Universit´e des Sciences et Technologies de Lille Master Math, S2 (2009-10) Topologie alg´ebrique, Feuille 9

Universit´e des Sciences et Technologies de Lille Master Math, S2 (2009-10)

Topologie alg´ebrique, Feuille 9

§1. Revˆetements et morphismes de revˆetements 1. Exercice

On consid`ere l’espace projectif r´eelRP<sup>n</sup> et la sph`ereSⁿ ={(x0, . . . , xn)∈Rⁿ⁺¹ tel quex²₀+

· · ·+x²_n = 1}. Prouver que l’application q : Sⁿ → RPⁿ telle que q(x0, . . . , xn) = [x0 :· · · : xn] d´efinit un revˆetement `a deux feuillets.

2. Quiz

Peut-on construire une application continue log :C^∗→C telle que log(1) = 0 et exp log(z) = id(z)?

3. Quiz

Soitpn:C^∗→C^∗l’application telle quepn(z) =zⁿ. On rappelle quepn d´efinit un revˆetement et qu’un morphisme de revˆetements de pm dans pn est une application φ: C^∗ → C^∗ telle que le diagramme

C^∗

φ //

pm

!!C

CC CC CC

C C^∗

pn

}}{{{{{{{{

C^∗ commute.

3.1) Donner une condition n´ecessaire et suffisante sur le couple (m, n) pour qu’il existe un mor- phisme de revˆetements de pm dans pn.

3.2) Montrer que l’ensemble de ces morphismes de revˆetements, lorsqu’il est non-vide, est en bijection avecp⁻¹_n (1) ={w∈C^∗tel quewⁿ = 1}et donner un repr´esentant explicite du morphisme de revˆetement associ´e `a chaque w∈p⁻¹_n (1).

4. Probl`eme

Le but de ce probl`eme est de d´emontrer le th´eor`eme de Borsuk-Ulam qui s’´enonce comme suit :

“Soit f : S^m → R² une application continue, o`u m ≥ 2. Il existe un point x ∈ S^m tel que f(x) =f(−x).”

On raisonne par l’absurde. On suppose que f(x) 6= f(−x), ∀x ∈ S^m, et on consid`ere l’applicationF :S^m→ S¹telle que :

F(x) = f(x)−f(−x)

||f(x)−f(−x)||.

4.1)On consid`ere le revˆetement classiqueqm:S^m→RP^mobtenu en identifiantRP^m au quotient de S^m par la relation d’antipodie. Prouver queF induit une application sur RP^m par passage au quotient de sorte que l’on a un morphisme de revˆetements de la forme :

S^{m F} //

qm

S¹

q1

RP^m g //RP¹. BF, Courriel: [email protected]

4.2) Que peut-on dire du morphismeg∗:π1(RP^m,∗)→π1(RP¹,∗)?

4.3) On fixe x0∈S^met on prend y0=qm(x0) comme point base de RP^m. Prouver que l’on peut appliquer le th´eor`eme de rel`evement des applications pour construire une application G:RP^m→ S¹ relevantg et telle queG(y0) =F(x0).

4.4) Prouver la relationF =G◦qm et montrer que cette relation conduit `a une absurdit´e.

5. Exercice

Soit G un groupe topologique connexe localement connexe par arc. Soit p : Ge → G un revˆetement de G. On fixe un point base ˜e∈ Ge dans la fibre de l’´el´ement neutre e ∈G. Prouver que Ge poss`ede une structure de groupe topologique, unique telle que p soit un morphisme de groupes.

Indication : On appliquera le th´eor`eme de rel`evement des applications pour construire un produit ˜µ : Ge ×Ge → Ge et une application d’inversion ˜ι : Ge → G. On utilisera l’unicit´e e du rel`evement pour montrer les relations des lois de groupe.

On utilisera que le morphismeµ∗:π1(G, e)×π1(G, e)→π1(G, e) induit par le produit de G s’identifie au produit deπ1(G, e).

§2. Actions de groupes et revˆetements 6. Quiz

Prouver que le groupeZⁿ agit librement et proprement par translation sur Rⁿ. En conclure que l’application quotientq :Rⁿ→Rⁿ/Zⁿ est un revˆetement.

