L.S Marsa.Elriadh
Série 46
Mr Zribi3 ème Maths Exercices
1 Exercice 1:
L'espace est rapporté à un repère orthonormé. m un paramètre réel. Sm l'ensemble des points M(x,y,z) tels que:
x²+y²+z²-2mx-2y+2(2m-3)z-12m+1=0.
1/ a) montrer que Sm est une sphère dont on précisera son centre Im et son rayon Rm. b) déterminer l'ensemble D des point Im lorsque m décrit IR.
2/ soit P le plan d'équation : 2x+y+z+2=0.
a) calculer la distance de Im au plan P.
En déduire la position de D et P.
b) déterminer la position de P et Sm. Préciser l'intersection de S0 et P.
c) montrer que toutes les sphères Sm passent par un cercle fixe C dont on donnera le centre et le rayon.
3/ soit Q le plan d'équation x-y-z=0.
a) montrer que les plan Q et P sont perpendiculaires.
b) Donner une représentation paramétrique de la droite D' intersection de P et Q.
c) Donner une équation cartésienne du plan R contenant D' et passant par le point I 1(1,1,1).
d) Déterminer l'intersection du plan R et la sphère S1. Exercice 2 :
Dans l'espace rapporté à un repère orthonormé, on considère les plans P et Q d'équations:
P: 2x-y+z+2=0 et Q: x-y+2z+1=0
1/ montrer que les plans P et Q sont sécants et donner une représentation paramétrique de leurs droite d'intersection D.
2/ a) vérifier que le point I(1,0,2) est équidistant à P et à Q.
b) déterminer l'équation cartésienne de la sphère S de centre I et tangente aux plans P et Q.
3/ R est le plan passant par I et contenant la droite D.
a) déterminer un vecteur normal à R.
b) donner une équation cartésienne de R.
c) soit E={M/ d(M,P)=d(M,Q)}
Montrer que E est la réunion de deux plans perpendiculaires et contenant la droite D.
Exercice 3:
Dans l'espace rapporté à un repère orthonormé, on considère la sphère (S) de centre w(1,2,0) et de rayon 6 .
Soit (P) le plan d'équation: x+y-2z-6=0 .
1/ montrer que le plan (P) coupe la sphère (S) suivant un cercle dont on précisera le centre H et le rayon r.
2/ soit A(3,1,-1).
a) vérifier que A est un point du cercle .
b) trouver l'équation du plan Q tangent à (S)en A.
c) justifier que P et Q sont sécants suivant une droite ∆ dont on donnera une représentation paramétrique.
L.S Marsa.Elriadh
Série 46
Mr Zribi3 ème Maths Exercices
2 d) trouver la distance de w à ∆.
3/ déterminer une équation du plan (P') parallèle à (P) et qui partage la sphère (S) en deux demi sphère isométriques, préciser dans ce cas le cercle d'intersection.
Exercice 4:
l'espace est rapporté à un repère orthonormé; A(1,2,-1) et B(2,1,1).
1/ donner une équation du plan Q passant par A et perpendiculaire à la droite (AB).
2/ m est un paramètre réel. Soit Pm le plan d'équation: x+y+m-3=0.
a) montrer que la droite (AB) est parallèle au plan Pm. b) pour quelle valeur de m a-t-on (AB) Pm?
3/ a) montrer que le plan Pm est perpendiculaire au plan Q.
b) calculer la distance du point B à chacun des deux plans Pm et Q.
en déduire la distance de B à la droite Dm intersection de Pm et Q.
4/ a) donner une représentation paramétrique de la droite D1 intersection de P1 et Q.
b) déterminer les coordonnées du point M de D1 pour le quel la distance AM est minimale.
Exercice 5:
L'espace est muni d'un repère orthonormé ( O , i , j , k ); on donne A(-1,2,0); B(2,1,-1) et u i j 2k.
1/ a) écrire une représentation paramétrique de la droite D passant par A et de vecteur directeur u.
c) écrire une équation cartésienne du plan P passant par A et perpendiculaire à D.
2/ soit Q le plan d'équation 2x+z-3=0. vérifier que Q passe par B et perpendiculaire à P.
3/ on désigne par S la sphère tangente à P en A et sécante à Q suivant un cercle de centre B. soit w le centre de S.
a) montrer que w D et que les droites (wA) et (wB) sont perpendiculaires.
b) Déterminer les coordonnées de w et écrire une équation cartésienne de S.
c) Trouver le rayon r de . Exercice 6:
L'espace est rapporté à un repère orthonormé ( O , i , j , k ) ; soit les points A(-1,2,2); B(-2,2,1); C(1,1,0) et le plan P dont une équation cartésienne est x+y-z+7=0.
1/ vérifier que le plan P contient la droite (AB).
2/ soit le plan Q, contenant la droite (AB) et perpendiculaire à P.
a) démontrer que x-2y-z+7=0 est une équation cartésienne de Q.
b) calculer les distances du point I respectivement à P et à Q.
3/ soit la sphère S, de centre I et tangente à Q.
a) démontrer que le plan P coupe la sphère S suivant un cercle dont on précisera le centre et le rayon .
b) donner une équation cartésienne de S et une représentation paramétrique de (AB).
c) Démontrer que (AB) ne coupe pas S:
- en utilisant 3/b/.
- en comparant le rayon de S et la distance de I à (AB).
![† † † † † † * † * † z 2 2 † []= () Q Q S P P R ( R ) []= [] []= [] Δ Δ Δ Q Q P Δ P 1 () () Er z z Q , P , t 2 i a A A R R ( ( R R , , ) ) = R SaS , S ( R = ) a + R , a , A ( R ) = Sa S = a + a ⎧⎨⎩⎫⎬⎭ () Q = a + a (partie réelle de l'amplitude) i ⎡⎣⎤⎦ A ,](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAP///wAAACH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAICRAEAOw==)