{ D.S. DE MATHEMATIQUES (2)

D.S. DE MATHEMATIQUES (2)

NOM : PRENOM : CLASSE : TS 3

Pas de document ni de sortie autorisés avant la fin de l’épreuve. DUREE : 2 H 00

I-Soit la fonction f définie par : f : x

{

.

Démontrer que f est continue surℝ II-Déterminer les limites suivantes :

1. lim

x∞



2. lim

x 2

sinx−1 x−

2 .

III-Soit f la fonction définie sur]−1

2 ;∞[ par fx=−xcosx 2x1 . 1. Démontrer que pour tout x−1

2 on a : −x−1

2 x1fx−x1 2 x1 . 2. En déduire la limite de f en∞.

IV- (Complexes)

1. Que valent∣zz'∣etargzz'. Démontrer ces résultats.

2. Effectuer les calculs suivants : _2−i² ,3−i2iet simplifier 1−i 1i 3. Ecrire les complexes suivants sous forme trigonométrique :

a. _{3 −3 i}



b. 1i



V-Le plan est rapporté à un repère orthonormal directO ,u ,v, unité graphique 4 cm.

On appelle f l'application, qui, à tout nombre complexe z différent de – 2i, associe : Z=fz=z−2i

z2 i

Si z=xiy, x et y étant deux réels, exprimer la partie réelle et la partie imaginaire de Z en fonction de x et de y. On vérifiera que ReZ=x²y²−2 x3 y2

x²y2² En déduire la nature de :

a. l'ensemble (E) des points M d'affixe z, tels que Z soit un réel;

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b. l'ensemble (F) des points M d'affixe z , tels que Z soit un imaginaire pur éventuellement nul.

c. Représenter ces deux ensembles.

V-On considère la suiteu_nn0définie par ^u0=0et la relation de récurrence u_n1=1

8 u_n² 1. 1. Représenter graphiquement les trois premiers termes de la suite.

2. Calculer ^u1et^u2.

3. Quelle semble être le sens de variation de la suiteu_n.

4. Démontrer par récurrence que, pour tout n∈ℕ, 0 u_nu_n12.

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