ≤|x|≤π

G_t(x) = 0.

4 Soit f : R → C continue 2π-p´eriodique. On note (c_n(f)) la suite des coefficients de Fourier de f, et on d´efinit u: [0; +∞[×R→C par u(0, x) = f(x) et

u(t, x) =

+∞

X

−∞

c_n(f)e^−n2te^inx pourt >0.

a Justifier la d´efinition, et montrer que pourt >0, on a u(t, x) = 1

2π Z π

−π

G_t(x−y)f(y)dy= 1 2π

Z π

−π

G_t(y)f(x−y)dy . b Montrer que u est solution du probl`eme de la chaleur associ´e `a f.

5 Soit v : [0; +∞[×R→R une fonction v´erifiant (1), (2) et (3).

a Pourt ≥0, on pose

E(t) = Z 2π

0

v(t, x)²dx . Montrer que la fonction E est d´ecroissante sur [0; +∞[.

b En d´eduire que si v(0, x) = 0 pour toutx∈[0; 2π], alors v = 0.

6 Conclure.

Probl`eme 2 (s´erie de Fourier d’une fonction lipschitzienne)

Soitf :R→Cune fonction 2π-p´eriodique et lipschitzienne. On noteK la constante de Lipschitz de f, et (c_n) la suite de ses coefficients de Fourier.

A1 Soit h∈R. En consid´erant la fonctionx7→f(x+h)−f(x−h), montrer qu’on

a +∞

X

−∞

|sin(nh)|²|cn|² ≤K²h² . A2 Soit p∈N^∗. Montrer qu’on a

X

2^p−1≤|n|<2^p

|c_n|² ≤ K²π² 2^2p+2 , et en d´eduire

X

2^p−1≤|n|<2^p

|c_n| ≤ Kπ 2^p/2 .

A3 Montrer que la s´erie de Fourier def converge normalement versf.

B Dans cette partie, on veut red´emontrer le r´esultat de A3 par une autre m´ethode.

1a Montrer que si ϕ:R→Rest une fonction de classe C¹ `a support compact, alors Z

R

f(x)ϕ⁰(x)dx=−lim

h→0

Z

R

f(x+h)−f(x)

h ϕ(x)dx . 1b En d´eduire qu’il existe une constante C telle que

∀ϕ∈ C_c¹(R) Z

R

F(x)ϕ⁰(x)dx

≤C Z

R

|ϕ(x)|dx . 2 Montrer qu’il existe une fonction a∈L^∞(R) telle que

∀ϕ∈ C_c¹(R) Z

R

f(x)ϕ⁰(x)dx=− Z

R

a(t)ϕ(t)dt .

3 D´emontrer le r´esultat suivant : si uetv sont deux fonctions continues surR telles que R

Ruϕ⁰ =R

Rvϕ⁰ pour toute fonction ϕ∈ C_c¹(R), alors u−v est constante.

4 Montrer que pour toutx∈R, on a f(x) = f(0) +

Z x

0

a(t)dt .

5 Montrer qu’on a cn(f) = _in¹cn(a) pour tout n6= 0, et conclure.

Probl`eme 3 (in´egalit´e de Bernstein)

Le but du probl`eme est de d´emontrer l’in´egalit´e de Bernstein : siP est un polynˆome trigonom´etrique de degr´e N, alors

||P⁰||∞ ≤N||P||∞ .

1a Soit f : R → R la fonction impaire 2π-p´eriodique telle que f(x) = x pour x∈[0;π/2] etf(x) =π−x pourx∈[π/2;π]. Calculer les coefficients de Fourier de f.

1b Soit a >0. Montrer que pour tout x∈[−a;a], on peut ´ecrire x= 4

π² ia

+∞

X

−∞

(−1)^k (2k−1)² exp

iπ

2a(2k−1)x

. 2 Montrer que si P(t) = PN

−Nλ_je^ijt est un polynˆome trigonom´etrique de degr´e N, alors

P⁰(t) = −4N π²

+∞

X

−∞

(−1)^k (2k−1)²P

t+2k−1 2N π

.

3 Conclure.

Probl`eme 4 (s´eries lacunaires nulle part d´erivables)

Dans tout l’exercice,λ = (λ_n) est une suite strictement croissante de r´eels positifs, et α = (α_n) est une suite de nombres complexes v´erifiant P∞

0 |α_n| < +∞. On d´efinit une fonction W =W_λ,α :R→C par la formule

W(t) =

∞

X

0

α_ne^iλnt .

