D.S. DE MATHEMATIQUES (1)

(1)

D.S. DE MATHEMATIQUES (1)

NOM : PRENOM : CLASSE : TS 1

Pas de document ni de sortie autorisés avant la fin de l’épreuve. DUREE : 2 H 00

I-Résoudre dansℝl'inéquation suivante:

4x−1

x−2 −2x3 x6

Ne pas oublier le domaine d'existence!

II-Étudier les limites des fonctions définies par : 1. f x=−3x³x²−2x1en−∞et en∞. 2. gx=



^x²^²^x^²⁻^x⁻^{1 , en}^−∞^{et en}^∞^.

3. hx=2x²−3x1

x²−1 en -1 ( x>-1 et x<-1 ) et en 1.

III– Soit u_n la suite définie par u₀=0 et u_n1=1

3u_n−2. 1. Calculer u₁ et u₂.

2. Représenter graphiquement, les trois premiers termes de cette suite.

3. On considère la suite v_n définie par v_n=u_n3 . Démontrer que v_n est une suite géométrique dont on déterminera le premier terme v₀ et la raison q.

4. En déduire l'expression de v_n, puis celle de u_n, en fonction de n.

5. Déterminer la somme

∑

k=0 n

v_k=v₀v₁⋯v_n puis la somme

∑

k=0 n

u_k=u₀u₁⋯u_n.

IV- Soit S_n=1×22×3⋯nn1 et T_n=1

3nn1n2. Démontrer par récurrence que, pour tout n1, S_n=T_n.

V- 1. Cours : Soit z₁ et z₂ deux nombres complexes non nuls. Compléter arg



^z¹^z²



⁼...

Démontrer ce résultat.

2. On se place dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormal O ;u ,v.

On considère les points M et M' d'affixe respective z et z' avec z=1−i et z '=3i



^{3 .}

a . Placer M et M' dans le repère.

b . Déterminer l'écriture trigonomètrique de z et de z'.

c . Que représente graphiquement le point M'' d'affixe z ' '=zz ' par rapport à M.

d . Calculer zz '.

e . Déterminer le module et un argument de zz '. Donner la forme trigonométrique de zz '. f . En déduire cos



⁻¹²^



^et^sin



⁻¹²^



^.

Bon courage.