CHAPITRE 17
DÉRIVABILITÉ
I Nombre dérivé, fonction dérivée . . . . 3
I.1 Nombre dérivé . . . . 3
I.2 Développement limité à l’ordre 1 . . . . 4
I.3 La dérivabilité implique la continuité . . . . 6
I.4 Fonction dérivée . . . . 6
I.5 Calculs de dérivées . . . . 7
I.6 Dérivée d’une bijection réciproque . . . . 10
I.7 Dérivabilité à gauche, dérivabilité à droite . . . . 11
II Extremum local et point critique . . . . 13
III Théorèmes de Rolle et des accroissements finis . . . . 14
III.1 Égalité et inégalité des accroissements finis . . . . 15
III.2 Application à l’étude de suite définie par une relation de récurrence. . . . 16
III.3 Monotonie et signe de la dérivée . . . . 17
III.4 Théorème de la limite de la dérivée. . . . 18
IV Fonctions de classeCk . . . . 20
IV.1 Dérivées successives. . . . 20
IV.2 Opérations sur les fonctions de classeCk . . . . 22
V Fonctions convexes . . . . 25
V.1 Généralité. . . . 25
V.2 Fonctions convexes dérivables, deux fois dérivables . . . . 28
VI Fonctions complexes . . . . 31
VI.1 Définitions . . . . 31
VI.2 Calculs de dérivées . . . . 32
VI.3 Inégalité des accroissements finis. . . . 34
CONTENUS CAPACITÉS&COMMENTAIRES a) Nombre dérivé, fonction dérivée Dérivabilité en un point, nombre dérivé.
La dérivabilité entraîne la continuité.
Dérivabilité à gauche, à droite.
Définition par le taux d’accroissement.
Caractérisation : une fonctionf est dérivable enasi et seulement si elle admet un développement limité à l’ordre 1 ena. Dans ce cas f(a+h)=f(a)+f0(a)h+hε(h), oùε(h)−→
h→00. Interprétation géomé- trique : tangente.
Interprétation cinématique : vitesse instantanée.
Dérivabilité et dérivée sur un intervalle.
Opérations sur les fonctions dérivables : combinaison linéaire, pro- duit, quotient, composition, réciproque.
Tangente au graphe d’une fonction réciproque.
b) Extremum local et point critique
Condition nécessaire d’extremum local en un point intérieur. Un point critique est un zéro de la dérivée.
c) Théorèmes de Rolle et des accroissements finis Théorème de Rolle.
Égalité des accroissements finis. Interprétations géométrique et cinématique.
Inégalité des accroissements finis : sif est dérivable et si|f0|est majorée parK, alorsf estK-lipschitzienne.
La notion de fonction lipschitzienne est introduite à cette occasion.
Application à l’étude de suites définies par une relation de récurrence un+1 = f(un).
Caractérisation des fonctions dérivables constantes, monotones, stric- tement monotones sur un intervalle.
Théorème de la limite de la dérivée : sif est continue surI, déri- vable surI\©
aª
et si lim x→ax,a
f0(x)=`∈R, alorsf est dérivable enaet f0(a)=`.
La fonctionf0est alors continue ena.
Extension au cas où`= ±∞.
d) Fonctions de classeCk Pourk∈N∪©
∞ª
, fonction de classeCk.
Opérations sur les fonctions de classeCk : combinaison linéaire, produit (formule de Leibniz), quotient, composition, réciproque.
Les démonstrations relatives à la composition et à la réciproque ne sont pas exigibles.
e) Fonctions convexes
La fonctionf est convexe surIsi, pour tous (x,y)∈I2etλ∈[0, 1], f((1−λ)x+λy)É(1−λ)f(x)+λf(y).
Interprétation géométrique.
L’inégalité de Jensen et les développements généraux sur les bary- centres sont hors programme.
Position du graphe d’une fonction convexe par rapport à ses sécantes, d’une fonction convexe dérivable par rapport à ses tangentes.
Caractérisation des fonctions convexes deux fois dérivables.
Exemples d’inégalités de convexité.
f) Fonctions complexes
Brève extension des définitions et résultats précédents. Caractérisation de la dérivabilité en termes de parties réelle et imaginaire.
Inégalité des accroissements finis pour une fonction complexe de classeC1.
On mentionne que l’inégalité résulte d’une simple majoration d’inté- grale, justifiée ultérieurement dans la section « Intégration ».
DÉRIVABILITÉ I. NOMBRE DÉRIVÉ,FONCTION DÉRIVÉE
Dans tout le chapitre,I désigne un intervalle deRnon vide et non réduit à un point.
I. Nombre dérivé, fonction dérivée
I.1. Nombre dérivé
Définition 17.1 – Nombre dérivé Soitf :I→Rune fonction eta∈I.
Ï Le taux d’accroissement def enaest la fonction : τa: I\ {a} → R
x 7→ f(x)−f(a) x−a .