A1 Montrer que W est bien d´efinie, et continue born´ee sur R.

A2 Donner une condition suffisante simple (portant surλ et α) pour queW soit de classe C¹.

B Dans cette question, on suppose que la suiteλest “lacunaire”, ce qui signifie qu’il existe une constante c >1 telle que

λ_n+1 λ_n ≥c

pour tout n∈N. On veut montrer que si λ_nα_n ne tend pas vers 0, alors la fonction W n’est d´erivable en aucun point.

1 Montrer que si W est d´erivable en un pointt₀ ∈R, alors on peut ´ecrire W(t) = a+b(t−t₀) + (t−t₀)g(t−t₀) ,

o`ua, b sont des constantes et g est une fonction continue born´ee v´erifiant g(0) = 0.

2aMontrer qu’il existe une fonctionϕint´egrable surRdont la transform´ee de Fourier est de classe C^∞, `a support dans ]1/c;c[, et v´erifie ˆϕ(1) = 1.

2b Calculer R

Rϕ(t)dt et R

Rtϕ(t)dt apr`es avoir justifi´e l’existence de la deuxi`eme int´egrale.

3 Soit t₀ ∈R. Pour k∈N^∗, on pose I_k=

Z +∞

−∞

W(t)ϕ(λ_k(t₀−t))dt .

a Justifier la d´efinition deI_k et calculer I_k en fonction deα_k, λ_k ett₀.

b Montrer que si W est d´erivable en t₀, alors I_k = o(1/λ²_k) quand k tend vers l’infini.

4 Conclure.

Probl`eme 5 (Paley-Wiener)

A Soit a > 0 et soit ϕ : R → C une fonction de classe C^∞ `a support dans [−a;a].

Montrer que la formule

F(z) = Z +∞

−∞

e^−itzϕ(t)dt

d´efinit une fonction enti`ere, et que pour tout entier n ≥0, on a

|F(z)|=O |z|⁻ⁿe^a|Im(z)|

quand |z| tend vers l’infini.

BSoit F une fonction enti`ere. On suppose qu’il existe un nombrea >0 tel que pour tout entier n ≥ 0, on a |F(z)| = O |z|⁻ⁿe^a|Im(z)|

quand |z| tend vers l’infini. On veut montrer qu’il existe une fonction ϕ : R → C de classe C^∞ et `a support dans [−a;a], telle que

F(z)≡ Z +∞

−∞

e^−itzϕ(t)dt .

1 Quel est le seul candidat possible pour ϕ? Montrer que ce candidat est de classe C^∞.

2En utilisant convenablement le th´eor`eme de Cauchy, montrer que pour tout b∈R, on a

ϕ(t)≡ 1 2π

Z +∞

−∞

e^it(x+ib)F(x+ib)dx . 3 D´eduire de 2 qu’on a ϕ(t) = 0 si |t|> a.

4 Conclure.

Probl`eme 6 (divergence des s´eries de Fourier)

Dans tout le probl`eme, on note C2π l’espace des fonctions continues 2π-p´eriodiques sur R (`a valeurs complexes) muni de la norme k . k_∞. Pour n ∈ N et f ∈ C_2π, on note S_nf lan-i`eme somme partielle de Fourier de f,

Snf(x) =

n

X

−n

ck(f)e^ikx . Enfin, on pose L_n(f) =S_nf(0).

A1 Soit n ∈ N. Montrer que L_n est une forme lin´eaire continue sur C_2π, de norme inf´erieure ou ´egale `a||D<sub>n</sub>||<sub>1</sub>, o`u D_n est le noyau de Dirichlet :

D_n(t) = sin(n+ ¹₂)t sin₂^t ·

A2 Montrer qu’on a en fait ||L_n||=||D_n||₁ pour toutn ∈N. Quelle est la limite de kL_nk quand n → ∞?

A3 Montrer qu’il existe une fonction f ∈ C_2π dont la s´erie de Fourier diverge en 0.

B Dans cette partie, on donne un exemple explicite de fonction dont la s´erie de Fourier diverge en 0.

1 Pour u, v >0, on pose

K(u, v) = 1 π

Z π

0

sin(uθ) sin(vθ) sin(θ/2) dθ . Montrer qu’il existe des constantes a >0 et b <∞ telles que

|K(u, v)| ≤bLog(u) pour 2≤u≤v, K(u, u)≥aLog(u) pour tout u≥2.

