2013-2014 UJF MAT231 Fiche d’exercices 1
Exercice 1.Les ensembles suivants sont-ils des sous-espaces vectoriels deR3? (justifier) a)E={(x, y, z)∈R3|x= 0} b)E={(x, y, z)∈R3|x+y+z= 1}
c)E={(x, y, z)∈R3sin(x) = 0} d)E={(x, y, z)∈R3|x= 0 etx+y+z= 0}
e)E={(x, y, z)∈R3|x2+y2+z2= 1} f)E ={(x, y, z)∈R3| |x|=|y|=|z|}
g)E={(x, y, z)∈R3|x2+y2+z2= 0}
Exercice 2.Les applications suivantes sont-elles lin´eaires ? (justifier)
a)f :R3→R2,(x, y, z)7→(0,0) b)f :R2→R,(x, y)7→ −x+ 2y c) f :R3→R3,(x, y, z)7→(x, x−y, xz)
Exercice 3.Pour chaque application lin´eaire dans la liste suivante, ´ecrire la matrice repr´esentative dans la base canonique, puis dans la base ((1,1),(1,−1)).
a)f :R2→R2,(x, y)7→(x−y, x+y) b)f :R3→R2,(x, y)7→(x, x) c)f :R3→R2,(x, y)7→(x,0)
Exercice 4. Pour chaque application lin´eaire dans la liste suivante, donner une base de l’image et du noyau. Trouver
´egalement des ´equations d´ecrivant l’image.
a)f :R2→R3,(x, y)7→(x+y, x−y,2x) b)f :R3→R3,(x, y, z)7→(0, y−z, z−x)
c)f :R3→R3,(x, y, z)7→(x−y, y−z, z−x) d)f :R4→R2,(x, y, z, t)7→(x+y+ 2z−t,2x+y+z+t)
Exercice 5.SoitEl’espace vectoriel des polynˆomes en X `a coefficients r´eels de degr´e62 .
a) Soitϕl’application deE dansEd´efinie par :ϕ(P) = (2X+λ)P(X)−(X2−1)P0(X). Prouver queϕest lin´eaire. Ecrire sa matriceM dans la base{1, X, X2}.
b) Est-elle injective, surjective ? D´eterminer son noyau et son image en fonction de λ.
Exercice 6.On consid`ere dans R3 les sous-espaces vectoriels : U ={(x, y, z)∈R3 : x+ 2y+z = 0} et V ={(x, y, z)∈ R3 : y=z}.
Donner une base de U et une base de V. D´eterminez le sous-espace U+V, pr´ecisez si R3 =U ⊕V et sinon donner un suppl´ementaire de U.
Exercice 7.D´eterminez dansR2[X] un suppl´ementaire de H={P∈R2[X] : P(0) = 0}.
Exercice 8.Ecrire dansR3rapport´e `a sa base canonique, la matriceAde la projection sur le plan {(x, y, z)∈R3 : x+y=z}
parall`element `a l’axeOx. On v´erifiera queA2=A.
Exercice 9.SoitR3 rapport´e `a sa base canonique et soitf l’endomorphisme deR3 d´efini par f(x, y, z) = (0, y−x, z−x).
Donner des bases de Kerf et Imf . V´erifier queR3 = Kerf ⊕Imf, et quef est une projection sur un plan parall`element
`
a une droite.
Exercice 10.Montrer que l’ensembleEdes suites r´eelles qui v´erifientun+1=un+ 2un−1est un espace vectoriel. D´eterminer les ´el´ements deE de la formeun=rn et montrer qu’elles forment une base. D´eterminer un lorsque u0=−1 etu1= 4.
Exercice 11.Dans l’espaceR3rapport´e `a la base canonique, on consid`ere les trois vecteursV1= (1,1,0), V2= (0,1,1), V3= (1,0,1). Peut-on exprimer les vecteurseide la base canonique en fonction des vecteursVj? La famille des vecteursVjest-elle g´en´eratrice ? est-elle libre ? est-elle une base ?
Exercice 12.Dans l’espace R4 rapport´e `a un rep`ere e1, e2, e3, e4, on consid`ere les quatre vecteursV1 = e1+e2, V2 = e2+e3, V3=e3+e4, V4=e1+e4. Forment-ils une famille libre ? une famille g´en´eratrice ? une base ?