Ï On dit que f est dérivable enalorsque le taux d’accroissement de f enapossède une limite finie ena.
Lorsque cette limite existe, on l’appelle le nombre dérivé def enaet on la note f0(a) : f0(a)=lim
x→a
f(x)−f(a) x−a .
1. Commea+h−−−→
h→0 a, par composition des limites,f est dérivable enasi, et seulement si, la fonctionh7→ f(a+h)−f(a) h possède une limite finie en 0.
2. Pour toutx∈I\{a}, f(x)−f(a)
x−a est la pente de la droite passant par les points de coordonnées¡ a,f(a)¢
et¡ x,f(x)¢
. On dit que cette droite est unesécante.
a x
f(a) f(x)
Sécante
y=f(x) corde de penteτa(x)
3. Physique.On considère un point mobile se déplaçant sur une droite. Sa position à l’instantxest notée f(x).
Pour toutxÊa, f(x)−f(a)
x−a est la vitesse moyenne du mobile entre les instantsxeta; et f0(a) est la vitesse Remarque 17.1
instantanée du mobile à l’instanta.
1. Soitc∈Ret f la fonction constante égale à c. Soita∈R. Le taux d’accroissement de f enaest la fonction nulle.
Donc, f est dérivable enaet f0(a)=0.
2. Soitn∈N?et f :x7→xn. Soita∈R. Pour toutx,a, on a : f(x)−f(a)
x−a =xn−an x−a =
n−1
X
k=0
xkan−k−1−−−→
x→a nan−1. Donc, f est dérivable enaet f0(a)=nan−1.
3. Soitf :x7→1
x. Soita∈R?. Pour toutx,0 avecx,a, on a : f(x)−f(a)
x−a =
1 x−1a
x−a = − 1 a×x−−−→
x→a − 1 a2. Donc, f est dérivable enaet f0(a)= − 1
a2. 4. Soitf :x7→ p
x. Soita∈R?+. Pour toutxÊ0 avecx,a, on a : f(x)−f(a)
x−a =
px−p a x−a =(p
x−p a)(p
x+p a) (x−a)(p
x+p
a) = 1
px+p a−−−→
x→a
1 2p
a. Donc, f est dérivable enaet f0(a)= 1
2p a. De plus, pour toutx>0,
f(x)−f(0) x−0 =
px−p 0 x−0 = 1
px−−−→
x→0 +∞. Donc, f n’est pas dérivable en 0.
5. Soitf :x7→ |x|. Soita∈R?+. Pour toutx>0 avecx,a, on a : f(x)−f(a)
x−a =x−a
x−a=1−−−→
x→a 1.
Donc, f est dérivable enaet f0(a)=1.
De même, sia∈R?−, alors f est dérivable enaetf0(a)= −1.
Cependant,
∀x>0, f(x)−f(0)
x−0 =1−−−−→
x→0+ 1 et ∀x<0, f(x)−f(0)
x−0 = −1−−−−→
x→0− −1.
Donc, f n’est pas dérivable en 0.
Exemple 17.1
I.2. Développement limité à l’ordre 1
Définition 17.2 Soitf :I→Rune fonction eta∈I. On noteJ={x−a|x∈I}.
On dit quef possède un développement limité à l’ordre 1 enalorsqu’il existe (α,β)∈R2etε:J→Rtels que, pour touth∈J,
f(a+h)=α+βh+hε(h) etε(h)−−−→
h→0 0.
DÉRIVABILITÉ I. NOMBRE DÉRIVÉ,FONCTION DÉRIVÉE
Dans la définition précédente,I est un intervalle contenanta, doncJ est un intervalle contenant 0.
Remarque 17.2
Théorème 17.1
Soitf :I→Rune fonction eta∈I. On noteJ={x−a|x∈I}.
La fonction f est dérivable enasi, et seulement si, f possède un développement limité à l’ordre 1 ena.
Dans ce cas, on a : pour touth∈J,
f(a+h)=f(a)+f0(a)h+hε(h) oùε:J→Retε(h)−−−→
h→0 0.
Démonstration
(⇒) On supposef dérivable ena.
Pour touth∈J, on poseε(h)=f(a+h)−f(a)
h −f0(a) sih,0 etε(0)=0.
Pour touth∈J, on aa+h∈I, doncεest bien définie.
De plus, on sait que f(a+h)−f(a) h −−−−→
h→0 f0(a). Donc,ε(h)−−−−→
h→0 h,0
0. Commeε(0)=0, on a :ε(h)−−−−→
h→0 0.
De plus, pour touth∈J, on a :f(a+h)=f(a)+h f0(a)+hε(h). Donc,f possède un développement limité à l’ordre 1 ena.
(⇐) On suppose quef possède un développement limité à l’ordre 1 ena: il existe (α,β)∈R2etε:J→Rtels que, pour touth∈J, f(a+h)=α+βh+hε(h)
etε(h)−−−→
x→0 0.