2 On d´efinit f : [−π;π]→R par f(θ) =

∞

X

k=1

(k!)^−1/2 sin

(2^k!+1 2)|θ|

. a V´erifier quef est continue et f(π) =f(−π).

b Pour n∈N, exprimerS₂^n!f(0) `a l’aide de la fonction K.

c Montrer que la s´erie de Fourier de f diverge en 0.

Probl`eme 7 (projections)

Dans tout le probl`eme, on note C l’espace des fonctions continues 2π-p´eriodiques sur R, et C<sup>+</sup> l’ensemble des fonctionsf ∈ C v´erifiant c<sub>n</sub>(f) = 0 pour toutn <0. Le but du probl`eme est de montrer qu’il n’existe pas de projection (lin´eaire) continue de C surC⁺.

A1 Montrer que C⁺ est un sous-espace ferm´e de C.

A2 Pour α ∈ R, on d´efinit τα : C → C par ταf(x) = f(x+α). Montrer que τα est une isom´etrie de C et que C⁺ est invariant par τ_α

B On suppose qu’il existe une projection continue P : C → C⁺. On d´efinit alors Q:C → C par

Qf(x) = 1 2π

Z 2π

0

(τ_−θP τ_θf)(x)dθ . 1 Montrer que Q est lin´eaire continue.

2 Montrer que Q est une projection de C sur C⁺ et qu’on a τ_αQ = Qτ_α pour tout α∈R.

3 Pourn∈Z, on notee_n la fonction x7→e^inx. Montrer qu’on a Q(e_n) =e_n si n≥0 etQ(e_n) = 0 si n <0.

CPour n ∈N^∗, on d´efinit G_n ∈ C par G_n(x) =

n

X

j=1

sinjx j . 1 Pour r ∈ [0; 1[, calculer explicitement f_r(x) := P∞

j=1r^{j sin}_j^jx. En d´eduire qu’on a kf_rk∞ ≤ ^π₂.

2 Soit n ∈ N^∗. En notant σ_nf_r la n-i`eme somme de Fej´er de f_r, montrer que pour tout r∈[0; 1[, on a

σ_nf_r(x) =

n

X

j=1

1− j

n

r^j sinjx j . 3 D´eduire de 1 et 2 qu’on a sup_n≥1kG_nk∞ <∞.

4 Calculer Q(G_n) en utilisant B3 D D´emontrer le r´esultat souhait´e.

Probl`eme 8 (in´egalit´e isop´erim´etrique)

Dans ce probl`eme, Γ ⊂ C est une courbe ferm´ee simple de classe C<sup>2</sup>. On note Ω le domaine entour´e par Γ, qui est bien d´efini par le th´eor`eme de Jordan (...). On notera l(Γ) la longueur de la courbe Γ, etA(Γ) l’aire d´elimit´ee par Γ, i.e. A(Γ) =m(Ω), o`u m est la mesure de Lebesgue.

A Montrer que Γ poss`ede un param´etrage γ : [0;l(Γ)] → C de classe C² v´erifiant

|γ⁰(s)|= 1 pour tout s∈[0;l(Γ)].

BSoitγun param´etrage de Γ de classeC². En utilisant la formule de Green-Riemann, montrer qu’on a

A(Γ) = 1 2 Z

γ

xdy−ydx

En d´eduire que pour tout a∈C, on a A(Γ) = 1

2 Z

γ

(z−a)dz .

C Soit T > 0 et soit f : [0 ;T] −→ C v´erifiant f(T) = f(0) et RT

0 f(t)dt = 0.

Montrer qu’on a

Z T

0

|f(t)|²dt ≤ T² 4π²

Z T

0

|f⁰(t)|²dt , et caract´eriser les cas d’´egalit´e.

D Montrer qu’on a

A(Γ)≤ 1

4π l(Γ)², avec ´egalit´e si et seulement si Γ est un cercle.

Probl`eme 9 (th´eor`eme d’´echantillonage)

Dans ce probl`eme, la transformation de Fourier est d´efinie avec la normalisation

“e^−2iπxt”.

A Soit I l’intervalle [−¹₂;¹₂]. On pose

L[²(I) ={u∈L²(R); ˆu= 0 presque partout surR\I} 1 Montrer que L[²(I) est un sous-espace ferm´e de L²(R).

