Devoir ` a la maison

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Master M2 Math´ematiques Appliqu´ees- Module ”Analyse Fonctionnelle”

Devoir ` a la maison

Exercice 1. Compacité de l’opérateur de Volterra. On note C l’espace des fonctions continues de [0,1] dansR,L∞ l’espace des classes d’équivalence presque partout de fonctions bornées de [0,1] dans R et, pour tout p ≥ 1, L_p l’espace des classes d’équivalence presque partout de fonctions de [0,1] dans R telles que

Z 1

0

|f(t)|^pdt < +∞.

On munit tous ces espaces de leurs normes usuelles qui en font des espaces de Banach.

(a) V´erifier queC ⊂ L∞ ⊂ L_q ⊂ L_p pour tout q > p≥1.

On considère maintenant l’opérateurT défini surL₁ par T f(x) =

Z x

0

f(t)dt, x∈[0,1].

(b) V´erifier queT f ∈ C pour toutf ∈ L₁.

(c) Montrer que T : L_p → C est pour chaque p ∈ [1,+∞] une application lin´eaire continue de norme ||T||= 1.

(d) Montrer que T :L_p → C est un op´erateur compact pour tout p∈(1,+∞].

(e) En consid´erant la suite de fonctions f_n(x) = n⁻¹x^1/n−1, montrer que T : L₁ → C n’est pas un op´erateur compact.

Exercice 2. Test de Dini et formule sommatoire de Poisson. Soit f : R → C une fonction continue et telle que

X

n∈Z

sup

x∈[n,n+1]

|f(x)| < ∞.

(a) Montrer que f est une fonction int´egrable et que la fonction h(x) = X

n∈Z

f(x+n) est bien d´efinie sur R, continue et 1-p´eriodique.

(b) Pour toutn ∈Z, on pose

f(n) =ˆ Z

R

f(t)e^−2iπntdt.

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En appliquant le théorème de Fejér à la fonctionh, montrer que X

n∈Z

f(n) = lim

N→∞

X

|n|≤N

1− |n|

N

fˆ(n).

(c) On suppose que h est telle que Z 1/2

−1/2

h(x+y)−h(x) y

dy < ∞ (1)

pour un x fixé dans [−1/2,1/2]. En reprenant la preuve du théorème de Dirichlet et en utilisant le lemme de Riemann-Lebesgue, montrer que

Sn(h)(x) = X

|k|≤n

Z 1

0

h(s)e^−2iπnsds

e^2iπkx = Z 1

0

h(t+x)sin(π(2n+ 1)t) sin(πt) dt converge ponctuellement vers h(x) quand n → ∞ (Test de Dini). En d´eduire la validit´e de la formule sommatoire de Poisson

X

n∈Z

f(n) = X

n∈Z

fˆ(n) lorsque (1) est vraie pourx= 0.

(d) Montrer que (1) a lieu pour toutx∈R si h est h¨old´erienne d’exposant α >0.

(e) On suppose maintenant quef satisfait aux conditions suppl´ementaires X

n∈Z

sup

x∈[n,n+1]

|x|^ε|f(x)| < ∞ et sup

x6=y

|f(x)−f(y)|

|x−y|^ε < ∞

pour un certainε >0. En distinguant les cas |n| ≤ N −1 et |n| ≥ N dans la somme d´efinissant h, montrer qu’il existe K <∞ telle que

|h(x+y)−h(x)| ≤ K(N|y|^ε+N^−ε)

pour tout x ∈ [0,1], y ∈ [−1/2,1/2] et N ≥ 2. En déduire que h est höldérienne d’exposantα=ε²/(ε+ 1). Conclure.

Problème. Valeurs propres du Laplacien sur [0,1]. On note D l’ensemble des fonctions [0,1] vers R continûment dérivables telles quef(0) =f(1) = 0 et

f⁰(x) = f⁰(0) + Z x

0

g(y)dy

pour une fonctiong ∈ L₂[0,1].On rappelle que le théorème de dérivation de Lebesgue entraˆıne que f ∈ D est deux fois dérivable presque partout avec f⁰⁰ = g p.p. et queg est donc uniquement définie dans L₂[0,1]. Le but de ce problème est d’étudier l’opérateur de LaplaceK :f →g deDdansL₂[0,1],espace de Hilbert que l’on munit du produit scalaire usuel

(f, g) = Z 1

0

f(x)g(x)dx.

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On remarquera que Kf =f⁰⁰ si f ∈ C²[0,1]⊂ D.

(a) Montrer que D ⊂ L₂[0,1] et que K est un opérateur auto-adjoint défini négatif sur D. Montrer que les valeurs propres non-nulles de K sont les {−n²π², n ≥1} et qu’elles sont associées aux fonctions propres respectives

f_n(x) = √

2 sin(nπx), n ≥1.

(b) Montrer que {fn, n≥1} est une famille orthonorm´ee de L2[0,1].

(c) En prolongeant toute fonction de L₂[0,1] sur [−1,1] en une fonction impaire et 2-p´eriodique deL2[−1,1] et en utilisant la formule d’inversion sur L2[−1,1],montrer que{f_n, n≥1}est une base orthonormale deL₂[0,1].Donner la d´ecomposition d’une fonctionf ∈ L₂[0,1] suivant cette base.

(d) En utilisant l’auto-adjonction de K, montrer quef ∈ D si et seulement si X

n≥1

n⁴|(f, f_n)|² < ∞.

(e) Montrer que K est un op´erateur diagonal dans la base {f_n, n≥1}. L’op´erateur K est-il compact ?

(f) On d´efinit Gsur L₂[0,1] par

Gf = X

n≥1

(n²π²)⁻¹(f, f_n)f_n.

Quels sont les éléments propres de G ? Est-ce un opérateur compact ? Est-ce un opérateur de Hilbert-Schmidt ? Montrer que

Gf(x) = Z 1

0

G(x, y)f(y)dy

où G(x, y) est une fonction continue que l’on déterminera comme somme d’une série.

(g) Montrer que Gf ∈ D pour tout f ∈ L₂[0,1] et en d´eduire que GK =−Id sur D.

(h) Résoudre l’équation différentielle u⁰⁰ = −f pour un f donné dans L²[0,1] avec conditions au bordu(0) =u(1) = 0, et en déduire par le (g) que

G(x, y) = (1−x)y1_{y≤x}+ (1−y)x1_{y>x}. Comparer cette formule avec celle trouv´ee en (f).

(i) Montrer enfin la formule des traces pour G: X

n≥1

λ_n(G) = Z 1

0

G(x, x)dx = 1 6 o`u {λn(G), n≥1} d´esigne la suite des valeurs propres deG.

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