En passant à la limite, on a :f(a+h)=α+βh+hε(h)−−−−→
h→0 α. De plus, commef est définie ena, doncα=f(a).
Donc,f(x)−−−→x→a f(a) :f est continue ena.
De plus, pour touth∈J, f(a+h)−f(a)
h =β+ε(h)−−−−→
h→0 β.
Donc,f est dérivable enaetf0(a)=β.
Le développement limité de f à l’ordre 1 enase réécrit :
∀x∈I,f(x)=f(a)+f0(a)(x−a)+(x−a)ε(x−a).
Au voisinage dea, la fonction affinex7→f(a)+f0(a)(x−a) est celle qui « approche » ‘ le mieux le graphe de f parmi toutes les fonctions affines.
Remarque 17.3
Définition 17.3 – Tangente Soitf :I→Rune fonction eta∈I.
Ï Lorsque f est dérivable ena, la droite d’équation y=f(a)+f0(a)(x−a) est appeléetangente à la courbe représentative de f en a.
Ï Lorsque f(x)−f(a) x−a −−−→
x→a +∞ou f(x)−f(a) x−a −−−→
x→a −∞, la droite d’équationx=aest appeléetangente à la courbe représentative de f en a.
Lorsque f est dérivable ena, f0(a) est la pente la tangente à la courbe représentative de f ena. Cette tangente s’interprète comme la position limite des sécantes passant par les points de coordonnées¡
a,f(a)¢ et¡
x,f(x)¢
lorsque xtend versa.
Remarque 17.4
a x f(a)
f(x)
Tangente à la courbe représentative def
y=f(x) corde de penteτa(x) tangente au pointa
I.3. La dérivabilité implique la continuité
Proposition 17.1
Soitf :I→Rune fonction eta∈I.
Si f est dérivable ena, alors f est continue ena.
Démonstration
On suppose f dérivable ena. On sait que f possède un développement limité à l’ordre 1 en a. En passant à la limite dans le développement limité, on a :f(a+h)−−−−→
h→0 f(a).
Donc, par opérations sur les limitesf(x)−−−→
x→a f(a). Donc,f est continue ena.
La dérivabilité implique la continuité. La réciproque est fausse.
Par exemple, les fonctions x7→ |x|etx7→p
xsont continues en 0 et non dérivables en 0.
Remarque 17.5 – TRÈS IMPORTANT : la continuité n’implique pas la dérivabilité
I.4. Fonction dérivée
Définition 17.4 – Fonction dérivée Soitf :I→Rune fonction.
Ï On dit que f est dérivable surIlorsque f est dérivable en tout pointadeI.
Ï Dans ce cas, la fonction dérivée de f est l’application notée f0et définie par : f0: I → R
a 7→ f0(a).
DÉRIVABILITÉ I. NOMBRE DÉRIVÉ,FONCTION DÉRIVÉE
Ï On noteD(I,R) l’ensemble des fonctions dérivables surI et à valeurs dansR.
1. Soit c∈Ret f la fonction constante égale àc. La fonction f est dérivable surRet sa fonction dérivée est la fonction nulle.
2. Soitn∈N?et f :x7→xn. La fonction f est dérivable surRet, pour toutx∈R, f0(x)=nxn−1. 3. Soitf :x7→1
x. La fonction f est dérivable en tout point deR?et, pour toutx∈R?, f0(x)= − 1 x2. 4. Soitf :x7→ p
x. La fonctionf est dérivable surR?+ et, pour toutx∈R?+, f0(x)= 1 2p
x. 5. Les fonction exp, ln, ch, sh, cos, sin, tan sont dérivables sur leurs ensembles de définition.
Exemple 17.2
I.5. Calculs de dérivées
Théorème 17.2
Soientf :I→Retg:I→Rdeux fonctions eta∈I. On suppose quef etgsont dérivables ena.
Alors,
Ï pour tout (λ,µ)∈R2, la fonctionλ.f+µ.gest dérivable enaet : (λ.f+µ.g)0(a)=λ×f0(a)+µ×g0(a).
Ï la fonction f×gest dérivable enaet :
(f×g)0(a)=f0(a)×g(a)+f(a)×g0(a).
Démonstration
Soit (λ,µ)∈R2. Pour toutx∈I\ {a}, on a : (λ.f+µ.g)(x)−(λ.f+µ.g)(a)
x−a =λ×f(x)−f(a)
x−a +µ×g(x)−g(a) x−a −−−→x
→a λ×f0(a)+µ×g0(a)∈R. Donc,λ.f+µ.gest dérivable enaet (λ.f+µ.g)0(a)=λ×f0(a)+µ×g0(a).
De plus, pour toutx∈I\ {a}, on a :
(f×g)(x)−(f×g)(a)
x−a =f(x)×g(x)−g(a)
x−a +g(a)×f(x)−f(a) x−a . Or,f est dérivable ena, doncf est continue ena. D’où, par opérations sur les limites :
(f×g)(x)−(f×g)(a)
x−a −−−→
x→a f(a)×g0(a)+g(a)×f0(a)∈R.
