E650. Le serpentin
Solution proposée par Philippe Bertran
Remarque préalable
Supposons que les cases sont peintes alternativement en noir et en blanc à la manière d’un damier. Deux entiers consécutifs sont sur deux cases de couleurs différentes ; donc tous les nombres pairs sont sur les cases d’une même couleur et tous les nombres impairs sont sur les cases de l’autre couleur.
Les cases d’une diagonale étant toutes de la même couleur, tous les nombres figurant sur les cases d’une diagonale sont de même parité.
Considérons un serpentin dans lequel la somme des nombres figurant sur les cases d’une diagonale est minimale. Soit m le plus grand de ces nombres : toutes les autres cases de la diagonale portent des nombres inférieurs à k. Donc tous les nombres supérieurs à m seront du même côté C2 de la diagonale (puisque, dans le numérotage progressif des cases de m+1 à n², on ne pourra plus franchir la diagonale, déjà pleine). Par conséquent, toutes les cases situées de l’autre côté C1 de la diagonale ont été numérotées avant la case m ; de même naturellement que les autres cases de la diagonale.
Mais, comme on va le voir, des cases de C2 doivent aussi avoir été numérotées avant la case m. En effet, dans les cases numérotées jusqu’à m, l’écart entre le nombre de cases noires et le nombre de cases blanches est au maximum de 1. Or le nombre de cases de chacune des deux couleurs situées d’un même côté d’une diagonale, diagonale incluse, est :
si n=2k : k²+k et k² soit un écart de k
si n=2k+1 : k²+2k+1 et k²+k ² soit un écart de k+1
Pour que l’écart entre le nombre de cases noires et le nombre de cases blanches soit au maximum de 1 quand on numérote la case m, il faut donc avoir aussi numéroté au moins :
k-1 cases de C2 si n=2k k cases de C2 si n=2k+1.
Puisque le nombre de cases situées d’un même côté de la diagonale, diagonale incluse, est 1+2+3+…+n c'est-à-dire n(n+1)/2 :
si n=2k, m est donc au moins égal à n(n+1)/2 + (k-1) soit m ≥ (n²+2n-2)/2 si n=2k+1, m est donc au moins égal à n(n+1)/2 + k soit m ≥ (n²+2n-1)/2
Les (n-1) autres nombres de la diagonale sont tous de même parité. Leur somme est donc au moins égale à la somme des (n-1) premiers nombres impairs, soit (n-1)².
La valeur minimale de la somme des nombres d’une diagonale est donc au moins égale à : (n²+2n-2)/2 + (n-1)² , c'est-à-dire n(3n-2)/2 si n est pair
(n²+2n-1)/2 + (n-1)² , c'est-à-dire (3n²-2n+1)/2 si n est impair.
Pour être certain que ces valeurs sont bien les valeurs minimales, il faut encore s’assurer de la possibilité de construire un serpentin pour lequel les cases d’une diagonale portent les (n-1) premiers nombres impairs, ainsi que (n²+2n-2)/2 si n pair et (n²+2n-1)/2 si n impair. Les schémas ci-après, pour n=9 et n=10, facilement généralisables à toute valeur, respectivement impaire ou paire de n, montrent que c’est bien le cas.
La valeur minimale de la somme des nombres figurant sur une diagonale est donc bien : Sm = n(3n-2)/2 si n est pair, d’où Sm = 6 058 140 pour n = 2010
Sm = (3n²-2n+1)/2 si n est impair, d’où Sm = 6 052 113 pour n = 2009.
Pour trouver maintenant la valeur maximale de la somme des nombres inscrits sur une diagonale, il suffit de prendre les mêmes serpentins mais de numéroter les cases dans l’ordre inverse. Les numéros des cases de la diagonale sont transformés comme suit :
Pour n pair :
1 → n²
3 → n² - 2
5 → n² - 4
7 → n² - 6
….
2n -3 → n² - 2n + 4
(n²+2n-2)/2 → n² + 1 - (n²+2n-2)/2, soit (n² - 2n + 4)/2
La somme est donc (n – 1)n² - 2[1 + 2 + 3 + … + (n – 2)] + (n² - 2n + 4)/2 , soit SM = (2n3 – 3 n² + 4n)/2
Donc pour n = 2010, SM = 8 114 544 870
Pour n impair :
1 → n²
3 → n² - 2
5 → n² - 4
7 → n² - 6
….
2n -3 → n² - 2n + 4
(n²+2n-1)/2 → n² + 1 - (n²+2n-1)/2, soit (n² - 2n + 3)/2
La somme est donc (n – 1)n² - 2[1 + 2 + 3 + … + (n – 2)] + (n² - 2n + 3)/2 , soit SM = (2n3 – 3 n² + 4n – 1)/2
Donc pour n = 2009, SM = 8 102 436 625