Exercice 13.Dans le plan vectorielP muni d’une base (~ı, ~), on consid`ere l’endomorphismel qui v´erifiel(~ı) =~etl(~) =~0.
D´eterminer Kerl et Iml ; a-t-onP = Kerl ⊕ Iml?
Exercice 14.On munitE=R3d’une base quelconque not´eeB= (e1, e2, e3). Soitf ∈ L(E) d´efinie parf(e1) =−√
2e1+e3, f(e2) =√
2e2+e3,f(e3) =e1+e2.
1. Donner l’image parf d’un vecteur de coordonn´ees (x, y, z) dans la baseB.
2. D´eterminer Ker(f),Im(f) etrg(f).
3. Soitλ∈Ret Hλ={u∈E|f(u) =λu}. Montrer que Hλ est un sous-espace vectoriel deE.
4. D´eterminer lesλtels queHλ6={0} et pour toutes ces valeurs, une base deHλ.
Exercice 15.Soitf un endomorphisme deRn qui v´erifie :f2−3f+ 2id= 0. Montrer queRn = Ker (f−id)⊕Ker (f−2id).
Exercice 16.SoientJ = 1 1
1 1
etK=
1 −1
−1 1
. CalculerJ2, J K, KJ etK2. SoitC=
a+b a−b a−b a+b
, calculerCn.
Exercice 17.SoitA= 2 1
1 2
, calculerAn.
Exercice 18.On noteM3(R) l’espace des matrices carr´ees d’ordre 3 `a coefficients r´eels. Montrer que toute matrice Ade cet espace se d´ecompose en la somme d’une matrice sym´etrique et d’une matrice antisym´etrique. En d´eduire que l’espace M3(R) est somme directe de deux sous-espaces dont on donnera les dimensions.
Exercice 19. Soit A =
1 0 0 −1
. On note E l’ensemble des matrices carr´ees d’ordre 2 `a coefficients r´eels qui v´erifient
tM AM =A. Montrer queA∈ E, queE est stable pour le produit, que tout ´el´ement deE est inversible et que son inverse est dansE, queE est stable pour le passage `a la transpos´ee.
Exercice 20.Soit E un espace vectoriel r´eel de dimension 3 et soit E= (e1, e2, e3) une base de E. Soient U = (u1, u2, u3) et V= (v1, v2, v3) les syst`emes de vecteurs d´efinis par leurs composantes dans la base E :
u1= (7,3,1) u2= (2,1,1) u3= (3,3,2) et v1= (−1,7,1) v2= (1,4,3) v3= (3,2,5).
a) Montrer que U et V sont des bases ; d´eterminer les matrices de passage P de la base E `a la base U et Q de la base E `a la base V ainsi que les matrices inverses.
b) En d´eduire la matrice de passage R de la base U `a la base V.
c) Soit l l’endomorphisme de E qui v´erifie pour tout i: l(ui) =vi.D´eterminer en fonction de P, Q et de leurs inverses les 9 matrices de l que l’on obtient lorsqu’on munit l’espace de d´epart et l’espace d’arriv´ee de l’une des trois bases E, U ou V.
Exercice 21.Trouver la matrice inconnue X `a partir des ´equations :
a)X.
−1 2 2
2 −1 2
2 2 −1
=
−1 1 3
3 4 2
−2 1 5
b)
1 1 1 . . . 1 0 1 1 . . . 1 0 0 1 . . . 1
. . . . .
0 0 0 . . . 1
.X=
2 1 0 . . . 0 1 2 1 . . . 0 0 1 2 . . . 0
. . . . .
0 0 0 . . . 2
Exercice 22.Trouver l’inverse de la matrice : A=
1 2 3 . . . n 0 1 2 . . . n−1 0 0 1 . . . n−2
. . . . .
0 0 0 . . . 1
Exercice 23.Soitl l’endomorphisme deR4 dont la matrice dans la base canoniquee1, e2, e3, e4est
M =
4 2 0 0
0 4 0 0
−1 1 5 1
1 1 −1 3
.
Montrer que les vecteursV1= 2e1+e3+e4,V2=e2,V3=−e3+e4etV4=e1forment une baseBdeR4. Ecrire la matrice de passageP de la base canonique `a la baseB. CalculerP−1. Donner la matrice N deldans la baseBainsi qu’une expression deMn.