Donc,f×gest dérivable enaet (f×g)0(a)=f0(a)×g(a)+f(a)×g0(a).
Plus généralement, si f1:I→R, f2:I→R, . . ., fN:I→Rsont dérivables ena∈I, alors, pour tout (λ1, . . . ,λN)∈RN, la fonctionλ.f1+λ2.f2+ · · · +λN.fN est dérivable enaet :
(λ.f1+λ2.f2+ · · · +λN.fN)0(a)=λ×f10(a)+λ2×f20(a)+ · · · +λN×fN0 (a).
Autrement dit, toute combinaison linéaire de fonctions dérivables enasont dérivables ena.
Remarque 17.6
Corollaire 17.1
Soientf :I→Retg:I→Rdeux fonctions. On suppose que f etgsont dérivables surI.
Alors,
Ï pour tout (λ,µ)∈R2, la fonctionλ.f+µ.gest dérivable surI et : (λ.f+µ.g)0=λ.f0+µ.g0. Ï la fonction f×gest dérivable surI et :
(f×g)0=f0×g+f×g0. Démonstration
Raisonner point par point.
Toute combinaison linéaire de fonctions dérivables sur Iest dérivable surI.
Remarque 17.7
Corollaire 17.2
Une fonction polynomiale est dérivable surRet sa dérivée est encore une fonction polynomiale.
Démonstration
Pour toutn∈N, les fonctionsx7→xnsont dérivables surR. De plus, une fonctions polynomiales est une combinaison linéaire de
fonctions de la forme précédente.
Théorème 17.3
Soientf :I→Retg:J→Rdeux fonctions oùJ est un intervalle deRvérifiant f(I)⊂J.
Si f est dérivable enaetgest dérivable en f(a), alors g◦f est dérivable enaet : (g◦f)0(a)=g0¡
f(a)¢
×f0(a).
Démonstration
On sait quegest dérivable enf(a), donc il existeεg: {y−f(a)|y∈J}→Rtel que, pour toutx∈I, g(f(x))=g(f(a))+g0(f(a))ס
f(x)−f(a)¢ +¡
f(x)−f(a)¢
×εg¡
f(x)−f(a)¢ . Donc, pour toutx∈I\ {a},
g(f(x))−g(f(a))
x−a =g0(f(a))×f(x)−f(a)
x−a +f(x)−f(a) x−a εg¡
f(x)−f(a)¢ . Or,f est dérivable ena, donc f(x)−f(a)
x−a −−−→x
→a f0(a). De plus,f est continue ena, donc,f(x)−f(a)−−−→x
→a 0 Par composition des limites,εg¡
f(x)−f(a)¢
−−−→x→a 0.
Donc, par opérations sur les limites, g(f(x))−g(f(a)) x−a −−−→x
→a g0(f(a))×f0(a).
Corollaire 17.3
Soientf :I→Retg:J→Rdeux fonctions oùJ est un intervalle deRvérifiant f(I)⊂J.
Si f est dérivable surIetgest dérivable surJ, alorsg◦f est dérivable en Iet : (g◦f)0=(g0◦f)×f0.
DÉRIVABILITÉ I. NOMBRE DÉRIVÉ,FONCTION DÉRIVÉE
Démonstration
Raisonner point par point.
Soit f une fonction dérivable surI
1. La fonctionef :x7→exp(f(x)) est dérivable surIet : (ef)0=f0ef.
2. Si f ne s’annule pas surI, alors la fonction ln(|f|) :x7→ln(|f(x)|) est dérivable surI et :¡
ln(|f|)¢0
= f0 f . 3. La fonction cos(f) :x7→cos(f(x)) est dérivable surIet :¡
cos(f)¢0
= −f0×sin(f).
4. La fonction sin(f) :x7→sin(f(x)) est dérivable surI et :¡
sin(f)¢0
=f0×cos(f).
5. La fonction cos(f) :x7→ch(f(x)) est dérivable surI et :¡ ch(f)¢0
=f0×sh(f).
6. La fonction cos(f) :x7→sh(f(x)) est dérivable surIet :¡ sh(f)¢0
=f0×ch(f).
7. Sin∈N?, alors la fonction fn:x7→¡ f(x)¢n
est dérivable surIet : (fn)0=α.f0×fn−1. 8. Si f ne s’annule pas surI etn∈Z?−, alors la fonction fn:x7→¡
f(x)¢n
est dérivable surI et : (fn)0=α.f0×fn−1. 9. Si la fonction f est à valeurs strictement positives etα∈R, alors la fonction fα:x7→¡
f(x)¢α
est dérivable surI et : (fα)0=α.f0×fα−1.
Exemple 17.3
Théorème 17.4
Soientf :I→Retg:I→Rdeux fonctions eta∈I. On suppose quef etgsont dérivables ena.