2 Montrer que si u∈L[²(I), alors “u∈ C₀(R)” et kuk∞≤ kuk₂. 3 On note sinc : R → R la fonction d´efinie par sincx = sinπx

πx , et pour k ∈ Z, on d´efinit ek:R→R par ek(x) = sinc (x−k).

a Montrer que sinc∈L[²(I) et donner l’expression desinc.d

b Montrer que la famille (e_k)_k∈Z est une base hilbertienne de L[²(I).

B Soit u ∈ L²(R). On suppose que u est `a spectre born´e, autrement dit que ˆu est nulle (presque partout) en dehors d’un intervalle [−c;c]. Montrer que u “est”

continue et qu’on peut ´ecrire u(x) =

+∞

X

−∞

u(2ck)sinπ(_2c^x −k) π(_2c^x −k) ,

o`u la s´erie converge uniform´ement sur R et en norme L². Montrer ´egalement qu’on a

kuk²₂ =

+∞

X

−∞

|u(2ck)|².

Probl`eme 10 (sous-espaces invariants de L²(R))

Pour α ∈ R, on note τ_α : L² → L²(R) l’op´erateur de translation par α, d´efini par τ_αf(t) = f(t −α). On dit qu’un sous-espace ferm´e E ⊂ L²(R) est invariant par translation si on a τ_α(E)⊂ E.

A Montrer que sif ∈L²(R), alors dτ_αf =e_αfˆpour toutα ∈R, o`ue_α est la fonction x7→e^−iαx.

B Soit A une partie mesurable de R. Montrer que

E_A ={f ∈L²; ˆf = 0 presque partout surA}

est un sous-espace ferm´e de L² invariant par translation.

CSoitE un sous-espace ferm´e deL² invariant par translation. On veut montrer que E est du type E_A, pour un certain ensemble mesurable A⊂R.

1 On note π :L² →Ebla projection orthogonale deL² sur Eb:={fˆ; f ∈ E}.

a Justifier la d´efinition.

b Montrer que si f, g ∈ L², alors hf −π(f), e_απ(g)i_L² = 0 pour tout α ∈ R. En d´eduire qu’on af π(g) = π(f)π(g), et finalement

f π(g) =gπ(f) pour toutes f, g ∈L².

c Montrer qu’il existe une fonction mesurable ϕ:R→C telle que π(f)(t) =ϕ(t)f(t) p.p.

pour toute f ∈L².

d Montrer qu’on a ϕ² =ϕ, et donc que ϕest une fonction indicatrice.

2 Conclure.

Probl`eme 11 (caract`eres deL¹(R))

Un caract`ere de L¹(R) est une forme lin´eaire continue Φ : L¹(R) → C, non nulle, telle que

∀f, g∈L¹(R) : Φ(f ∗g) = Φ(f)Φ(g).

1 Montrer que si ξ∈R, alors l’application f 7→f(ξ) est un caract`ˆ ere de L¹(R), que l’on note Φ_ξ.

2 Soit Φ un caract`ere deL¹(R).

a Montrer qu’il existe une fonction β ∈ L^∞(R) telle que Φ(f) = R

Rβ(t)f(t)dt pour toute f ∈L¹.

b Montrer que pourf, g ∈L¹, on a Φ(f ∗g) =

Z

R

g(s)Φ(f_s)ds ,

o`ufs(t) =f(t−s).

c En d´eduire que si f, g ∈L¹, alors

Φ(f)β(s) = Φ(f_s) pour presque touts ∈R.

d Montrer qu’il existe une fonction continue α : R → C telle que α =β presque partout et

α(s+s⁰) = α(s)α(s⁰) pour tous s, s⁰ ∈R.

e Conclure qu’il existe ξ ∈R tel que Φ = Φ_ξ. Probl`eme 12 (principe d’incertitude)

Dans ce probl`eme, la transformation de Fourier est d´efinie avec la normalisation

“e^−2iπxt”. On noteS(R) l’espace de Schwartz.

1 On d´efinit trois applications lin´eaires A, B, C :S(R)→ S(R) par Au =iu⁰ , Bu(t) =tu(t) , Cu=u .

Montrer qu’on a AB−BA = iC, et que A, B, C sont “autoadjoints” relativement au produit scalaire usuel de L²(R). En d´eduire que si u∈ S(R), alors

hCu, ui_L² = 2ImhBu, Aui_L². 2 Montrer que si u∈ S(R), alors

(1) ktuk₂kxˆuk₂ ≥ 1

4π kuk²₂.

