D.S. DE MATHEMATIQUES (1)

D.S. DE MATHEMATIQUES (1)

NOM : PRENOM : CLASSE : TS 4

Pas de document ni de sortie autorisés avant la fin de l’épreuve. DUREE : 2 H 00 I - Déterminer les limites suivantes :

1. lim

x∞

x²−4x1

2x²x−1 2. ^lim

x∞



^{x22x4−x1}

3. lim

x0

cosx−1

x . 4. lim

x−2

x²4x4 x²x−2 . II - Soit f la fonction définie sur]−1;∞[par fx=x−2cosx

x1 . 1. Démontrer que pour tout x−1 on a : x−2

x1fxx2 x1 . 2. En déduire la limite de f en∞.

IIII - Soit f la fonction définie surℝ−{−2;1}par f x=3x³4x²−2x1

x²x−2 . On appelle

C

la courbe représentative de f dans un repère orthonormalO ,i ,j.

1. Déterminer les réels a, b, c et d tels que : fx=a xb c

x−1 d x2 .

2. Déterminer les limites de f en -2 (x > - 2 et x < - 2 ), en 1 (x > 1 et x < 1 ), en−∞et en∞. 3. Démontrer que la courbe

C

admet trois asymptotes dont l'une, que l'on notera

D

^,

est oblique.

4. Étudier la position de

C

par rapport à

D

^.

IV - On considère la suite^un_n0définie par^u0=0et la relation de récurrenceu_n1=−1

2u_n6. 1. Représenter graphiquement les trois premiers termes de la suite.

2. Calculer u₁etu₂.

3. On considère la suite v_n_n0 définie par v_n=u_n−4 .

a . Démontrer que v_n_n0 est une suite géométrique dont on déterminera la raison et le premier terme v₀ .

b . En déduire l'expression de v_n en fonction de n.

c . Calculer la somme

∑

k=0 n

v_k.

4. a . Déduire de la question 3. l'expression de u_n en fonction de n.

b . Calculer la somme

∑

k=0 n

u_k.

V-On considère la suite ^un_n0 définie par u₀=1 et u_n1=u_n2n1 Démontrer par récurrence que , pour tout n0 , on a u_n=1n².

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