Sig(a),0, alors f
g est dérivable enaet µf
g
¶0
(a)= f0(a)×g(a)−f(a)×g0(a)
¡g(a)¢2
Démonstration
Écrire f g=f×1
get dériver comme un produit. La dérivée de 1
g s’obtient comme dérivée la composée de la fonction inverse et de la
fonctiong.
Corollaire 17.4
Soientf :I→Retg:I→Rdeux fonctions. On suppose que f etgsont dérivables surI.
Signe s’annule pas surI, alors f
g est dérivable surIet : µf
g
¶0
= f0×g−f×g0
g2 .
Soitk∈Z.
La fonction tan=sin
cos est dérivable suri
−π
2+kπ,π 2+kπh
et sa dérivée est tan0= 1
cos2 =1+tan2. Exemple 17.4
Corollaire 17.5
Une fonction rationnelle est dérivable sur tout intervalle où son dénominateur ne s’annule pas et sa dérivée est encore une fonction rationnelle.
I.6. Dérivée d’une bijection réciproque
Théorème 17.5
Soient f:I→J une bijection deI surJeta∈I. On suppose que f est continue et strictement monotone surI et est dérivable ena.
Alors, la bijection réciproque f−1 est dérivable enb=f(a) si, et seulement si, f0(a),0.
Dans ce cas,
¡f−1¢0
(b)= 1
f0¡
f−1(b)¢= 1 f0(a).
De plus, lorsquef0(a)=0, la courbe représentative de f−1possède une tangente verticale enbd’équationx=b.
Démonstration
On sait quef est continue sur l’intervalleIet réalise une bijection deIsurJ. Donc, par le théorème des valeurs intermédiaires, J=f(I) est un intervalle deR.
De plus,I est non vide et non réduit à un point, donc il existe (x,y)∈I2avecx,y. On a¡f(x),f(y)¢∈J2et, par injectivité de f, f(x),f(y). Donc,Jest non vide et non réduit à un point.
(⇒) On suppose quef−1est dérivable enb=f(a). Montrons quef0(a),0.
On sait quef−1◦f est dérivable ena, comme composée de fonctions dérivables, et, pour toutx∈I, (f−1◦f)(x)=x.
D’où, en dérivant la composéef−1◦f, on a :¡ f−1¢0
(f(a))×f(a)=1. Doncf(a),0.
(⇐) On suppose quef0(a),0. Soity∈J\ {b}.
On notex=f−1(y). On a alors : f−1(y)−f−1(b)
y−b = x−a f(x)−f(a). On sait quef−1est continue surJ, doncx=f−1(y)−−−−→
y→b f−1(b)=a. De plus,f est dérivable enaetf0(a),0.
Donc par composition des limites,
f−1(y)−f−1(b)
y−b = x−a
f(x)−f(a)−−−−→
y→b 1 f0(a). Donc,f−1est dérivable enbet son nombre dérivé enbest 1
f0(a).
On suppose maintenantf0(a)=0. On sait quef est strictement monotone, donc le taux d’accroissement x−a
f(x)−f(a) est de signe constant.
Donc, par opération sur les limites f−1(y)−f−1(b) y−b −−−−→
y→b +∞ou f−1(y)−f−1(b) y−b −−−−→
y→b −∞.
1. La fonction ln :]0,+∞[→Rest continue, strictement croissante et bijective. Sa bijection réciproque est la fonction exp.
De plus, ln est dérivable et sa dérivée ne s’annule pas ]0,+∞[. Donc, exp est dérivable surRet, pour toutx∈R, exp0(x)= 1
ln0(exp(x))=exp(x).
2. La fonction tan :i
−π 2,π
2 h
→Rest continue, strictement croissante et bijective. La bijection réciproque est la fonction Arctan.
De plus, tan est dérivable suri
−π 2,π
2 h
, et tan0=1+tan2>0.
Donc, Arctan est dérivable surRet, pour toutx∈R, Arctan0(x)= 1
1+tan(Arctan(x))2 = 1 1+x2.
3. La fonction cos : [0,π]→[−1, 1] est continue, strictement décroissante et bijective. Sa bijection réciproque est la fonction Arccos.
De plus, cos est dérivable et cos0= −sin. Sur [0,π], on a sin(x)=0 si, et seulement si,x=0 oux=π. Exemple 17.5
DÉRIVABILITÉ I. NOMBRE DÉRIVÉ,FONCTION DÉRIVÉE
Donc, Arccos est dérivable en ysi, et seulement si, y,cos(0) ety,cos(π).
Ainsi, Arccos est dérivable sur ]−1, 1[ et, pour tout x∈]−1, 1[, Arccos0(x)= 1
cos0(Arccos(x))= 1
−sin(Arccos(x))= − 1 p1−x2.
Soit f une bijection deI surJ.
Ï On sait que les graphes de f etf−1 sont symétriques l’un de l’autre par rapport à la première bissectricey=x.