7. Exercice

Soit G un groupe topologique s´epar´e : pour tout couple x 6= y de G, on peut trouver des ouvertsU 3x etV 3y tels queU∩V =∅. Soit H un sous-groupe deG, discret pour la topologie induite : pour toutx∈H, on peut trouver un ouvert U de Gtel que {x}=H∩U.

7.1) On fixe un ouvert U tel que {1}=H∩U. Prouver qu’il existe un ouvert V tel que 1∈V et (x, y)∈V ×V ⇒x⁻¹y∈U.

7.2) Que peut-on d´eduire de la relation x⁻¹y∈H lorsque (x, y)∈V ×V? 7.3) Prouver que pour toutg∈Geth∈H, on a gV h∩gV 6=∅ ⇒h= 1.

7.4) Conclure du r´esultat de la question pr´ec´edente que H agit de fa¸con totalement discontinue surG et que l’application quotientq :G→G/H d´efinit un revˆetement.

§3. Automorphismes de revˆetements, relation avec le groupe fondamental 8. Exercice

Soit E un ensemble sur lequel un groupe G agit transitivement (`a droite). Le but de cet exercice est de prouver des propri´et´es de AutG(E) utilis´ees dans le cours.

On rappelle que le stabilisateur d’un ´el´ementξ ∈Eest le groupeGξ ={g∈Gtel queξ·g=ξ}.

CommeG agit transitivement surE, le choix d’un ´el´ement ξ∈E d´etermine un isomorphismeG-

´equivariantαξ :Gξ\G→E.

8.1) Prouver que en g´en´eral les sous-groupes Gξ0 et Gξ1 associ´es `a deux ´el´ements ξ0 et ξ1 sont conjugu´es dans G : il existeg ∈ G tel que Gξ1 = g⁻¹Gξ0g. Prouver que l’ensemble des groupes {Gξ, ξ ∈E} d´ecrit l’ensemble d’une classe de conjugaison {g⁻¹Hg, g∈G}, pour un sous-groupe H de G.

8.2) Soient ξ0, ξ1∈E. Prouver qu’il existe un morphisme G-´equivariantφ:E →E et un seul tel queφ(ξ0) =ξ1si et seulement si Gξ0 ⊂Gξ1. Prouver qu’il existe un automorphismeG-´equivariant φ:E →E tel queφ(ξ0) =ξ1 si et seulement si Gξ0 =Gξ1.

8.3) On peut supposer E = H\G. Prouver que AutG(H\G) = NG(H)/H, o`u NG(H) = {g ∈ G tel queg⁻¹Hg ⊂H}, en caract´erisant un automorphisme φ∈AutG(H\G) par la donn´ee d’un

´el´ement ¯ω=φ(¯1).

8.4) Prouver en utilisant le r´esultat obtenu dans la question pr´ec´edente que le groupe des au- tomorphismes d’un revˆetement p : ( ˜X,x)˜ → (X, x) est isomorphe au quotient NG(H)/H, o`u G=π1(X, x) et H=π1( ˜X,x).˜

9. Exercice

Soit p: ˜G→G un morphisme de groupes topologiques (not´es multiplicativement) qui est un revˆetement. On supposera que G (ainsi que ˜G) est connexe et localement connexe par arc. On poseK = ker(p) =p⁻¹(1).

9.1) Prouver que tout automorphisme φ du revˆetement p : ˜G → G est de la forme φ(x) = k·x pour un certaink∈K. En conclureAut(p: ˜G→G) =K. (On appliquera une propri´et´e d’unicit´e pour les morphismes de revˆetements.)

9.2) Quelle relation lie les groupesπ1(G,1), π1( ˜G,1) et K?

9.3)Prouver queK est contenu dans le centre de ˜G: pour toutk∈K, on ak·x=x·k(∀x∈G).˜ Indication : que peut-on dire des applicationsφ(x) =k·xetψ(x) =x·k, pour un ´el´ementk∈K fix´e?

10. Quiz

Retrouver l’identit´e π1(RPⁿ,∗) =Z/2Zpour n≥2 en utilisant la relation RPⁿ=Sⁿ/{±id}.

11. Quiz

Quels sont les morphismes de groupes topologiques p : ˜G → SO(3) avec ker(p) discret et ˜G connexes?

12. Exercice

Quels sont les espaces ˜X qui apparaissent comme revˆetement du toreX =S¹×S¹?