3 Soit u∈L²(R), avec kuk₂ = 1. Soient ´egalement X et Y deux variables al´eatoires centr´ees de lois respectives|u(t)|²dt et |ˆu(x)|²dx. Montrer qu’on a

V(X)V(Y)≥ 1 16π² .

4 Pour quelles fonctions ua-t-on ´egalit´e dans l’in´egalit´e (1)?

Probl`eme 13 (Hermite)

A Soit w:R→R la fonction t7→e^−t2. On pose L²(w) =

f :R→C; Z

R

|f(t)|²w(t)dt <∞

.

1 Montrer que L²(w) est un espace de Hilbert pour la norme d´efinie par le produit scalaire

hf, gi= Z

R

f(t)g(t)w(t)dt .

Montrer ´egalement que L²(w) contient toutes les fonctions polynomiales.

2a Montrer que sif ∈L²(w), alors la formule F(z) =

Z

R

e^itzf(t)w(t)dt

d´efinit une fonction enti`ere, et donner une formule pour F⁽ⁿ⁾(0), n∈N. 2b En d´eduire que les polynˆomes sont denses dans L²(w).

B On garde les notations de A.

1 Montrer que pour toutn ∈N, on peut ´ecrire

w⁽ⁿ⁾(t) = (−1)ⁿH_n(t)w(t),

o`uH_nest un polynˆome de degr´e net de coefficient dominant 2ⁿ. Les polynˆomes H_n sont les polynˆomes d’Hermite.

2a Montrer que la suite (H_n) est orthogonale dans L²(w), et calculerkH_nk_L²_(w). 2b Montrer que la suite (π^−1/42^−n/2(n!)^−1/2H_n) est une base hilbertienne de L²(w).

3 En d´erivant (n+ 1) fois la relation w⁰ = −2tw, montrer que pour tout n ∈ N, le polynˆome H_n est solution de l’´equation diff´erentielle

H_n⁰⁰−2tH_n⁰ + 2nH_n= 0.

4 En d´eveloppant e^−(t+z)2 en s´erie enti`ere, montrer que pour t∈R etz ∈C, on a G(t, z) :=

∞

X

n=0

H_n(t)zⁿ

n! =e^2zt−z2.

CLes notations sont celles de B. On d´efinit les fonctions d’Hermite h_n par h_n(t) = π^−1/42^−n/2(n!)^−1/2H_n(t)e^−t2/2.

1Montrer que (h_n) est une base hilbertienne de L²(R).

2a Montrer que pourx∈R etz ∈C, on a Z

R

e^itxG(t, z)e^−t2/2dt =√

2πe^−x2/2G(x, iz). 2b En d´eduire que pour tout n ∈N, on a

bh_n=√

2π iⁿh_n.

Ainsi, (hn) est une base hilbertienne de L²(R) constitu´ee de vecteurs propres pour la transformation de Fourier.

3 On d´efinit un op´erateurH :C^∞(R)→ C^∞(R) par Hu(t) = −u⁰⁰(t) +t²u(t).

Montrer que pour toutn ∈N, la fonctionh_n est un vecteur propre de l’op´erateurH, associ´e `a la valeur propre 2n+ 1.

D1Montrer que si u∈ S(R), alors Z

R

t²|u(t)|²dt+ 1 2π

Z

R

x²|ˆu(x)|²dx=hHu, ui_L².

D2En d´eduire que pour toute fonction u∈ S(R), on a ktuk²_L2 +_2π¹ kxˆuk²_L2 ≥ kuk²_L2. D3En consid´erantu(_λ^t) pourλ >0, conclure que pour toute fonction u∈ S(R), on a

ktuk₂kxˆuk₂ ≥ rπ

2kuk²₂. Probl`eme 14 (th´eor`eme de Wiener)

Le but du probl`eme est d’´etablir le r´esultat suivant : si f :R→ C est une fonction continue 2π-p´eriodique dont la s´erie de Fourier est absolument convergente, et sif ne s’annule jamais, alors la s´erie de Fourier de _f¹ est elle aussi absolument convergente.