Ï On suppose que f est dérivable surIet on considère un pointa∈I.
La courbe représentative de f possède au point d’abscissex=aune tangente d’équation y=f0(a)×(x−a)+f(a).
On noteDcette tangente.
Le graphe de f−1possède alors au point d’abscissex=f(a) une tangenteD0qui est le symétrique deDpar rapport à la première bissectrice.
Si f0(a),0, alors la droiteD0a pour pente 1 f0(a). On retrouve ainsi, la relation¡
f−1¢0
(b)= 1 f0(a).
Si f0(a)=0, alors la droiteD0 est verticale et f−1 n’est pas dérivable enb.
a b=f(a) a
b
Γf
Γf−1
D
D0 y=x Graphes de f etf−1
a
Γf
Γf−1
D0
D y=x Graphes de f :x7→x2+12 et f−1:x7→
q x−12 Remarque 17.8 – Interprétation graphique
I.7. Dérivabilité à gauche, dérivabilité à droite
Définition 17.5 Soientf :I→Rune fonction eta∈I.
Ï On dit que f est dérivable à gauche enalorsque le taux d’accroissement def enapossède une limite finie à gauche ena.
Lorsque cette limite existe, on l’appelle le nombre dérivé à gauche de f enaet on la notefg0(a) : fg0(a)= lim
x→a−
f(x)−f(a) x−a .
Ï On dit que f est dérivable à droite enalorsque le taux d’accroissement de f enapossède une limite finie à droite ena.
Lorsque cette limite existe, on l’appelle le nombre dérivé à droite de f enaet on la notefd0(a) : fd0(a)= lim
x→a+
f(x)−f(a) x−a .
La fonction f est dérivable à gauche (respectivement à droite) en a si, et seulement si, la fonction f|I∩]−∞,a]
(respectivement la fonctionf|I∩[a,+∞[) est dérivable ena.
On en déduit que la dérivabilité à gauche (respectivement à droite) implique la continuité à gauche (respectivement à droite).
Remarque 17.9
La fonction f:x7→ |x|est dérivable à droite en 0 et à gauche en 0. De plus, fg0(0)= −1 et fd0(0)=1.
Exemple 17.6
Théorème 17.6
Soientf :I→Rune fonction eta∈I qui n’est pas une extrémité deI.
On a l’équivalence : f est dérivable en a si, et seulement si, f est dérivable à droite et à gauche en a et fg0(a)=fd0(a).
Dans ce cas,f0(a)=fg0(a)=fd0(a).
Démonstration
(⇒) On supposef est dérivable ena.
On sait alors que f(x)−f(a) x−a −−−→
x→a f0(a). D’où, f(x)−f(a) x−a −−−−→
x→a− f0(a) et f(x)−f(a) x−a −−−−→
x→a+ f0(a).
Donc,f est dérivable à droite et à gauche enaetf0(a)=fg0(a)=fd0(a).
(⇐) On suppose quef est dérivable à gauche et à droite enaetfg0(a)=fd0(a).
On sait alors que la fonctionτapossède des limites finies à gauche et à droite enaet que ces limitesfg0(a) etfd0(a) sont égales.
Donc,τapossède une limite possède un limite finie ena. Donc,f est dérivable enaetf0(a)=fg0(a)=fd0(a).
DÉRIVABILITÉ II. EXTREMUM LOCAL ET POINT CRITIQUE
II. Extremum local et point critique
Définition 17.6 – Extremum local Soientf :I→Rune fonction eta∈I.
Ï On dit que f possède unmaximum localenalorsqu’il existeη>0 tel que, pour toutx∈I∩[a−η,a+η], f(x)Éf(a).
Ï On dit que f possède unminimum localenalorsqu’il existeη>0 tel que, pour toutx∈I∩[a−η,a+η], f(a)Éf(x).
Ï On dit que f possède unextremum localenalorsque f possède un minimum local ou un maximum local en a.
Théorème 17.7 – Condition nécessaire d’extremum en un point intérieur Soientf :I→Rune fonction eta∈I.
Si
1. an’est pas un extrémité deI, 2. f est dérivable ena,
3. f possède un extremum local ena, alorsf0(a)=0.
Démonstration
Quitte à changerf en−f, on peut supposer quef possède un maximum local ena.
Il existeη>0 tel que, pour toutx∈I∩[a−η,a+η],f(x)Éf(a).
Or,an’est pas un extrémité deI, donc il exister∈]0,η] tel que [a−r,a+r]⊂I.
D’où, pour toutx∈[a−r,a[, f(x)−f(a) x−a Ê0.
Donc, en passant à la limite quandxtend versa, on af0(a)Ê0.
De même, pour toutx∈]a,a+r], f(x)−f(a)
x−a É0. Donc,f0(a)É0.
Donc,f0(a)=0.