On utilisera la repr´esentationS¹×S¹=R²/Z² et la classification des sous-groupes de (Z²,+) pour d´eterminer ces revˆetements.

§4. Probl`emes de synth`ese 13. Probl`eme !!

Un graphe orient´e Γ est un ensemble de sommets V muni d’une relation ensembliste E ⊂ V ×V \Diag d´efinissant les arˆetes de Γ. Pour une arˆete donn´eee= (u, v)∈E, on noterau=s(e) etv=b(e), le sommetu, respectivementv, d´efinissant la source, respectivement le but, de l’arˆetee.

La r´ealisation topologique d’un graphe Γ est l’espace topologique quotient

|Γ|= [0,1]×E/≡ par la relation

(0, f)≡(1, e), pour tout couple d’arˆetes (e, f)∈E×E telles que s(f) =b(e).

L’´el´ement de|Γ|d´efini par la classe de (s, e)∈[0,1]×E sera not´e [s, e].

Le graphe de Cayley Γ(G : x1, . . . , xn) d’un groupe G muni d’un ensemble de g´en´erateurs x1, . . . , xn est le graphe dont les sommets sont les ´el´ements de G et dont les arˆetes sont associ´ees aux couples d’´el´ements (α, β) tels que l’on a β=αxi pour un des g´en´erateurs xi.

On ´etudie le graphe du groupe libre Fn `a n-g´en´erateurs x1, . . . , xn dont les ´el´ements sont repr´esent´es par des mots w = x^±1_i1 ·. . .·x^±1_il . La longueur d’un ´el´ement w ∈ Fn est la longueur l = l(w) d’un mot r´eduit repr´esentant w. La r´ealisation topologique de Γ(Fn : x1, . . . , xn) sera not´eeTn.

13.1) On fixe l ∈ N. Observer que l’ensemble des ´el´ements w ∈Fn de longueur l(w) ≤ l d´efinit l’ensemble des sommets d’un sous graphe Γ(Fn:x1, . . . , xn)^≤l⊂Γ(Fn:x1, . . . , xn). La r´ealisation

topologique de ce sous graphe Γ(Fn :x1, . . . , xn)^≤l sera not´eeT_n^≤l. Observer que les T_n^≤l forment une suite emboit´ee de sous-espaces telle que:

{∗}=T_n^≤0⊂T_n^≤1⊂ · · · ⊂T_n^≤l ⊂ · · · ⊂ ∪l∈NT_n^≤l=Tn. Repr´esenter les espaces T_n^≤l pour de petites valeurs de l.

13.2)Prouver qu’un groupe G agit librement sur son graphe par : γ·[s,(α, β)] = [s,(γα, γβ)], pour toute arˆete e= (α, β).

13.3)Prouver queTn/Fn est hom´eomorphe au bouquet den cercles.

13.4)Prouver que toute partie compacte de Tn est incluse dans unT_n^≤l, avecl fini. Observer que l’ensemble desα∈Fntels queα(T_n^≤l)⊂T_n^≤l est fini et en conclure queFn agit proprement surTn. 13.5) Prouver que T_n^≤l−1 est r´etract par d´eformation de T_n^≤l et en d´eduire par r´ecurrence que π1(T_n^≤l,∗) ={1},∀l∈N.

13.6) Prouver que tout lacet α: ([0,1],{0,1}) → (Tn,∗) v´erifie α([0,1]) ⊂ T_n^≤l pour un entier l fini. En d´eduire que Tn est simplement connexe et forme le revˆetement universel du bouquet den cercles.

14. Probl`eme !!

On d´efinit le bouquet de deux copies du cercle complexeS¹={z∈Ctel que|z|= 1} comme le sous espace deC×C

S¹∨S¹= (S¹× {1})∪({1} ×S¹) ={(z1, z2)∈S¹×S¹ tel quez1= 1 ou z2= 1}

muni de la topologie induite. On prend∗= (1,1) comme point base de S¹∨S¹.

Les parties de ce probl`eme sont largement ind´ependantes. On pourra ´eventuellement admettre le r´esultat de la question 4.3 pour traiter la partie 3. Cependant la difficult´e des parties est croissante.