A On note W l’ensemble des fonction 2π-p´eriodiques f : R → C dont la s´erie de Fourier est absolument convergente. Pourf ∈W, on pose

kfkW =

+∞

X

−∞

|cn(f)|.

1 Montrer que W est une sous-alg`ebre deC_2π, et que pour f, g ∈W, on a kf gk_W ≤ kfk_W kgk_W.

2 Montrer que (W,k.k_W) est un espace de Banach.

3 Montrer qu’on a C_2π¹ ⊂W et que si g ∈ C_2π¹ , alors kgk_W ≤ kgk∞+ 2kg⁰k∞. 4 Montrer que C_2π¹ est dense dansW.

B Montrer que sig ∈ C_2π¹ v´erifie |g(t)| ≥σ >0 pour toutt∈R, alorsg⁻ⁿ ∈W pour tout n ∈N^∗, avec

kg⁻ⁿk_W ≤c_gn σ⁻ⁿ, o`uc_g est une constante d´ependant uniquement de g.

CSoit f ∈W ne s’annulant pas.

1 Justifier l’existence deσ > 0 tel que|f(t)| ≥2σ pour tout t∈R.

2 En utilisantB, montrer que si g ∈ C_2π¹ v´erifie kg−fk_W ≤ ^σ₂, alors la s´erie X

n≥0

(g−f)ⁿg⁻ⁿ⁻¹ converge dans W.

D Conclure.

Probl`eme 15 (th´eor`eme de Jackson) Pour n∈N^∗, on d´efinit J_n:R→R par

J_n(t) =c_n

sin (ⁿ⁺¹₂ t) sin₂^t

⁴ , o`uc_n est choisi de sorte de Rπ

−πJ_n(t)dt= 1.

A1 Montrer que Jn est un polynˆome trigonom´etrique de degr´e 2n.

A2 Montrer qu’on a Z π

−π

|t|Jn(t)dt =O 1

n

.

B A toute fonction continue 2π-p´eriodique f :R →C on associe des fonctions T_nf par

T_nf(x) = Z π

−π

f(x−t)T_n(t)dt .

1 Montrer que T_nf est un polynˆome trigonom´etrique de degr´e 2n.

2 Montrer que sif est lipschitzienne, alors T_nf converge uniform´ement vers f, avec kT_nf −fk∞ =O

1 n

.

3Montrer plus g´en´eralement que sif est continue, alorsTnf converge uniform´ement vers f avec

kT_nf −fk∞≤C ω_f 2π

n

,

o`uC est une constante absolue et ω_f est le module de continuit´e (uniforme) def : ω_f(δ) = sup{|f(u)−f(v)|; |u−v|< δ}.

On pourra commencer par v´erifier que pouru, v ∈[−π;π] et n ∈N^∗, on a

|f(v)−f(u)| ≤ 1 + n

2π|v−u|

ω_f 2π

n

.

Probl`eme 16 (suites ´equir´eparties)

On dit qu’une suite (u_n)n≥1d’´el´ements de [0; 1] est´equir´epartie si pour tout intervalle [a;b]⊂[0; 1], on a

n→∞lim 1 n card

n

i∈ {1;. . .;n}; ui ∈[a;b]

o

=b−a .

A Soit (u_n)_n≥1 une suite dans [0; 1]. On noteE l’ensemble des fonctions mesurables born´eesf : [0; 1]→R v´erifiant

n→∞lim 1 n

n

X

k=1

f(u_k) = Z b

a

f(t)dt.

Soit maintenant f : [0; 1] → R une fonction mesurable born´ee. Montrer que dans chacun des cas suivants, on peut conclure que f ∈ E.

a f est limite uniforme d’une suite d’´el´ements de E.

b f est limite simple d’une suite croissante (f_p) ⊂ E et d’une suite d´ecroissante (g_p)⊂ E.

BMontrer que pour une suite (un)⊂[0; 1], les propri´et´es suivantes sont ´equivalentes.

(i) (u_n) est ´equir´epartie.

(ii) Pour toute fonction continue f : [0; 1]→R, on a

n→∞lim 1 n

n

X

k=1

f(u_k) = Z b

a

f(t)dt . (iii) Pour tout entier m∈Z\ {0}, on a

n→∞lim 1 n

n

X

k=1

e^2iπmuk = 0.

C Soit θ ∈[0; 1]. Montrer que la suite ({nθ})_n≥1 est ´equir´epartie si et seulement si θ 6∈Q.