1. La réciproque du théorème est fausse. En effet, la fonction f :x7→x3 est dérivable sur 0 et f0(0)=0, mais f ne possède pas d’extremum local en 0.
2. Lorsqueaest une extrémité deI, on peut avoirf0(a),0. Par exemple, la fonctionf : [0, 1] → R
x 7→ x
est dérivable sur [0, 1], possède un maximum (local) en 1 etf0(1)=1,0.
3. On appellepoint critiquetout pointa∈I vérifiant f0(a)=0.
Remarque 17.10
III. Théorèmes de Rolle et des accroissements finis
Théorème 17.8 – Théorème de Rolle
Soienta<bdes réels et f : [a,b]→Rune fonction. Si 1. f est continue sur [a,b] ;
2. f est dérivable sur ]a,b[ ; 3. f(a)=f(b) ;
alors, il existec∈]a,b[ tel que f0(c)=0.
Démonstration
La fonctionf est continue sur le segment [a,b], donc, par le théorème des bornes atteintes, il existe (α,β)∈[a,b]2tel que :
∀x∈[α,β],f(α)Éf(x)Éf(β).
Il y a trois cas.
Ï Cas 1:α∉{a,b}. La fonctionf est dérivable enα, possède un minimum (local) enαetαn’est pas une extrémité de [a,b]. Donc, par le théorème précédent,f0(α)=0.
Ï Cas 2:α∈{a,b}etβ∉{a,b}. La fonction f est dérivable enβ, possède un maximum (local) enβetβn’est pas une extrémité de [a,b]. Donc, par le théorème précédent,f0(β)=0.
Ï Cas 3:α∈{a,b}etβ∈{a,b}. Dans ce cas, commef(a)=f(b), on af(α)=f(β). Donc,f est constante. Donc, tout pointc∈]a,b[
vérifief0(c)=0.
Dans tous les cas, il existec∈]a,b[ tel quef0(c)=0.
1. Dans le théorème de Rolle, le pointcn’est pas nécessairement unique.
2. Si une fonction vérifie le théorème de Rolle, alors son graphe possède une tangente horizontale.
3. On considère un point mobile se déplaçant sur une droite. Sa position à l’instantxest notée f(x). On suppose qu’aux instantsaetble mobile se trouve à la même position. Si f est continue sur [a,b] et est dérivable sur ]a,b[, alors il existe un instantcoù la vitesse instantanée du mobile est nulle : f0(c)=0.
Remarque 17.11
DÉRIVABILITÉ III. THÉORÈMES DEROLLE ET DES ACCROISSEMENTS FINIS
III.1. Égalité et inégalité des accroissements finis
Théorème 17.9 – Égalité des accroissements finis Soienta<bdes réels et f : [a,b]→Rune fonction. Si
1. f est continue sur [a,b] ; 2. f est dérivable sur ]a,b[ ;
alors, il existec∈]a,b[ tel que f0(c)= f(b)−f(a) b−a . Démonstration
On considère la fonctiong: [a,b] → R
I 7→ f(x)−f(b)b−−af(a)(x−a)
La fonctiongest continue sur [a,b], dérivable sur ]a,b[ etg(a)=f(a)=g(b).
Donc, par théorème de Rolle, il existec∈]a,b[ tel queg0(c)=0. D’oùf0(c)−f(b)−f(a)
b−a =0.
1. Dans l’égalité des accroissements finis, le pointcn’est pas nécessairement unique.
2. Si une fonction vérifie l’égalité des accroissements finis, alors son graphe possède une tangente de même pente que la sécante passant par les points¡
a,f(a)¢ et¡
b,f(b)¢ .
3. On considère un point mobile se déplaçant sur une droite. Sa position à l’instant xest notée f(x). Si f est continue sur [a,b] et est dérivable sur ]a,b[, alors il existe un instantcoù la vitesse instantanée du mobile est égale à sa vitesse moyenne entre les instantsbeta: f0(c)= f(b)−f(a)
b−a . Remarque 17.12
Théorème 17.10 – Inégalité des accroissements finis Soitf :I→Rune fonction. Si
1. f est dérivable surI;
2. il existeC∈Rtel que|f0|est majorée parC, alors, pour tout (x,y)∈I2,
|f(x)−f(y)| ÉC|x−y|.
Démonstration
Soit (x,y)∈I2. Six=y, l’inégalité est claire. Dans la suite, on supposex,y. Sans perdre de généralité, on peut suppose quex<y.
D’après l’égalité des accroissements finis, il existec∈]x,y[ tel que, f(y)−f(x) y−x =f0(c).
Or,|f0|est majorée parC.
Donc,
¯
¯
¯
¯
f(y)−f(x) y−x
¯
¯
¯
¯ÉC.
De plus,y−x>0, donc,|f(y)−f(x)| ÉC× |y−x|.
Définition 17.7 – Fonction lipschitzienne Soientf :I→Rune fonction etk∈R.