Partie 1. On veut d´eterminer le groupe fondamental deS¹∨S¹. On consid`ere le demi cercle ouvert

S₊¹ ={z∈Ctel que |z|= 1 et<(z)>0}

et les sous-ensembles deS¹∨S¹ tels que :

U1= (S¹× {1})∪({1} ×S₊¹), U2= (S₊¹ × {1})∪({1} ×S¹).

14.1)Prouver queU1, U2 etU1∩U2 sont des ouverts connexes par arc deS¹∨S¹.

14.2)Prouver queU1∩U2est contractile et queU1, respectivementU2, se r´etracte par d´eformation sur une copie du cercleS¹.

14.3) Conclure en appliquant le th´eor`eme de Van Kampen que π1(S¹∨S¹,∗) est le groupe libre

`

a deux g´en´erateurs qui seront not´es a etb. On explicitera des lacets α, β : [0,1]→ S¹∨S¹ bas´es en ∗= (1,1)∈S¹∨S¹ dont la classe d´efinit ces g´en´erateurs a, b∈π1(S¹∨S¹,∗).

Partie 2. On consid`ere le sous espace topologique de R×R

Q= (R×Z)∪(Z×R) ={(t1, t2)∈R² tel quet1∈Zou t2∈Z}

(le quadrillage du plan) muni de la topologie induite. On prendra ∗ = (0,0) comme point base de Q.

14.4)Prouver que l’applicatione(t1, t2) = (e^2iπt1, e^2iπt2) d´efinit un revˆetemente:Q→S¹∨S¹. Le but des deux questions suivantes est de retrouver ce r´esultat d’une autre fa¸con.

14.5) Prouver que le groupe discretZ² agit librement et proprement sur Q par translation et en d´eduire que l’application quotient q:Q→Q/Z² est un revˆetement.

14.6)Prouver que l’on a un hom´eomorphismeh:Q/Z²−→^' S¹∨S¹ tel que le diagramme Q

q

}}{{{{{{{{ _e

""

FF FF FF FF F

Q/Z² _h //S¹∨S¹ commute.

Remarque : On pourra montrer que l’image du carr´e C00 =Q∩([0,1]×[0,1]) par q estQ/Z² pour en d´eduire que Q/Z² est compact et utiliser cette observation dans la d´emonstration que l’application que l’on aura construite est un hom´eomorphisme.

14.7) Que peut-on d´eduire du r´esultat de la question pr´ec´edente quant au groupe des automor- phismes du revˆetement e:Q→S¹∨S¹?

Partie 3. Le morphisme de groupes e_∗:π1(Q,∗)→π(S¹∨S¹,∗), induit par un revˆetement, est injectif. On voudrait d´eterminer l’image de e∗.

14.8) Pour tout point (p, q) ∈ Z², on consid`ere le carr´e Cpq = Q∩([p, p+ 1]×[q, q+ 1]) du quadrillage et le lacet δpq : [0,1] → Cpq bas´e en δpq(0) = δpq(1) = (p, q) parcourant le carr´e Cpq

dans le sens direct

•

oo •

• //•

OO.

On fixe un chemin ηpq : [0,1] → Q joignant ηpq(0) = (0,0) `a ηpq(1) = (p, q) et on forme le lacet compos´e

γpq =η_pq⁻¹·δpq·ηpq,

bas´e enγpq(0) =γpq(1) = (p, q), d´efini en parcourant le cheminηpq, puis le lacetδpq, puis le chemin ηpq en sens inverse. Comment s’´ecrit l’image de [γpq] par e∗:π1(Q,∗) →π1(S¹∨S¹,∗)? On fera apparaˆıtre un conjugu´e du commutateur (a, b) =aba⁻¹b⁻¹ des g´en´erateurs de la question 2.3.

14.9) !! Le sous-groupe de π1(S¹∨S¹,∗) engendr´e par l’ensemble des conjugu´es g·(a, b)·g⁻¹, g∈π1(S¹∨S¹,∗), est-il tout entier contenu dans l’image de e_∗?

14.10) On pourrait montrer en utilisant le th´eor`eme de Van Kampen (on ne demande pas de le faire) que π1(Q,∗) est engendr´e par les classes de lacets de la forme γpq, pour (p, q) ∈ N<sup>2</sup>. Que peut-on en conclure quant au probl`eme pos´e au d´ebut de cette partie?