D30156. Cube toupie
Un cube d’arˆete 1 tourne autour de sa grande diagonaleAC0.
a) Quel est le volume de la portion d’espace balay´ee par le cube dans sa rotation ?
b) (pour les plus trapus) Quelle est l’aire de la surface qui limite cette portion d’espace ?
Solution
La diagonaleAC0, de longueur√
3, fait des angles ´egaux avec chacune des arˆetes AB, BC, CC0 qui se projettent donc surAC0 selon des segments de longueur√
3/3.
Le milieu I de BC se projette au milieu O de AC0 et Pythagore dans les triangles ABI etAOI fournitOI = 1/√
2. Pythagore fournit aussi la distancep2/3 des sommetsA0, B0, B, C, D, D0 `a AC0.
La rotation des arˆetes AB, AD, AA0 engendre un cˆone de r´evolution de hauteur √
3/3, sa base ayant pour rayon p2/3. Son volume est, par un calcul ´el´ementaire, 2π
9√
3, son aire lat´erale 2π
√6.
La rotation des arˆetes C0B0, C0C, C0D0 engendre le cˆone sym´etrique du pr´ec´edent par rapport `aI.
Les arˆetes BC, CD, DD0, D0A0, A0B0, B0B engendrent par rotation un mˆeme tronc d’hyperbolo¨ıde de r´evolution `a une nappe, dont le volume peut ˆetre calcul´e par la formule des trois niveaux (section moyenne = 4 fois la section m´ediane, plus les sections extrˆemes, le tout divis´e par 6) : 1
6
π2
3+ 4·π1 2+π2
3 1
√3 = 5π 9√
3. Le volume total est ainsi π/√
3 = 1,8138, soit les 2/3 du volume de la sph`ere de diam`etre AC0.
La surface du tronc d’hyperbolo¨ıde, qui s’obtient par int´egration, vaut π
√2 + ln(√ 2 + 1)
√
6 .
Je ne d´etaille pas ce calcul, que les lecteurs passionn´es sauront reconstituer.
L’aire totale est par cons´equent π4 +√
2 + ln(√ 2 + 1)
√6 = 8,0744.
Elle se situe entre celle du cube (6) et celle de la sph`ere de diam`etreAC0 (3π = 9,42. . .).
1