Ï On dit que f estk-lipschitzienne lorsque : pour tout (x,y)∈I2,
|f(x)−f(y)| Ék× |x−y|.
Ï On dit que f est lipschitzienne lorsqu’il existek∈R+ tel quef estk-lipschitzienne.
D’après l’inégalité triangulaire, la fonction valeur absolue est 1-lipschitzienne.
Exemple 17.7
1. Une fonction lipschitzienne est continue.
Soita∈I. On a, pour toutx∈I,|f(x)−f(a)| Ék× |x−a|. Par théorème d’encadrement, f(x)−−−→x
→a f(a).
2. On peut reformuler l’inégalité des accroissements finis : sif :I→Rest dérivable et si f0est bornée surI, alors f est lipschitzienne.
Remarque 17.13
La fonction sin est dérivable surRet|sin0| = |cos| É1.
Donc, par l’inégalité des accroissements finis, sin est 1-lipschitzienne : pour tout (x,y)∈I2,
|sin(x)−sin(y)| É |x−y|. En particulier, en prenant y=0, pour toutx∈R,|sin(x)| É |x|.
Exemple 17.8
III.2. Application à l’étude de suite définie par une relation de récurrence
Soitf :I→Rune fonction. On suppose queI est un intervalle stable parf. On sait qu’il est alors possible de définir la suite (un)n∈Ntelle que :u0∈Iet, pour toutn∈N,un+1=f(un).
On suppose que la fonctionf possède un point fixe`et estk-lipschitzienne aveck∈[0, 1[.
La fonction f possède un unique point fixe.
Soit`0∈Ivérifiant f(`0)=`0.
Comme f estk-lipschitzienne, on a|`−`0| = |f(`)−f(`0)| Ék|`−`0|. Commek∈[0, 1[, on a|`−`0| =0. Donc,`=`0. La suite(un)n∈Nconverge vers`.
Comme f estk-lipschitzienne, on a, pour toutn∈N,|un+1−`| = |f(un)−f(`)| Ék|un−`|. On montre alors par récurrence que, pour toutn∈N,|un−`| Ékn|u0−`|.
Commek∈[0, 1[, on a :kn−−−−−→
n→+∞ 0. Donc par théorème,un−−−−−→
n→+∞ `.
On déduit de l’inégalité précédente une méthode algorithmique pour déterminer une valeur approchée de`.
DÉRIVABILITÉ III. THÉORÈMES DEROLLE ET DES ACCROISSEMENTS FINIS
III.3. Monotonie et signe de la dérivée
L’égalité des accroissements finis permet de démontrer les résultats reliant le sens de variation d’une fonction au signe de sa dérivée.
Théorème 17.11
Soitf :I→Rune fonction dérivable sur l’intervalleI.
Ï La fonction f est croissante surI si, et seulement si, f0est positive surI.
Ï La fonction f est décroissante surIsi, et seulement si, f0est négative surI. Démonstration
On montre le premier point. Pour le deuxième, il suffit de remplacerf par−f. (⇒) On supposef croissante. Soita∈I, pour toutx∈I\ {a}, on a f(x)−f(a)
x−a Ê0.
Donc, en passant à la limite quandxtend versa, on af0(a)Ê0.
(⇐) On supposef0positive surI. Soit (a,b)∈I2aveca<b.
La fonctionf est continue sur [a,b] et dérivable sur ]a,b[. Donc, par l’égalité des accroissements finis, il existec∈]a,b[ tel que f(b)−f(a)
b−a =f0(c)Ê0. Donc,f(b)−f(a)Ê0
Donc,f est croissante surI.
Le résultat du théorème est faux si I n’est pas un intervalle. La fonction f: R? → R x 7→ 1x
n’est pas monotone mais, pour tout x∈R?, f0(x)<0.
Remarque 17.14
Corollaire 17.6
Soitf :I→Rune fonction dérivable sur l’intervalleI.
On a l’équivalence : f est une fonction constante si, et seulement si, f0est la fonction nulle.
Démonstration
La fonctionf est constante surIsi, et seulement si,f est croissante et décroissante surI.
Par le théorème précédent, c’est équivalent àf0est positive et négative surI.
Donc,f est constante surIsi, et seulement si,f0est nulle surI.
Le résultat du théorème est faux si I n’est pas un intervalle. La fonction f : R? → R
x 7→
½ −1 six<0 1 six>0
n’est
constante mais, pour tout x∈R?, f0(x)=0.
Remarque 17.15
Théorème 17.12
Soitf :I→Rune fonction dérivable sur l’intervalleI.
Ï La fonction f est strictement croissante surI si, et seulement si,f0 est positive surIet pour tout (a,b)∈I2 aveca<b, la fonction f|]a,b[0 n’est pas la fonction nulle.
Ï La fonction f est strictement décroissante sur I si, et seulement si, f0 est négative sur I et pour tout (a,b)∈I2aveca<b, la fonction f|]a,b[0 n’est pas la fonction nulle.
