Serie d'exercice

Lycée 9 Avril 1938 Sfax

Prof : Mr Tounsi Riadh Série d’exercices N°20 Classes 4^ème Sc_Techniques 2008/2009

Calcul intégral (calcul d’aire)

EXERCICE 1

 

I

₁ ^e

I

₂ ^e²

I

₃ ^{1 2x}

1 e 2

Logx 1 1

1) Calculer les intégrales : dx ; dx ; e dx

x xLogx x

2) a) Déterminer deux nombres réels a et b tels que :

2x 1 b

f(x) a pour tout x de \ 2

x 2 x - 2



  





   



  

 J

₁ ¹

b) Calculer l'intégrale = f(x)dx 

0

EXERCICE 2

1 1 2 1 2

0 2 0 2 0

2

I J 2

2 2

2

dx x

Soit ; dx ; K x dx .

x x

Soit la fonction f définie sur [0 ; 1] par : f(x) Log(x + x ).

1) a) Calculer la dérivée de la fonction f b) Calculer la valeur de I.

2) a

   

 

 

  

3 ) Sans calculer explicitement J et K, vérifier que J +2I K.

b) A l'aide d'une intégration par parties portant sur l'intégrale K, montrer que K J.

c) En déduire les valeurs de J et de K.



 

EXERCICE 3

I

x x

1 1

x x

0 0

1

x 2 0

e e

1) Calculer les intégrales : A dx ; B dx

1 e (1 e )²

1 bt ct

2) Déterminer trois nombres réels a, b et c tels que on ait : a

(1 t)² 1+t (1 t)² 3) Calculer 1 dx .

(1 e )

 

 

  

 

 

 



x2 x

1

2x

4) Soient f, g et h les fonctions définies sur [0 ;1] par f(x) xe , g(x) e et h(x) xe .

  

2



1 1

0 0

1 2 0

e 1 2e 3

a) Montrer que f(x)dx puis que g(x)dx .

2 2

e 1

b) A l'aide d'une intégration par parties, montrer que h(x)dx . 4

 

 

 

 



EXERCICE 4

Soit la suite définie par In =



0^{1 } x ne

x dx avec n  IN*

1) Montrer que I1= 1 – 2e^-1

2) a) Montrer que pour tout n  IN* on a :In+1 = (n+1)In – e^-1 . b) Calculer I2 . Vérifier que I3 =6 – 16e^{- 1} . c) En déduire la valeur de



0^{1   }

x 3 x² x)e dx x

2

( .

3) a) Montrer que la suite (In ) est décroissante . b) Montrer que pour tout n  IN* et x  [0,1] on a : e^-1xⁿ ≤ e^-xxⁿ ≤ xⁿ c) déduire que :

1 n I 1 ) 1 n ( e

1

n  

  . Calculer la limite de In . EXERCICE 5

1

Soit f la fonction définie sur IR par : f (x) = (2 – x) e^x – 2.

1) Déterminer les limites de f en –



et en

 

^.

2) Calculer f’(x). En déduire le tableau de variation de f.

3) a) Etablir que l’équation f (x) = 0 a deux solutions, 0 et une autre notée   ]1 ; 2 [.

b) Préciser le signe de f (x) suivant les valeurs de x.

4) a) A l’aide d’une intégration par parties calculer I1 =



^{1 }

0

xdx e ) x 2

( .

b)Donner une interprétation graphique de I=



^{1  }

0

x 2 dx e

) x 2

( et puis calculer I.

5) On appelle (C) la représentation graphique de f Dans le plan muni d'un repère orthonormé

( , , )

o i j  On prendra pour unité graphique 2 cm. Tracer (C)dans le plan muni du repère orthonormé

( , , )

o i j 

6) Calculer l’aire A en cm ² du domaine limité par la courbe (C) , la droite D :y= -2 et les droites d'équation x = -1 et x = 0

EXERCICE 6

Soit f la fonction définie sur IR par :

1) a- Montrer que f est continue au point x0 = 1.

b- Etudier la dérivabilité à gauche et à droite en x0 = 1. Interpréter graphiquement le résultat.

2) a- Etudier les variations de f.

b- Tracer la courbe( C) représentative de f dans le plan rapporté à un repère orthonormé (O; ; ) .3) Soit g la fonction définie sur l'intervalle I = [1, +[ par g(x) = ( x - 1 ) e^x .

a- Montrer que g réalise une bijection de I sur un intervalle J que l'on déterminera.

b- Tracer la courbe (C’) représentative de g ^-1 dans le même repère que (C) 4) Soit  l'abscisse du point d'intersection des courbes (C) et (C’)

a- Calculer l'aire A () de la partie du plan limitée par (C), et les droites d'équations y = 0, x = 1 et x = .

b- En déduire la valeur de l'intégrale I =



0^{ }

1(x)dx

g en fonction de  .

EXERCICE 7

Soit la fonction définie sur



^{ }

^1, 

par f(x) = Ln(1 + x) – x . On note C sa courbe représentative dans un repère orthonormé

 ^{o, , i j}

^{ }



(unité 2 cm).

1.

Montrer que

x

Ln(1 x)

lim 0

x



 

. En déduire _x

lim f (x)

 . dresser le tableau des variations de f.

2.

Soit la fonction h définie sur



^{ }

^1, 

par : h(x) = f(x) – x . a) Dresser le tableau des variations de h.

b) montrer que l’équation h(x) = 0 admet dans



^{ }

^1, 

deux solutions 0 et  tel que

1 < -

 2

. c) On déduire le signe h(x).

d) Etudier la position de C

et la droite  : y x

 . e) Tracer C.

3.

Soit

g

la restriction de f à



^

^1,0 

. a) Montrer que

g

est une bijection de



^

^1,0 

^sur



^

^,0 

. b) Construire dans le même repère

 ^{o, ,}

^{ }

^{i j} 

^{la courbe C}

^'

^de

^g

^1

4.

On pose ^{0 0}

x

I = Ln(1+ x)dx J = dx et 1+ x

 

 

.

a) Vérifier que

x 1

x 1   1 1 x

 

puis claculer

J

. b) A l’aide d’une integration par partie calculer

I

. c) Calculer en cm² l’aire A de la partie du plan limitée par la courbe Cet les droites d’équations resoectives y = x ; x = 0 et

x

 . En déduire l’aire en cm² A

'

de la partie du plan limitée par les courbes C C

et '

et les droites d’équations :

x

  et x = 0.

2